Deformaciones elásticas de una placa plana en 2D (Grupo 28-B)

2022-12-08T19:21:37Z

Alba Montoro:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 28-B | [[Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alba Xiyi Montoro Poveda<br/>Pau Vives Segui<br/>Rubén Rufo Lucas<br/>Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por, <center><math>T(x, y)=(x-3)^2+(10(y-\frac{1}{2}))^2</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center> Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(k(\vec{d}*\vec{r}-vt))</math></center> donde a se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, d es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación. La variable t representa el tiempo que congelaremos en t = 0 en los primeros 10 apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados, <center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a} sin(k(\vec{d}*\vec{r}))</math></center> Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular <math>a = 2/5\vec{j}</math>, <math>k = 1</math>, <math>\vec{d} =\vec{i}</math>

=Mallado de la placa=
En primer lugar se representará un mallado de nuestra placa rectangular. Para esto, tomaremos los ejes en el rectángulo (x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5] y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.

{{matlab|codigo=
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
% Se realiza el mallado.
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Se representa el mallado con tres ejes, de ellos uno nulo.
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Se pone título a la gráfica.
title('Mallado de la placa');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
% Se cambia a vista cenital
view(2)
}}

=Curvas de nivel de la termperatura=
Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura usando el comando contour y a partir de la gráfica observamos el punto donde la temperatura es máxima.

{{matlab|codigo=
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(Mx-3).^2 +(10.*(My-1./2)).^2;
figure(2)
% Campo de temperaturas en 3D.
mesh(Mx,My,T);
hold on
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold off
% Se pone título a la gráfica.
title('Campo de temperaturas y curvas de nivel');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las T');
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
% Se le aplica una barra con colores asignados a cada temperatura.
colorbar;
% Temperatura más alta en (x,y)=(2,10) son 274ºC
}}

=Cálculo ∇T y dibujo como campo vectorial=
Se puede observar gráficamente que ∇T es ortogonal a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(Mx-3).^2 +(10.*(My-1./2)).^2;
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=2.*(Mx-3);
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=200.*(My-1./2);
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Se pone título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
}}

=Campo de vectores=
Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t=0.

{{matlab|codigo=
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
ux=0.*My;
uy=(2/5).*sin(Mx);
figure(4)
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
% Se pone título a la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

{{matlab|codigo=
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
ux=0.*My;
uy=(2/5).*sin(Mx);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Se pone título a la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Se pone título a la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
view(2)
% Comparación entre las dos situaciones
subplot(2,2,3)
mesh(Mx,My,Mx*0);
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My,'LineWidth',1);
% Después del desplazamiento figura con las líneas más gruesas
hold off
% Se pone título a la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
view(2)

}}

=<math>∇*\vec{u}</math>=
Dibujamos la divergenica <math>∇*\vec{u}</math>. Observamos que la divergencia es nula.

{{matlab|codigo=
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Calculamos la divergencia y da cero.
D=0.*Mx+0.*My
% Divergencia.
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Se pone título a la gráfica.
title('Divergencia');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
% Se le aplica una barra.
colorbar;
view(2)
}}

=Rotacional de <math>\vec{u}</math>=

{{matlab|codigo=
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Calculamos el rotacional dando lo siguiente:
R=2/5.*cos(Mx);
% Rotacional.
surf(Mx,My,R);
shading flat
% Se pone título a la gráfica.
title('Rotacional');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
% Se le aplica una barra.
colorbar;
view(2)
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal=

{{matlab|codigo=
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Tensiones tangenciales.
T_tan=(2/5)*cos(Mx)
%Necesitamos una matriz de ceros del tamaño de "T_tan"
%por lo que la multiplicaremos por cero.
quiver(Mx,My,T_tan,T_tan.*0);
% Se pone título a la gráfica.
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=

{{matlab|codigo=
% Se definen las variables.
h=2/10;
x=[0:h:10];
y=[0:h:2];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
M_VonMises=0.*My
% Definimos la función de Von Mises siendo
% T1,T2 y T3 las tensiones elementales.
VonMises=inline('(((T1-T2)^2+(T2-T3)^2+(T3-T1)^2)/2)^(1/2)','T1','T2','T3');
[a,b]=size(My);
% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:a
for j=1:b
Deformaciones=[[0;(2/5).*cos(Mx(i,j));0],[(2/5).*cos(Mx(i,j));0;0],[0;0;0]];
Lamb=eig(Deformaciones);
T1=Lamb(1,1);
T2=Lamb(2,1);
T3=Lamb(3,1);
M_VonMises(i,j)=VonMises(T1,T2,T3);
end
end
% Von Mises.
surf(Mx,My,M_VonMises);
shading flat
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Se define el rango de visión de la gráfica.
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
}}

Deformaciones elásticas de una placa plana en 2D (Grupo 28-B)

2022-12-08T19:02:56Z

2022-12-08T00:30:10Z

Alba Montoro:

Deformaciones elásticas de una placa plana en 2D (Grupo 28-B)

2022-12-08T00:20:49Z

Alba Montoro: