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Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-14T08:37:39Z

Alberto González Gómez:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

* <math> \frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} - \mu\delta\vec u - (\lambda+\mu) \delta (\delta \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

* <math> Δ \vec u =Δ(u_1\vec i +u_2\vec j +u_3\vec k )=Δu_1\vec i +Δu_2\vec j +Δu_3\vec k </math>

El campo vectorial <math> \vec u </math> está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

Por último calculamos la divergencia:

* <math> -(\lambda+\mu) \nabla (\nabla \vec u) = (()\lambda+\mu)/\mu) \cos (2\theta- \frac\pi2)(\frac 1\mu)\log(\mu)+(\frac {1}{\mu\ln(10)}) \vec e_\mu </math>
* <math> \frac{(\lambda+\mu)}{\mu} 2 \log(\mu) sin (2 \theta-\frac\pi2)\vec e_\theta </math>

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T11:07:33Z

Alberto González Gómez: /* . Código Matlab */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Título fotografía/gráfica apartado 10 - CAMBIAR NOMBRE.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

}}

===. Título fotografía/gráfica apartado 11 - CAMBIAR NOMBRE.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:58:52Z

Alberto González Gómez: /* Divergencia de un campo vectorial */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:55:29Z

Alberto González Gómez: /* . Tensor deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores de forma sencilla:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:53:18Z

Alberto González Gómez: /* . Código Matlab */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores de forma sencilla:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo puedo describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:51:09Z

Alberto González Gómez: /* . Módulo del rotacional. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores de forma sencilla:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo puedo describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:48:03Z

Alberto González Gómez: /* . Tensiones respecto al plano ortogonal a \vec{e}_{\rho }. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores de forma sencilla:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo puedo describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:47:11Z

Alberto González Gómez: /* . Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores de forma sencilla:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo puedo describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:46:17Z

Alberto González Gómez: /* . Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores de forma sencilla:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo puedo describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.png. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:45:04Z

Alberto González Gómez: /* . Tensiones respecto al plano ortogonal a \vec{e}_{\rho } */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores de forma sencilla:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo puedo describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.png. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:44:07Z

Alberto González Gómez: /* . Código Matlab */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores de forma sencilla:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo puedo describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.png. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:29:53Z

Alberto González Gómez: /* . Tensor deformaciones */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:29:23Z

Alberto González Gómez: /* . Tensiones tangenciales */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:28:24Z

Alberto González Gómez: /* . Tensiones tangenciales */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:26:17Z

Alberto González Gómez: /* . Apartado 9 */

Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png

2022-12-09T10:26:07Z

Alberto González Gómez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:16:48Z

Alberto González Gómez: /* . Tensor deformaciones */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:14:54Z

Alberto González Gómez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:09:26Z

Alberto González Gómez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:08:48Z

Alberto González Gómez: /* . Tensor deformaciones */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:07:45Z

Alberto González Gómez: /* . Tensor deformaciones */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:07:20Z

Alberto González Gómez: /* . Tensor deformaciones */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:05:33Z

Alberto González Gómez: /* La temperatura */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:05:12Z

Alberto González Gómez: /* . Tensor deformaciones */

Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png

2022-12-09T10:04:58Z

Alberto González Gómez:

Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png

2022-12-09T10:04:16Z

Alberto González Gómez:

Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png

2022-12-09T10:03:24Z

Alberto González Gómez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:02:54Z

Alberto González Gómez: /* . Tensor deformaciones */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T10:02:27Z

Alberto González Gómez: /* . Tensor deformaciones */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T09:52:16Z

Alberto González Gómez: /* . Tensor deformaciones */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T09:47:49Z

Alberto González Gómez: /* . Tensor deformaciones */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T09:45:14Z

Alberto González Gómez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T09:28:26Z

Alberto González Gómez: /* . Tensor deformaciones */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T09:21:45Z

Alberto González Gómez: /* Tensor deformaciones */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T09:12:07Z

Alberto González Gómez: /* Tensor deformaciones */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:43:53Z

Alberto González Gómez: /* Apartado 8 */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:25:34Z

Alberto González Gómez: /* . Operadores diferenciales */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:24:59Z

Alberto González Gómez: /* Rotacional de un campo vectorial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:24:12Z

Alberto González Gómez: /* Rotacional de un campo vectorial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:23:38Z

Alberto González Gómez: /* Rotacional de un campo vectorial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:23:08Z

Alberto González Gómez: /* Rotacional de un campo vectorial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:22:14Z

Alberto González Gómez: /* Rotacional de un campo vectorial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:20:58Z

Alberto González Gómez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:20:12Z

Alberto González Gómez:

Archivo:ModuloRotacional.png

2022-12-09T08:19:17Z

Alberto González Gómez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:16:45Z

Alberto González Gómez: /* Rotacional de un campo vectorial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:15:53Z

Alberto González Gómez: /* Rotacional de un campo vectorial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:13:54Z

Alberto González Gómez: /* Rotacional de un campo vectorial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:12:27Z

Alberto González Gómez: /* Divergencia de un campo vectorial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T08:11:57Z

Alberto González Gómez: /* Rotacional de un campo vectorial */