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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-10T09:56:57Z

Alba R:

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:Mallado sólido.jpg|marco|centro|Mallado del sólido]]

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
[[Archivo:Temperaturareal3D2.jpg|marco|derecha|Campo de temperaturas]]
[[Archivo:Temperaturareal2.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Temperaturas en el plano OXY]]
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
[[Archivo:Gradientetemp.jpg|marco|centro|Gradiente de temperatura]]

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
}}
[[Archivo:Campodevectores.jpg|marco|centro|Estado vibratorio del sólido]]
Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, es decir y=1, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}
[[Archivo:Movimiento.jpg|marco|centro|Comparación de situaciones inicial y final]]
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(pi*cos(pi*yy))/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:Divergenc1.jpg|500x400px|marco|centro|Divergencia vista en 2D]][[Archivo:Divergenc2.jpg|500x400px|marco|centro
|Variación volumétrica de la placa]]

===Rotacional===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto o eje.
En nuestro caso, el rotacional vale 0, lo que implica que dicho campo está inmóvil.

==Tensiones==
Definiendo <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula
<math>\sigma_{ij}=λ \cdot \nabla \vec u δ_{ij} + 2\cdotμ\cdotΕ_{ij}</math>

Donde <math>Ε_{ij}</math> es la parte simétrica del campo <math>\vec u</math>, <math>Ε_{ij}=\frac {(\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)}{2}</math>
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando <math>λ=μ=1</math>, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>, es decir <math>(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i)</math> y las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>, es decir <math>(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j)</math>.Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
[[Archivo:Tensnormalx2.jpg|marco|derecha|tensiones normales]]
[[Archivo:Tensnormalx3D2.jpg|marco|centro|Campo de tensiones normales]]
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|= 0 </math> para las tensiones en la dirección <math> \vec i </math> y de forma análoga para la dirección<math> \vec j</math>, <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j| = 0 </math>.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,<math> \vec i </math> y <math> \vec j </math>, impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-10T09:56:08Z

Alba R: /* Tensiones */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:Mallado sólido.jpg|marco|centro|Mallado del sólido]]

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
[[Archivo:Temperaturareal3D2.jpg|marco|derecha|Campo de temperaturas]]
[[Archivo:Temperaturareal2.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Temperaturas en el plano OXY]]
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
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hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
[[Archivo:Gradientetemp.jpg|marco|centro|Gradiente de temperatura]]

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
}}
[[Archivo:Campodevectores.jpg|marco|centro|Estado vibratorio del sólido]]
Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, es decir y=1, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}
[[Archivo:Movimiento.jpg|marco|centro|Comparación de situaciones inicial y final]]
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(pi*cos(pi*yy))/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:Divergenc1.jpg|500x400px|marco|centro|Divergencia vista en 2D]][[Archivo:Divergenc2.jpg|500x400px|marco|centro
|Variación volumétrica de la placa]]

===Rotacional===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto o eje.
En nuestro caso, el rotacional vale 0, lo que implica que dicho campo está inmóvil.

==Tensiones==
Definiendo <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math>, que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula
<math>\sigma_{ij}=λ \cdot \nabla \vec u δ_{ij} + 2\cdotμ\cdotΕ_{ij}</math>

Donde <math>Ε_{ij}</math> es la parte simétrica del campo <math>\vec u</math>, <math>Ε_{ij}=\frac {(\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)}{2}</math>
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando <math>λ=μ=1</math>, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>, es decir <math>(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i)</math> y las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>, es decir <math>(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j)</math>.Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
[[Archivo:Tensnormalx2.jpg|marco|derecha|tensiones normales]]
[[Archivo:Tensnormalx3D2.jpg|marco|centro|Campo de tensiones normales]]
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|= 0 </math> para las tensiones en la dirección <math> \vec i </math> y de forma análoga para la dirección<math> \vec j</math>, <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j| = 0 </math>.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,<math> \vec i </math> y <math> \vec j </math>, impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-10T09:30:52Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:Mallado sólido.jpg|marco|centro|Mallado del sólido]]

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
[[Archivo:Temperaturareal3D2.jpg|marco|derecha|Campo de temperaturas]]
[[Archivo:Temperaturareal2.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Temperaturas en el plano OXY]]
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
[[Archivo:Gradientetemp.jpg|marco|centro|Gradiente de temperatura]]

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
}}
[[Archivo:Campodevectores.jpg|marco|centro|Estado vibratorio del sólido]]
Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, es decir y=1, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}
[[Archivo:Movimiento.jpg|marco|centro|Comparación de situaciones inicial y final]]
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(pi*cos(pi*yy))/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:Divergenc1.jpg|500x400px|marco|centro|Divergencia vista en 2D]][[Archivo:Divergenc2.jpg|500x400px|marco|centro
|Variación volumétrica de la placa]]

===Rotacional===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto o eje.
En nuestro caso, el rotacional vale 0, lo que implica que dicho campo está inmóvil.

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.ç
[[Archivo:Tensnormalx2.jpg|marco|derecha|tensiones normales]]
[[Archivo:Tensnormalx3D2.jpg|marco|centro|Campo de tensiones normales]]
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: |σ⋅i⃗ −(i⃗ ⋅σ⋅i⃗ )i⃗ | para las tensiones en la dirección i⃗ y de forma análoga para la dirección j⃗ , |σ⋅j⃗ −(j⃗ ⋅σ⋅j⃗ )j⃗ |.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,i⃗ y j⃗ , impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-10T09:28:58Z

Alba R: /* Divergencia */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:Mallado sólido.jpg|marco|centro|Mallado del sólido]]

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
[[Archivo:Temperaturareal3D2.jpg|marco|derecha|Campo de temperaturas]]
[[Archivo:Temperaturareal2.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Temperaturas en el plano OXY]]
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
[[Archivo:Gradientetemp.jpg|marco|centro|Gradiente de temperatura]]

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, es decir y=1, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=(pi*cos(pi*yy))/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:Divergenc1.jpg|500x400px|marco|centro|Divergencia vista en 2D]][[Archivo:Divergenc2.jpg|500x400px|marco|centro
|Variación volumétrica de la placa]]

===Rotacional===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto o eje.
En nuestro caso, el rotacional vale 0, lo que implica que dicho campo está inmóvil.

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.ç
[[Archivo:Tensnormalx2.jpg|marco|derecha|tensiones normales]]
[[Archivo:Tensnormalx3D2.jpg|marco|centro|Campo de tensiones normales]]
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: |σ⋅i⃗ −(i⃗ ⋅σ⋅i⃗ )i⃗ | para las tensiones en la dirección i⃗ y de forma análoga para la dirección j⃗ , |σ⋅j⃗ −(j⃗ ⋅σ⋅j⃗ )j⃗ |.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,i⃗ y j⃗ , impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-10T09:24:30Z

Alba R: /* Efecto de la Temperatura */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:Mallado sólido.jpg|marco|centro|Mallado del sólido]]

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
[[Archivo:Temperaturareal3D2.jpg|marco|derecha|Campo de temperaturas]]
[[Archivo:Temperaturareal2.jpg|miniaturadeimagen|marco|centro|Temperaturas en el plano OXY]]
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
[[Archivo:Gradientetemp.jpg|marco|centro|Gradiente de temperatura]]

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
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view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, es decir y=1, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=cos(yy)/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}
<gallery>
Archivo:divergencia1.jpg|Divergencia vista en 2D.
Archivo:divergencia2.jpg|Variación de volumen producida en la placa.
</gallery>

===Rotacional===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto o eje.
En nuestro caso, el rotacional vale 0, lo que implica que dicho campo está inmóvil.

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.ç
[[Archivo:Tensnormalx2.jpg|marco|derecha|tensiones normales]]
[[Archivo:Tensnormalx3D2.jpg|marco|centro|Campo de tensiones normales]]
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: |σ⋅i⃗ −(i⃗ ⋅σ⋅i⃗ )i⃗ | para las tensiones en la dirección i⃗ y de forma análoga para la dirección j⃗ , |σ⋅j⃗ −(j⃗ ⋅σ⋅j⃗ )j⃗ |.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,i⃗ y j⃗ , impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Divergenc2.jpg

2013-12-10T09:23:16Z

Alba R:

Archivo:Divergenc1.jpg

2013-12-10T09:22:54Z

Alba R:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-10T09:19:36Z

Alba R: /* Introducción */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
[[Archivo:Mallado sólido.jpg|marco|centro|Mallado del sólido]]

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:temperaturareal3D2.jpg|
Archivo:temperaturareal2.jpg|
</gallery>
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:gradientetemp.jpg|
</gallery>

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, es decir y=1, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=cos(yy)/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}
<gallery>
Archivo:divergencia1.jpg|Divergencia vista en 2D.
Archivo:divergencia2.jpg|Variación de volumen producida en la placa.
</gallery>

===Rotacional===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto o eje.
En nuestro caso, el rotacional vale 0, lo que implica que dicho campo está inmóvil.

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.ç
[[Archivo:Tensnormalx2.jpg|marco|derecha|tensiones normales]]
[[Archivo:Tensnormalx3D2.jpg|marco|centro|Campo de tensiones normales]]
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: |σ⋅i⃗ −(i⃗ ⋅σ⋅i⃗ )i⃗ | para las tensiones en la dirección i⃗ y de forma análoga para la dirección j⃗ , |σ⋅j⃗ −(j⃗ ⋅σ⋅j⃗ )j⃗ |.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,i⃗ y j⃗ , impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-10T09:16:54Z

Alba R: /* Tensiones Normales */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:mallado sólido.jpg|mallado del sólido.
</gallery>

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:temperaturareal3D2.jpg|
Archivo:temperaturareal2.jpg|
</gallery>
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:gradientetemp.jpg|
</gallery>

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, es decir y=1, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=cos(yy)/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}
<gallery>
Archivo:divergencia1.jpg|Divergencia vista en 2D.
Archivo:divergencia2.jpg|Variación de volumen producida en la placa.
</gallery>

===Rotacional===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto o eje.
En nuestro caso, el rotacional vale 0, lo que implica que dicho campo está inmóvil.

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.ç
[[Archivo:Tensnormalx2.jpg|marco|derecha|tensiones normales]]
[[Archivo:Tensnormalx3D2.jpg|marco|centro|Campo de tensiones normales]]
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: |σ⋅i⃗ −(i⃗ ⋅σ⋅i⃗ )i⃗ | para las tensiones en la dirección i⃗ y de forma análoga para la dirección j⃗ , |σ⋅j⃗ −(j⃗ ⋅σ⋅j⃗ )j⃗ |.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,i⃗ y j⃗ , impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Diverg2.jpg

2013-12-10T09:11:09Z

Alba R:

Archivo:Diverg1.jpg

2013-12-10T09:09:37Z

Alba R:

Archivo:Divergenciabuena2.jpg

2013-12-10T08:30:27Z

Alba R:

Archivo:Divergenciabuena.jpg

2013-12-10T08:30:07Z

Alba R:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-10T07:55:28Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:mallado sólido.jpg|mallado del sólido.
</gallery>

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:temperaturareal3D2.jpg|
Archivo:temperaturareal2.jpg|
</gallery>
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:gradientetemp.jpg|
</gallery>

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, es decir y=1, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=cos(yy)/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}
<gallery>
Archivo:divergencia1.jpg|Divergencia vista en 2D.
Archivo:divergencia2.jpg|Variación de volumen producida en la placa.
</gallery>

===Rotacional===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto o eje.
En nuestro caso, el rotacional vale 0, lo que implica que dicho campo está inmóvil.

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
<gallery>
Archivo:tensnormalx2.jpg|
Archivo:tensnormalx3D2.jpg|
</gallery>
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: |σ⋅i⃗ −(i⃗ ⋅σ⋅i⃗ )i⃗ | para las tensiones en la dirección i⃗ y de forma análoga para la dirección j⃗ , |σ⋅j⃗ −(j⃗ ⋅σ⋅j⃗ )j⃗ |.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,i⃗ y j⃗ , impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T12:24:04Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:mallado sólido.jpg|mallado del sólido.
</gallery>

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:temperaturareal3D2.jpg|
Archivo:temperaturareal2.jpg|
</gallery>
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:gradientetemp.jpg|
</gallery>

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=cos(yy)/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}
<gallery>
Archivo:divergencia1.jpg|Divergencia vista en 2D.
Archivo:divergencia2.jpg|Variación de volumen producida en la placa.
</gallery>

===Rotacional===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto o eje.
En nuestro caso, el rotacional vale 0, lo que implica que dicho campo está inmóvil.

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
<gallery>
Archivo:tensnormalx2.jpg|
Archivo:tensnormalx3D2.jpg|
</gallery>
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: |σ⋅i⃗ −(i⃗ ⋅σ⋅i⃗ )i⃗ | para las tensiones en la dirección i⃗ y de forma análoga para la dirección j⃗ , |σ⋅j⃗ −(j⃗ ⋅σ⋅j⃗ )j⃗ |.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,i⃗ y j⃗ , impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T12:23:18Z

Alba R: /* Rotacional */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:mallado sólido.jpg|mallado del sólido.
</gallery>

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:temperaturareal3D2.jpg|
Archivo:temperaturareal2.jpg|
</gallery>
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
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contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:gradientetemp.jpg|
</gallery>

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
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}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=cos(yy)/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}
<gallery>
Archivo:divergencia1.jpg|Divergencia vista en 2D.
Archivo:divergencia2.jpg|Variación de volumen producida en la placa.
</gallery>

===Rotacional===
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto o eje.
En nuestro caso, el rotacional vale 0, lo que implica que dicho campo está inmóvil.

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
<gallery>
Archivo:tensnormalx2.jpg|
Archivo:tensnormalx3D2.jpg|
</gallery>
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: |σ⋅i⃗ −(i⃗ ⋅σ⋅i⃗ )i⃗ | para las tensiones en la dirección i⃗ y de forma análoga para la dirección j⃗ , |σ⋅j⃗ −(j⃗ ⋅σ⋅j⃗ )j⃗ |.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,i⃗ y j⃗ , impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T12:20:18Z

Alba R: /* Tensiones Normales */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:mallado sólido.jpg|mallado del sólido.
</gallery>

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:temperaturareal3D2.jpg|
Archivo:temperaturareal2.jpg|
</gallery>
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
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hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:gradientetemp.jpg|
</gallery>

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=cos(yy)/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}
<gallery>
Archivo:divergencia1.jpg|Divergencia vista en 2D.
Archivo:divergencia2.jpg|Variación de volumen producida en la placa.
</gallery>

===Rotacional===
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
<gallery>
Archivo:tensnormalx2.jpg|
Archivo:tensnormalx3D2.jpg|
</gallery>
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: |σ⋅i⃗ −(i⃗ ⋅σ⋅i⃗ )i⃗ | para las tensiones en la dirección i⃗ y de forma análoga para la dirección j⃗ , |σ⋅j⃗ −(j⃗ ⋅σ⋅j⃗ )j⃗ |.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,i⃗ y j⃗ , impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T12:19:53Z

Alba R: /* Efecto de la Temperatura */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:mallado sólido.jpg|mallado del sólido.
</gallery>

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:temperaturareal3D2.jpg|
Archivo:temperaturareal2.jpg|
</gallery>
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:gradientetemp.jpg|
</gallery>

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=cos(yy)/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}
<gallery>
Archivo:divergencia1.jpg|Divergencia vista en 2D.
Archivo:divergencia2.jpg|Variación de volumen producida en la placa.
</gallery>

===Rotacional===
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
<gallery>
Archivo:tensnormalx.jpg|
Archivo:tensnormalx3D.jpg|
</gallery>
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}
===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: |σ⋅i⃗ −(i⃗ ⋅σ⋅i⃗ )i⃗ | para las tensiones en la dirección i⃗ y de forma análoga para la dirección j⃗ , |σ⋅j⃗ −(j⃗ ⋅σ⋅j⃗ )j⃗ |.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,i⃗ y j⃗ , impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Tensnormalx3D2.jpg

2013-12-09T12:19:13Z

Alba R:

Archivo:Tensnormalx2.jpg

2013-12-09T12:18:55Z

Alba R:

Archivo:Temperaturareal3D2.jpg

2013-12-09T12:17:18Z

Alba R:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T12:17:00Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:mallado sólido.jpg|mallado del sólido.
</gallery>

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:temperaturareal3D.jpg|
Archivo:temperaturareal.jpg|
</gallery>
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
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[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:gradientetemp.jpg|
</gallery>

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
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view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
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}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Por tanto, los valores máximos estarán en la región que mayor variación volumétrica sufra. En nuestro caso, es en la región y=0, la base, e irá disminuyendo gradualmente hasta la zona superior de la placa.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=cos(yy)/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}
<gallery>
Archivo:divergencia1.jpg|Divergencia vista en 2D.
Archivo:divergencia2.jpg|Variación de volumen producida en la placa.
</gallery>

===Rotacional===
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
<gallery>
Archivo:tensnormalx.jpg|
Archivo:tensnormalx3D.jpg|
</gallery>
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}
===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: |σ⋅i⃗ −(i⃗ ⋅σ⋅i⃗ )i⃗ | para las tensiones en la dirección i⃗ y de forma análoga para la dirección j⃗ , |σ⋅j⃗ −(j⃗ ⋅σ⋅j⃗ )j⃗ |.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,i⃗ y j⃗ , impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Temperaturareal2.jpg

2013-12-09T12:16:56Z

Alba R:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T12:10:23Z

Alba R: /* Tensiones */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:mallado sólido.jpg|mallado del sólido.
</gallery>

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:temperaturareal3D.jpg|
Archivo:temperaturareal.jpg|
</gallery>
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:gradientetemp.jpg|
</gallery>

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=cos(yy)/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}
<gallery>
Archivo:divergencia1.jpg|Divergencia vista en 2D.
Archivo:divergencia2.jpg|Variación de volumen producida en la placa.
</gallery>

===Rotacional===
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
===Tensiones Normales===
Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
<gallery>
Archivo:tensnormalx.jpg|
Archivo:tensnormalx3D.jpg|
</gallery>
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}
===Tensiones Tangenciales===
Apartir del tensor de tensiones podemos obtener también las tensiones tangenciales que aparecerán en la placa al aplicar el campo anterior de la siguiente forma: |σ⋅i⃗ −(i⃗ ⋅σ⋅i⃗ )i⃗ | para las tensiones en la dirección i⃗ y de forma análoga para la dirección j⃗ , |σ⋅j⃗ −(j⃗ ⋅σ⋅j⃗ )j⃗ |.
Lo que obtenemos tras realizar los cálculos, es que las tensiones tangenciales son nulas en toda la placa.Esto es debido a que las tensiones normales en cada punto se equilibran en las direcciones estudiadas,i⃗ y j⃗ , impidiendo así que se generen esfuerzos cortantes.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T12:10:11Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:mallado sólido.jpg|mallado del sólido.
</gallery>

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:temperaturareal3D.jpg|
Archivo:temperaturareal.jpg|
</gallery>
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
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figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
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fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:gradientetemp.jpg|
</gallery>

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
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[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
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view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
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subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
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subplot(2,1,2)
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}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>
En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa ya que en los extremos y en la parte central (y=1) no hay movimiento. El movimiento se produce en dirección vertical pero con dos sentidos contrarios, la parte de abajo de la placa tiende a ascender acercándose a la cota central. La parte de arriba, desciende aproximándose también al centro de la placa. La consecuencia de todo esto es una compresión alrededor de la zona media de la placa.

===Divergencia===
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=cos(yy)/10;
surf(xx,yy,f)
view(2)
colorbar
}}
<gallery>
Archivo:divergencia1.jpg|Divergencia vista en 2D.
Archivo:divergencia2.jpg|Variación de volumen producida en la placa.
</gallery>

===Rotacional===
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
<gallery>
Archivo:tensnormalx.jpg|
Archivo:tensnormalx3D.jpg|
</gallery>
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Divergencia2.jpg

2013-12-09T12:07:28Z

Alba R:

Archivo:Divergencia1.jpg

2013-12-09T12:07:12Z

Alba R:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T11:52:48Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
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view(2)
}}
<gallery>
Archivo:mallado sólido.jpg|mallado del sólido.
</gallery>

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
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view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:temperaturareal3D.jpg|
Archivo:temperaturareal.jpg|
</gallery>
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
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figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
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fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
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quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:gradientetemp.jpg|
</gallery>

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
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view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

Seguidamente, pasamos a comparar el estado inicial y final de la placa por la actuación de la vibración.
Empleando para ello otro código Matlab que nos representa ambos estados en un mismo gráfico.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1) %Comando que nos permite generar una matriz de gráficos
mesh(xx,yy,0*yy) %Generación malla en estado inicial
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subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) %Generación malla en estado final (aplicando la vibración)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>

En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en la zona central de la placa. Esto como consecuencia de que el campo de vectores es nulo en los extremos de la placa y va tomando valores negativos hacia el centro de la misma por lo que la comprime en esta zona.
===Divergencia===
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Rotacional===
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
<gallery>
Archivo:tensnormalx.jpg|
Archivo:tensnormalx3D.jpg|
</gallery>
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T11:44:47Z

Alba R: /* Tensiones */

{{beta}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

Vamos a realizar un estudio sobre la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.Para ello vamos a tomar una placa plana rectangular sometida a temperatura y vibración.

==Introducción==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal. En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

# Mallado del sólido.
En este apartado se pide dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido.
Para ello,empleamos un código MatLAB tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y, y obteniendo una placa rectangular de 1x2.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:mallado sólido.jpg|mallado del sólido.
</gallery>

==Efecto de la Temperatura==
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>, que es un campo escalar que depende sólo de la variable y. Mediante el siguiente código representamos el campo escalar, que tine sus valores máximos representados en el eje x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:temperaturareal3D.jpg|
Archivo:temperaturareal.jpg|
</gallery>
===Variación de la Temperatura===
En este apartado vamos a representar el gradiente del campo escalar de temperaturas, es decir, la variación de este a lo largo de la placa estudiada. Los valores máximos coinciden con los de la funcion de temperatura, ya que ésta es de tipo exponencial y tiene su origen el en eje de las x.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
fx=0.*yy; % Parcial differential in 'x'
fy=-exp(-yy); % Parcial Differential in 'y'
quiver(xx,yy,fx,fy) % Vectorial field
axis([-2,3,-2,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % Escalar field contour lines
view(2) % See the pisture from the top
}}
<gallery>
Archivo:gradientetemp.jpg|
</gallery>

==Efecto de la Vibración==
Se produce una vibración sobre la placa definida por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que actúa sobre cada punto del sólido provocándole un desplazamiento.
A continuación vamos a emplear un código Matlab para mostrar la representación de dicho campo de vectores sobre el mallado.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
fx=xx.*0;
fy=sin(pi*yy)./10;
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view(2)
}}<gallery>
Archivo:campodevectores.jpg|Vibración del campo de vectores.
</gallery>
Como podemos ver en la imagen, el campo de vectores toma dirección vertical ya que sólo tiene componente <math>\vec j</math>.Se pueden observar tres puntos característicos y dos zonas bien diferenciadas.
Los puntos característicos son los extremos superior e inferior de la placa así como la parte central, debido a que en ellos el campo es nulo a causa de la función seno.
A su vez, observamos que la mitad inferior de la placa toma valores positivos (sentido ascendente en la gráfica) mientras que en la mitad superior toma valores negativos, lo que implica un sentido descendente.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy)
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}<gallery>
Archivo:movimiento.jpg|Desplazamiento antes y después de la vibración.
</gallery>

En esta imagen se aprecia que el desplazamiento se produce en la zona central de la placa. Esto como consecuencia de que el campo de vectores es nulo en los extremos de la placa y va tomando valores negativos hacia el centro de la misma por lo que la comprime en esta zona.
===Divergencia===
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

===Rotacional===
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

==Tensiones==
Definiendo ϵ(u⃗ )=(∇u⃗ +∇u⃗ t)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de u⃗ , que se denomina tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
σij=λ∇⋅u⃗ δij+2μϵij,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando λ=μ=1, dibujamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje i⃗ , es decir i⃗ ⋅σ⋅i⃗ y las tensiones normales en la dirección que marca el eje j⃗ , es decir j⃗ ⋅σ⋅j⃗ .Para conseguir estas tensiones escalares, utilizamos la matriz de tensiones calculada a mano y la evaluamos en la placa en las direcciones estudiadas.
Al realizar los cálculos, llegamos a la conclusión de que las tensiones normales en ambas direcciones toman el mismo valor en cada punto.
<gallery>
Archivo:tensnormalx.jpg|
Archivo:tensnormalx3D.jpg|
</gallery>
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2; % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
deru=pi*cos(pi.*yy)/10; % Escalar field
Ni=deru; % Normal stress on i⃗ direction
Nj=deru; % Normal stress on j⃗ direction
figure(1)
surf(xx,yy,Ni,Nj) % Ploting the surface of the escalar field
axis([-2,3,-2,3])
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T11:44:44Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T11:32:15Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

Archivo:Tensnormalx3D.jpg

2013-12-09T11:30:27Z

Alba R:

Archivo:Tensnormalx.jpg

2013-12-09T11:29:25Z

Alba R:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T11:25:50Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

Archivo:Movimiento.jpg

2013-12-09T11:22:39Z

Alba R: desplazamiento antes y después de la vibración

desplazamiento antes y después de la vibración

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T11:19:07Z

Alba R: /* Variación de la Temperatura */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T11:10:34Z

Alba R: /* Efecto de la Temperatura */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T11:09:44Z

Alba R: /* Efecto de la Temperatura */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T11:05:40Z

Alba R: /* Variación de la Temperatura */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T11:04:16Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T10:58:34Z

Alba R: /* Efecto de la Temperatura */

Archivo:Gradientetemp.jpg

2013-12-09T10:56:07Z

Alba R:

Archivo:Temperaturareal3D.jpg

2013-12-09T10:55:48Z

Alba R:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T10:55:32Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

Archivo:Temperaturareal.jpg

2013-12-09T10:55:26Z

Alba R:

Archivo:Campodevectores.jpg

2013-12-09T10:53:09Z

Alba R: Vibración del campo de vectores.

Vibración del campo de vectores.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T10:51:11Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T10:50:43Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T10:48:13Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 20)

2013-12-09T10:45:43Z

Alba R: /* Efecto de la Vibración */