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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T20:56:18Z

Alberto Garcés: /* Masa total de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial u}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores (también conocidos como tensiones principales) de <math>\sigma</math> cuya expresión es:

:<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

La expresión de dichos autovalores, calculada analiticamente, sería:

:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.4\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)[y/10*3 -x/10 0];
TY=@(x,y)[-x/10 y/10 0];
TZ=@(x,y)[0 0 y/10];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U; V; W];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(vec);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+(auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2);
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(a,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 0 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy941.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7973 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, vamos a utilizar métodos numéricos, aproximando la integral mediante la regla del trapecio:

{{matlab|codigo=
%Extremos de integracion (debido a que el punto y=-1 es singular en la función de densidad, aproximamos a -0.999999999):
a=0; b=2; c=-0.999999999; d=1;
%Subintervalos
N1=200; N2=N1;
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
%Mallado de la superficie
x=a:h1:b;
y=c:h2:d;
[u,v]=meshgrid(x,y);
%Función de densidad
d=1+exp(-abs(u).^2./((v+1).^4));
%formula del trapecio
w1=ones(N1+1,1);
w1(1)=1/2;
w1(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w2(1)=1/2;
w2(N2+1)=1/2;
M=h1*h2*(w2')*d*w1;
fprintf('El valor de la masa es %.4f', M)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T20:45:41Z

Alberto Garcés: /* Masa total de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial u}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores (también conocidos como tensiones principales) de <math>\sigma</math> cuya expresión es:

:<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

La expresión de dichos autovalores, calculada analiticamente, sería:

:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.4\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)[y/10*3 -x/10 0];
TY=@(x,y)[-x/10 y/10 0];
TZ=@(x,y)[0 0 y/10];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U; V; W];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(vec);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+(auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2);
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(a,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 0 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy941.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.8051 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, vamos a utilizar métodos numéricos, aproximando la integral mediante la regla del trapecio:

{{matlab|codigo=

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Archivo:MaBoy941.jpg

2018-12-12T20:10:23Z

Alberto Garcés:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T20:09:33Z

Alberto Garcés: /* Visualización de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial u}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores (también conocidos como tensiones principales) de <math>\sigma</math> cuya expresión es:

:<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

La expresión de dichos autovalores, calculada analiticamente, sería:

:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.4\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)[y/10*3 -x/10 0];
TY=@(x,y)[-x/10 y/10 0];
TZ=@(x,y)[0 0 y/10];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U; V; W];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(vec);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+(auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2);
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(a,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 0 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy941.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, vamos a utilizar métodos numéricos, aproximando la integral mediante la regla del trapecio:

{{matlab|codigo=

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T20:07:43Z

Alberto Garcés: /* Visualización de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial u}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores (también conocidos como tensiones principales) de <math>\sigma</math> cuya expresión es:

:<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

La expresión de dichos autovalores, calculada analiticamente, sería:

:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.4\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, vamos a utilizar métodos numéricos, aproximando la integral mediante la regla del trapecio:

{{matlab|codigo=

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T20:06:04Z

Alberto Garcés: /* Masa total de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial u}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores (también conocidos como tensiones principales) de <math>\sigma</math> cuya expresión es:

:<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

La expresión de dichos autovalores, calculada analiticamente, sería:

:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, vamos a utilizar métodos numéricos, aproximando la integral mediante la regla del trapecio:

{{matlab|codigo=

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T20:05:14Z

Alberto Garcés: /* Cálculo de la masa total de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial u}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores (también conocidos como tensiones principales) de <math>\sigma</math> cuya expresión es:

:<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

La expresión de dichos autovalores, calculada analiticamente, sería:

:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, vamos a utilizar métodos numéricos, aproximando la integral mediante la regla del trapecio:

{{matlab|codigo=

}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡(AbsTol,RelTol×|q|) </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, <math>AbsTol</math> es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>AbsTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., <math>RelTol</math> es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>RelTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T19:27:27Z

Alberto Garcés: /* Cálculo del tensor de tensiones \sigma_{ij} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial u}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores (también conocidos como tensiones principales) de <math>\sigma</math> cuya expresión es:

:<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

La expresión de dichos autovalores, calculada analiticamente, sería:

:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡(AbsTol,RelTol×|q|) </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, <math>AbsTol</math> es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>AbsTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., <math>RelTol</math> es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>RelTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T19:26:03Z

Alberto Garcés: /* Cálculo del tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial u}{\partial x} \vec i + \frac{\partial u}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores (también conocidos como tensiones principales) de <math>\sigma</math> cuya expresión es:

:<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

La expresión de dichos autovalores, calculada analiticamente, sería:

:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡(AbsTol,RelTol×|q|) </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, <math>AbsTol</math> es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>AbsTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., <math>RelTol</math> es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>RelTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T19:25:22Z

Alberto Garcés: /* Visualización de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores (también conocidos como tensiones principales) de <math>\sigma</math> cuya expresión es:

:<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

La expresión de dichos autovalores, calculada analiticamente, sería:

:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡(AbsTol,RelTol×|q|) </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, <math>AbsTol</math> es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>AbsTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., <math>RelTol</math> es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>RelTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T19:24:57Z

Alberto Garcés: /* Visualización de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores (también conocidos como tensiones principales) de <math>\sigma</math> cuya expresión es:

:<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

La expresión de dichos autovalors, calculada analiticamente, sería:

:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡(AbsTol,RelTol×|q|) </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, <math>AbsTol</math> es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>AbsTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., <math>RelTol</math> es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>RelTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T19:23:30Z

Alberto Garcés: /* Visualización de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores (también conocidos como tensiones principales) de <math>\sigma</math> cuya expresión es:

:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡(AbsTol,RelTol×|q|) </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, <math>AbsTol</math> es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>AbsTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., <math>RelTol</math> es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>RelTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T19:11:28Z

Alberto Garcés: /* Visualización de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡(AbsTol,RelTol×|q|) </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, <math>AbsTol</math> es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>AbsTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., <math>RelTol</math> es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>RelTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T19:11:11Z

Alberto Garcés: /* Visualización de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y - \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{y}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡(AbsTol,RelTol×|q|) </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, <math>AbsTol</math> es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>AbsTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., <math>RelTol</math> es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>RelTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T19:10:46Z

Alberto Garcés: /* Visualización de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y + \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2y -\sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{y}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡(AbsTol,RelTol×|q|) </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, <math>AbsTol</math> es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>AbsTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., <math>RelTol</math> es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>RelTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T19:09:00Z

Alberto Garcés: /* Visualización de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{2y \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡(AbsTol,RelTol×|q|) </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, <math>AbsTol</math> es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>AbsTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., <math>RelTol</math> es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>RelTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T19:02:46Z

Alberto Garcés: /* Interpretación del método utilizado */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{{2y \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡(AbsTol,RelTol×|q|) </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, <math>AbsTol</math> es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>AbsTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., <math>RelTol</math> es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el <math>RelTol</math>. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T19:00:13Z

Alberto Garcés: /* Interpretación del método utilizado */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{{2y \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡(AbsTol,RelTol×|q|) </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:59:27Z

Alberto Garcés: /* Interpretación del método utilizado */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{{2y \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|} </math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:59:07Z

Alberto Garcés: /* Interpretación del método utilizado */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{{2y \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La función Integral2 satisface la ecuación <math> |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|} <\math>

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y relativa marcan la precisión del cálculo, y vienen determinadas por MATLAB. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:55:59Z

Alberto Garcés: /* Divergencia del campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{{2y \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:55:37Z

Alberto Garcés: /* Cálculo de la Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{{2y \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:53:57Z

Alberto Garcés: /* Variación de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{{2y \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:52:22Z

Alberto Garcés: /* Variación de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variación de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

que es la variación de temperatura por segundo en la dirección indicada.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{{2y \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:49:59Z

Alberto Garcés: /* Variación de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}}) </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \sqrt{2} \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hemos hecho bien lo hacemos en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los cálculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{{2y \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:49:38Z

Alberto Garcés: /* Variación de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{\sqrt{2}}{10}(\frac{2x^2+y^2-xy}{\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \sqrt{2} \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hemos hecho bien lo hacemos en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los cálculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{{2y \sqrt{x^2+y^2} }{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:44:39Z

Alberto Garcés: /* Variación de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hemos hecho bien lo hacemos en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los cálculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} -\frac{{9x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:43:51Z

Alberto Garcés: /* Variación de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) - \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hemos hecho bien lo hacemos en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los cálculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy942.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} -\frac{{9x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:38:58Z

Alberto Garcés: /* Variación de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hemos hecho bien lo hacemos en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los cálculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy94.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} -\frac{{9x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:38:23Z

Alberto Garcés: /* Variación de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{\sqrt2}}) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hemos hecho bien lo hacemos en MATLAB:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los cálculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy94.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} -\frac{{9x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:36:31Z

Alberto Garcés: /* Variación de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt{2}}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{sqrt(2)}) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy94.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} -\frac{{9x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:36:01Z

Alberto Garcés: /* Variación de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = \frac{\vec i - \vec j}{\sqrt[2]}</math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{sqrt(2)}) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy94.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} -\frac{{9x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:34:23Z

Alberto Garcés: /* Visualización de las tensiones normales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{sqrt(2)}) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=y/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy94.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} -\frac{{9x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:33:54Z

Alberto Garcés: /* Tensiones normales en la dirección que marca el eje \vec j */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{sqrt(2)}) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=-x/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy94.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} -\frac{{9x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-12T18:33:17Z

Alberto Garcés: /* Variación de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(P=(0,1)\) nos movemos en la dirección \((1,-1)\), que se representa con el vector unitario <math> \vec e = \frac{\vec i - \vec j}{|\vec i - \vec j|} = </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\frac{\vec i - \vec j}{sqrt(2)}) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=-x/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy94.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} -\frac{{9x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-11T14:03:31Z

Alberto Garcés: /* Visualización de las tensiones normales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=y/10*3;
TNj=-x/10;
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy94.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} -\frac{{9x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-11T14:00:38Z

Alberto Garcés: /* Cálculo de las tensiones normales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=((y/10).*3)-(x/10);
TNj=(y/10)-(x/10);
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy94.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} -\frac{{9x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-10T22:35:53Z

Alberto Garcés:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*La temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*Los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {-x+y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===
Mediante el siguiente código dibujamos las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=((y/10).*3)-(x/10);
TNj=(y/10)-(x/10);
TNk=y/10;
%Representacion de las tensiones normales
%Tensiones normales en la dirección del eje i
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(x,y,TNi)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje i')
%Tensiones normales en la dirección del eje j
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,TNj)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje j')
%Tensiones normales en la dirección del eje k
subplot(1,3,3)
pcolor(x,y,TNk)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en la dirección del eje k')
}}

[[Archivo:MaBoy94.jpg|1200px|center|Representación de las tensiones normales en los ejes <math> \vec i, \vec j , \vec k </math>]]

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

Donde <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}</math> y <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de <math>\sigma</math> (también conocidos como tensiones principales) cuya expresión es:
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} -\frac{{9x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{3}{10} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{{3x}^{2}}{20}+\frac{1}{10} \end{pmatrix}</math>
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

El máximo valor de la tensión de Von Mises se alcanza para <math>x=2</math> y el valor de la tensión de Von Mises para dicho punto es de \(0.374166\).

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%calculo de los autovalores
TX=@(x,y)((y/10).*3)-(x/10);
TY=@(x,y)(y/10)-(x/10);
TZ=@(x,y)y/10;
sigma=[];
%Obtención de autovalores de la tensión de Von Mises
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
%Obtención de valores para cada componente del mallado para las funciones de las componentes de la función de tensión de Von Mises
U=TX(x(i,j),y(i,j));
V=TY(x(i,j),y(i,j));
W=TZ(x(i,j),y(i,j));
%Creación de un vector cuyas componentes sean los vectores en los que se han almacenado los valores de las funciones estudiadas
vec=[U V W];
%Diagonalización de ese vector
tt=diag(vec);
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
auto=eig(tt);
%Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente del mallado
VM=sqrt(((auto(1)-auto(2))^2+((auto(2)-auto(3))^2+((auto(3)-auto(1))^2))*1/2));
z(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos Tensiones de Von Mises
figure
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
%Estudio del máximo valor de la tensión de Von Mises
subplot(1,2,2)
hold on
m=z(1,1:length(z));
%Dibujo de la proyección sobre el plano XOZ de la superficie que genera la tensión de Von Mises
plot(x,m,'b');
maxz=max(m);
%Bucle que dibuja los puntos donde la tensión de Von Mises es máxima sobre la proyección
for k=1:length(m)
if m(k)==maxz
plot(a(k),maxz,'xr','markersize',10)
end
end
axis([-0.5 2.5 -1.5 1.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Z')
legend('Proyección sobre el plano XOZ','Punto máximo')
hold off
fprintf('El máximo valor de la tensión de Von Mises es %f\n',maxz)
}}

[[Archivo:MaBoy102.jpg|1250px|thumb|center|Representación de las tensiones de Von Mises]]

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
Mediante el siguiente código dibujamos el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>:

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%componentes del campo de fuerzas
Fx=zeros(size(x));
Fy=zeros(size(x));
%Dibujo del campo de fuerzas
figure
mesh(x,y,0*x)
hold on
quiver(x,y,Fx,Fy,'k')
view(0,90)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy112.jpg|900px|marco|centro|Representación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>]]

===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Calculamos la masa total de la placa:

:<math>\int_{A} d(x,y) dA=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} d(x,y) dydx=\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1} 1+e^{\frac{-|x|}{(y+1)^{4}}} dydx=5.7970 </math>

Como la primitiva es difícil de calcular, recurrimos a la utilización de métodos numéricos. Por esta razón, empleamos la función integra2 para la aproximación de las integrales mediante el método quadpack:

{{matlab|codigo=
%definimos la función
f=@(x,y) 1+exp((-abs(x).^2)./(1+y).^4);
%llamamos a la integral
int=integral2(f,0,2,-1,1);
%damos el resultado por pantalla
fprintf('El valor de la integral es %.4f\n',int)
}}

===Interpretación del método utilizado===
La funcón Integral2 satisface la ecuación |q-Q|≤max⁡{AbsTol,RelTol×|q|}

Donde 'q' es el valor calculado de la integral y 'Q' es el valor exacto (desconocido). La tolerancia absoluta y ralativa provide a way of trading off accuracy and computation time. La tolerancia relativa determina la exactitud de la integracion. Aunque si |q| es lo suficientemente pequeño, la tolerancia absoluta determina la exactitud de la integración.

Tolerancia absoluta, 'AbsTol' es una estimación de |q-Q|. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'AbsTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-10} </math> que nos dice que el error absoluto se aplica hasta los 10 primeros decimales.
Tolerancia relativa., 'RelTol' es una estimación de <math> \frac{|q-Q|}{|Q|} </math>. Integral2 dará mas decimales de precisión cuanto mas pequeño sea el 'RelTol'. El valor utilizado es <math> 10^{-6} </math> que nos dice que el error relativo se aplica hasta los 6 primeros decimales.

El método utilizado en la integración es el de itinerancia considerando la variable 'y' como una constante y hallado la integral respecto a 'x' y luego aplicando la integral a la función resultante respecto de 'y'

El calculo de cada integral aproximada es mediante el método de Integración adaptativa con quadpack.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC18/19]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-07T00:33:41Z

Alberto Garcés: /* Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {-x+y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son las tensiones principales, que se corresponden con los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>.

===Visualización de la tensión de Von Mises===

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-07T00:31:17Z

Alberto Garcés: /* Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {-x+y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

===Visualización de la tensión de Von Mises===

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-07T00:30:48Z

Alberto Garcés: /* Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {-x+y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} </math>

===Visualización de la tensión de Von Mises===

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-07T00:30:15Z

Alberto Garcés:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {-x+y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===

===Visualización de la tensión de Von Mises===

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-07T00:28:43Z

Alberto Garcés: /* Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {-x+y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===
La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Está definida por la fórmula

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} <\math>

===Visualización de la tensión de Von Mises===

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-07T00:23:12Z

Alberto Garcés: /* Cálculo del Campo de Fuerzas \vec{F} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {-x+y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===
===Visualización de la tensión de Von Mises===

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-07T00:22:26Z

Alberto Garcés: /* Interpretación del Campo de Fuerzas \vec{F} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {-x+y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===
===Visualización de la tensión de Von Mises===

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, <math>\vec i</math> y <math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-07T00:22:00Z

Alberto Garcés:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {-x+y}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===
===Visualización de la tensión de Von Mises===

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, math>\vec i</math> y math>\vec j</math>.

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-07T00:08:46Z

Alberto Garcés: /* Interpretación del Campo de Fuerzas \vec{F} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|900px|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===
===Visualización de la tensión de Von Mises===

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por <math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math> son distintos de <math> \vec 0 </math>.

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que además del campo de fuerzas que actúa en el interior de la plaza, también existen unas fuerzas en la frontera (en los bordes de la placa) que pueden causar desplazamientos en la misma, aunque el campo de fuerzas interiores sea <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Estas fuerzas se pueden calcular multiplicando el tensor de tensiones por los vectores normales a las fronteras de la placa, es decir, math>\vec i</math> y math>\vec j</math>. Así, las fuerzas en la frontera, causantes de los desplazamientos de la placa, serán

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-|x|^2}{(y+1)^{4}}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-07T00:04:00Z

Alberto Garcés: /* Interpretación del Campo de Fuerzas \vec{F} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 1-C| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC18/19|2018-19]] | José Luis Abia Pascual, Jorge Ismael Sanchez, Alberto Garces Rodriguez, Ricardo Perez }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

:*la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\)
:*los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformacón, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por:
:<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
:<math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta </math>

Dicho desplazamiento en coordenadas cartesianas seria:
:<math>\vec u(x, y) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} * (- \rho * \sin (\theta) \vec i + \rho * \cos (\theta) \vec j) = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j) </math>

==Dibujo del sólido==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [0,2]×[-1,1]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:MaBoy1.jpg|375px|thumb|right|Gráfica de la placa sin deformar]]

{{matlab|codigo=
%Defimos los intervalos
%eje x
a=0:1/10:2;
%eje y
b=-1:1/10:1;
%Definimos la placa
[x,y]=meshgrid(a,b);
z=ones(size(x));
%dibujamos rectangulo
hold on
mesh(x,y,0*z)
title('Placa sin deformar');
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
grid on
hold off
}}

==Temperatura del sólido==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 </math> en grados centígrados. Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto o puntos la temperatura es máxima y mínima.
===Cálculo de la temperatura en todo el sólido===
Cálculamos la temperatura en todo el sólido en coordenadas cartesianas:

<math> T(x,y) = |\vec u(x, y)|^2 = |- \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)|^2 = \frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2} </math>

===Visualización del Campo===

Adjuntamos el código para visualizar las distintas temperaturas que hay en la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos la ecuacion T(x,y)
T=x.*sqrt(x.^2+y.^2)./10;
%definimos curvas de nivel
figure
hold on
mesh(x,y,0*z)
pcolor(x,y,T)
contour(x,y,T,'k')
shading flat
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy2.jpg|marco|centro|Gráfica de la variación de la temperatura en toda la placa]]

===Temperaturas máxima y mínima===
De la matriz T creada en el apartado anterior sacariamos los valores maximo y mínimo de la temperatura de la placa.

{{matlab|codigo=
%definimos las temperaturas maximas y minimas
ma=max(max(T));
mi=min(min(T));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',ma,mi)
}}

El programa nos devuelve 2 valores, el de máxima temperatura 45ºC que se encontraría en el borde inferior y superior derecho de la placa (La zona más calida del dibujo anterior) y el de mínima temperatura 0ºC que corresponderia al punto (0,0) (ya que es el que tiene el color más frío).

==Gradiente de la temperatura==
Calcular <math>\nabla T </math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>\nabla T </math> es ortogonal a dichas curvas.
===Cálculo del gradiente de la temperatura===
Hacemos el cálculo del gradiente de la temperatura en coordenadas cartesianas:

<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial x} \vec i + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial y} \vec j + \frac{\partial (\frac{x}{10} * \sqrt{x^2+y^2})}{\partial z} \vec k = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j + 0 \vec k </math>

===Visualización del gradiente de la temperatura===
El cálculo hecho anteriormente para calcular el gradiente lo pasamos a matlab y generamos una representación de dicho campo.

{{matlab|codigo=
%Definimos el gradiente
Tx=@(x,y)(2*x.^2+y.^2)./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
Ty=@(x,y)x.*y./sqrt(x.^2+y.^2)/10;
%Tk=0*z;
Ti=Tx(x,y);
Tj=Ty(x,y);
%dibujamos el gradiente
figure
hold on
contour(x,y,T)
quiver(x,y,Ti,Tj)
hold off
}}
Podemos observar que los vectores son perpendenculares a las curvas de nivel de la temperatura.
[[Archivo:MaBoy3.jpg|marco|centro|Gráfica del campo gradiente de la placa]]

==Variación de la Temperatura==
Calcular la variacion de temperatura por segundo si, partiendo del punto de coordenadas \((x,y)=(0,1)\) me muevo en la dirección \((1,-1)\) con una velocidad de 2 metros por segundo.

*Planteamiento:

#Partiendo del origen \(O\) nos movemos hacia \(P=(0,1)\), es decir, en la dirección <math> \vec e = \frac{\vec {OP}}{|\vec {OP}|} = \frac{\vec i}{|\vec i|} = \vec i </math> con velocidad \(v=2\)m/s.
#De las propiedades del gradiente de un campo escalar:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{T(\vec r (t))}{\partial t} = \nabla{T(\vec r (t))} · \vec r ' = \nabla{T} · \vec v = \nabla{T} · (v \vec e) = v(\nabla{T} · \vec e)</math>

:y puesto que ya conocemos el \(\nabla{T}\):
:<math> \nabla{T}(x,y) = \frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j </math>

Entonces operando se obtiene:
:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = v·\nabla{T}(x,y)·\vec e = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec i + \frac{xy}{10\sqrt{x^2+y^2}} \vec j)* (\vec i) = 2*(\frac{2x^2+y^2}{10\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{2x^2+y^2}{5\sqrt{x^2+y^2}} </math> ºC/s

En el punto \((1,-1)\) Seria:
:<math> \frac{\partial T(1,-1)}{\partial t} = \frac{2(1)^2+(-1)^2}{5\sqrt{(1)^2+(-1)^2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = 0.42426 </math> ºC/s

Para comprobar que analíticamente lo hamos hecho bien lo hacemos en matlab:

{{matlab|codigo=
%Definimos el punto (1,-1)
x1=1;
y1=-1;
%Definimos la variacion temperatura por segundo
T1=2*Tx(x1,y1);
fprintf('La variación temperatura por segundo en el punto (1,-1) es %.4f ºC/s\n',T1)
}}

El programa nos devuelve como solución T1=0.42426 ºC/s, demostrando que hemos hecho bien los calculos.

==Campo de desplazamientos==
Dibujar el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido.
===Visualización del Campo de desplazamientos===
Estudiarémos como el vector de desplazamientos <math> \vec u(x,y) </math> deformaría la placa, esto lo interpretaremos con la dirección que cogen los vectores en la placa sin deformar.

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=+x/10.*(y);
uy=-x/10.*(x);
figure
%dibujo del mallado
mesh(x,y,0*x)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-1,3,-2,2])
view(0,90)
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy5.jpg|marco|centro|Gráfica de los desplazamientos de la placa]]

==Estudio del comportamiento del sólido durante el desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u(x,y) </math>. Dibujar ambos en la misma fígura usando el comando subplot.
===Visualización del sólido antes del desplazamiento===

Dibujamos la placa sin deformar <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math>.

[[Archivo:MaBoy61.jpg|425px|thumb|right|Gráfica de antes de la deformación de la placa]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
a=0:1/10:2;
b=-1:1/10:1;
%Creación del mallado
[x,y]=meshgrid(a,b);
%posicion final
rx=x+x.*y/10;
ry=y-x.*x/10;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
%subplot(3,1,1)
surf(x,y,0*x)
title('antes del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

===Visualización del sólido después del desplazamiento===

[[Archivo:MaBoy62.jpg|400px|thumb|right|Gráfica de después de la deformación de la placa]]

Dibujamos la placa después de la deformación <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

{{matlab|codigo=
%representacion de la superficie después del desplazamiento
% subplot(3,1,2)
figure
surf(rx,ry,0*rx)
%axis([-1,3,-2,2])
title('después del desplazamiento')
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(0,90)
}}

===Visualización del sólido antes y después del desplazamiento===

Comparamos el antes <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) </math> y el después <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math> de la deformación.

{{matlab|codigo=
%comparacion del antes y después
%subplot(3,1,3)
figure
surf(x,y,0*x)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-1,3,-2,2])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Comparación antes y después')
view(0,90)
hold off
}}

En esta imagen podemos apreciar como la placa se deforma según el campo de desplazamientos visto en el apartado 5.

[[Archivo:MaBoy63.jpg|marco|centro|Gráfica de comparando el antes y después de la deformación de la placa]]

==Divergencia del campo de desplazamientos==
Dibujar <math> \nabla \cdot \vec u </math>. Determinar gráficamente los puntos en los que la divergencia de <math> \vec u(x,y)= \frac{yx}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

===Cálculo de la Divergencia===
Cálculamos la divergencia en coodenadas cartesianas:

:<math>
\nabla \cdot \vec u
=\frac{\partial \vec u}{\partial x} + \frac{\partial \vec u}{\partial y} + \frac{\partial \vec u}{\partial z}
=\frac{\partial \frac{yx}{10}}{\partial x} + \frac{\partial \frac{-x^2}{10}}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z}
=\frac{y}{10} + 0 + 0
=\frac{y}{10}
</math>

===Visualización de la Divergencia===
Mediante el siguiente código dibujamos la divergencia y donde su variación es máxima, mínima y nula:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores a la divergencia
Z=(1/10)*Y;
z=y/10;
%Dibujamos la divergencia
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Variación de la Divergencia a lo largo de la placa')
%Vemos los valores máximos, mínimos y nulos
figure
plot(y,z)
hold on
xlabel('Eje Y')
ylabel('Eje Z')
plot(1,0.1,'xr','markersize',10)
plot(0,0,'xg','markersize',10)
plot(-1,-0.1,'xb','markersize',10)
legend('gráfica de la diverencia','punto máximo','punto nulo','punto mínimo');
hold off
}}

[[Archivo:MaBoy7.jpg|1100px|thumb|centre||Gráficas de la variación de la divergencia]]

==Rotacional del campo de desplazamientos==
Calcular <math> \mid \nabla \times \vec u \mid </math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?
===Cálculo del Rotacional===
Cálculamos el rotacional

:<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_x & u_y & u_z \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{xy}{10}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{-x^2}{10}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{xy}{10}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{-2x}{10} - \frac{x}{10}\right)\vec k
=-\frac{3x}{10}\vec k
</math>

Cálculamos el módulo del rotacional

:<math> \mid \nabla \times \vec u \mid = \mid -\frac{3x}{10}\vec k \mid = \frac{3x}{10} </math>

===Visualización del Rotacional===
Mediante el siguiente código dibujamos el módulo del Rotacional:

{{matlab|codigo=
%Definimos la placa
x=0:.1:2;
y=-1:.1:1;
%Mallamos la placa
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Damos valores al módulo del rotacional
Z=3*X/10;
%Dibujamos el rotacional
figure
pcolor(X,Y,Z)
shading interp
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')
}}

[[Archivo:MaBoy8.jpg|marco|centro|Gráfica del módulo del rotacional]]

Como podemos observar en la imagen anterior los puntos que sufren mayor rotacional serian todos los puntos del extremo derecho de la placa

==Tensiones Normales==
=== Cálculo del tensor de deformaciones ===

El tensor de deformaciones <math>\epsilon (\vec u) </math> está definido como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>, <math>\nabla \vec u </math> . Por tanto, para calcularlo debemos calcular el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto, <math>\nabla \vec u ^ t </math>.

<math>\vec u(x, y) = \frac{xy}{10} \vec i + \frac{-x^2}{10} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j = ( \frac{y}{10}\vec i - \frac{2x}{10}\vec j)\cdot\vec i + (\frac{x}{10}\vec i)\cdot\vec j = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{2x}{10}\vec i \otimes \vec j + \frac{x}{10}\vec j \otimes \vec i</math>

<math>\nabla \vec u ^ t = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i + \frac{x}{10}\vec i \otimes \vec j - \frac{2x}{10}\vec j \otimes \vec i </math>

Así, el tensor de deformaciones quedará:

<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>

===Cálculo del tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> ===

Cuando nos encontramos ante un medio lineal, isótropo y homogéneo, como nuestra placa; podemos definir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> mediante la siguiente expresión:

<math>\sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon </math>

En esta expresión aparecen los coeficientes de Lamé, <math>\lambda </math> y <math> \mu </math>, que determinan el comportamiento elástico del sólido en pequeñas deformaciones, y que dependen del módulo de Young (<math> E </math>) y del parámetro de Poisson (<math> \upsilon </math>).

<math> \lambda = \frac {E\upsilon}{(1+\upsilon)(1-2\upsilon)} </math>

<math> \mu = \frac {E}{(1+\upsilon)} </math>

Vamos a tomar como valores de estos coeficientes <math>\lambda = \mu = 1 </math> para el cálculo del tensor de tensiones. Necesitamos la divergencia del campo de desplazamientos, <math>\nabla \cdot \vec u</math>:

<math> \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial f_1}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac {y}{10} </math>

Y así, nos queda el siguiente campo de tensiones:

<math> \sigma_{ij} = \lambda \nabla \cdot \vec u \boldsymbol {1} + 2 \mu \epsilon = \frac {y}{10} ( \vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k ) + 2 ( \frac {y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac {x}{20} \vec j \otimes \vec i ) = \frac {3y}{10} \vec i \otimes \vec i - \frac {x}{10} \vec i \otimes \vec j - \frac {x}{10} \vec j \otimes \vec i + \frac {y}{10} \vec j \otimes \vec j + \frac {y}{10} \vec k \otimes \vec k) </math>

<math> \sigma_{ij} = \begin{pmatrix}
\frac {3y}{10} & - \frac {x}{10} & 0\\
- \frac {x}{10} & \frac {y}{10} & 0\\
0 & 0 & \frac {y}{10}
\end{pmatrix} </math>

===Cálculo de las tensiones normales===

Para calcular las tensiones normales, vamos a proyectar el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij} </math> sobre los ejes.

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {3y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {y-x}{10} </math>

====Tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math>====
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec k </math> se obtienen a partir de la expresión:

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {y}{10} </math>

===Visualización de las tensiones normales===

==La tensión de Von Mises==
===Cálculo e Interpretación de la tensión de Von Mises===
===Visualización de la tensión de Von Mises===

==Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> que actua sobre el sólido==

===Cálculo del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math>===

El desplazamiento de la placa dado por el vector <math>\vec u(\rho,\theta) = - \frac{\rho * \cos (\theta)}{10} \vec g_\theta = - \frac{x}{10} * (-y \vec i + x \vec j)</math> está causado por un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre el interior de la placa.

Para calcularlo, vamos a utilizar la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math>. Es decir, que para calcular las componentes del campo de fuerzas haremos la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Así, obtenemos las siguientes componentes:

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{3y}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = 0 \vec i </math>

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{-x}{10} }{\partial x} + \frac {\partial \frac{y}{10} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = (-\frac {1}{10} + \frac {1}{10}) \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac { \partial \frac {y}{10}}{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

===Visualización del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===
===Interpretación del Campo de Fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

El campo de fuerzas que causa los desplazamientos que estudiamos es <math>\vec{F} = \vec 0 </math>. Esto, aparentemente, no tiene sentido, ya que los desplazamientos causados por

==Masa total de la placa==
Supongamos que la densidad de la placa es <math> d(x,y)=1+e^{\frac{-\mid x \mid^2}{(y+1)^4}} </math>. Calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente.
===Cálculo de la masa total de la placa===

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-06T23:59:52Z

Alberto Garcés: /* Cálculo del Campo de Fuerzas \vec{F} */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo C1)

2018-12-06T23:59:23Z

Alberto Garcés: /* Cálculo del Campo de Fuerzas \vec{F} */