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Temperaturas, ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 28)

2025-11-28T10:45:40Z

Alba García Celdrán:

{{ TrabajoED | Temperaturas, ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Tiago di Risio
*Diego Gonzalez Ramirez
*Lucas Escalante Morante
*Nicolás Bofarull Esteban
*Alba García Celdrán}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Nuestro proyecto trabaja con un campo vectorial de un sector anular. Esta es una curva plana comprendida en el plano X-Y, por lo que su valor de Z siempre va a ser nulo (Z=0). Por otra parte la ρ esta comprendida entre 1 y 2 (ρ ∈[1, 2]), y la π oscila de 0 a π (θ ∈[0, π]), por lo que seria como la sección horizontal de medio donut, o una semicircunferencia truncada el el centro.

=Representación del mallado=

===Código y representación===

[[Archivo:Foto_Mallado_Vacio.png|thumb|500px|Representación del mallado]]
<br />

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Definición de parámetros
% Radio entre 1 y 2
rho_min = 1;
rho_max = 2;

% Ángulo: Según la Figura 3, es un semicírculo (0 a pi)
theta_min = 0;
theta_max = pi;

% Paso de muestreo h = 1/10 (0.1)
h = 0.1;

%% 2. Generación de la Malla (De polares a Cartesianas)
% Creamos los vectores de radio y ángulo
rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = [theta_min:h:theta_max, theta_max];

% Creamos la rejilla en coordenadas polares
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Transformamos a Coordenadas Cartesianas para poder pintar
% x = rho * cos(theta)
% y = rho * sin(theta)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% 3. Visualización (Replicando Figura 3)
figure(1);
clf; % nuevo proceso
hold on;
axis equal; % Mantiene las proporciones entre ejes
grid off; % Quitamos la rejilla de fondo.

% A) Pintar la malla interna (Verde)
% Pintamos las líneas radiales
plot(X, Y, 'g', 'LineWidth', 0.5);
% Pintamos los arcos
plot(X', Y', 'g', 'LineWidth', 0.5);

% B) Pintar el Borde Rojo
% El borde se compone de 4 partes:
% 1. Arco interior (rho = 1)
% 2. Arco exterior (rho = 2)
% 3. Cierre inferior izquierdo y derecho

% Definimos los bordes para pintarlos seguidos
borde_rho = [rho_vec(1)*ones(size(theta_vec)), ... % Arco Interior
rho_vec(end)*ones(size(theta_vec)), ... % Arco Exterior
rho_vec, ... % Línea base (theta=0)
rho_vec]; % Línea base (theta=pi)

% Para pintar el borde continuo, lo hacemos paramétricamente:
% Lado 1: Arco grande (Exterior)
plot(rho_max * cos(theta_vec), rho_max * sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 2: Arco pequeño (Interior)
plot(rho_min * cos(theta_vec), rho_min * sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 3: Cierre plano izquierda (theta = pi)
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 4: Cierre plano derecha (theta = 0)
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'r', 'LineWidth', 2);

%% 4. Ajustes de la representacion
title('Mallado del Arco I');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis([-2.5 2.5 -0.5 2.5]); % Ajustar límites para ver bien todo
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
}}

=Temperatura del sólido=
La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en puntos que están a distancia 1 del origen. Se supone conocida y viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=(x-y)^2 </math> </center>
===Código===
[[Archivo:Foto_Mallado_Temperatura.png|thumb|center|500px|Representación de las temperaturas]]
En la representación de la temperatura del arco, se observan las distintas líneas de nivel de la función temperatura con distintos colores, siendo los mas oscuros y fríos los de las temperaturas mas bajas y los mas brillantes y cálidos los de las mas altas.

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Definición de parámetros
% Radio entre 1 y 2
rho_min = 1;
rho_max = 2;

% Ángulo: Según la Figura 3, es un semicírculo (0 a pi)
theta_min = 0;
theta_max = pi;

% Paso de muestreo h = 1/10 (0.1)
h = 0.1;

%% 2. Generación de la Malla (De polares a Cartesianas)
% Creamos los vectores de radio y ángulo
rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = [theta_min:h:theta_max, theta_max];

% Creamos la rejilla en coordenadas polares
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Transformamos a Coordenadas Cartesianas para poder pintar
% x = rho * cos(theta)
% y = rho * sin(theta)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% 3. Visualización
figure(1);
clf; % nuevo proceso
hold on;
axis equal; % Mantiene las proporciones entre ejes
grid off; % Quitamos la rejilla de fondo.

% A) Pintar la malla interna (Verde)
% Pintamos las líneas radiales
plot(X, Y, 'g', 'LineWidth', 0.5);
% Pintamos los arcos
plot(X', Y', 'g', 'LineWidth', 0.5);

% B) Pintar el Borde Rojo
% El borde se compone de 4 partes:
% 1. Arco interior (rho = 1)
% 2. Arco exterior (rho = 2)
% 3. Cierre inferior izquierdo y derecho

% Definimos los bordes para pintarlos seguidos
borde_rho = [rho_vec(1)*ones(size(theta_vec)), ... % Arco Interior
rho_vec(end)*ones(size(theta_vec)), ... % Arco Exterior
rho_vec, ... % Línea base (theta=0)
rho_vec]; % Línea base (theta=pi)

% Para pintar el borde continuo, lo hacemos paramétricamente:
% Lado 1: Arco grande (Exterior)
plot(rho_max * cos(theta_vec), rho_max * sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 2: Arco pequeño (Interior)
plot(rho_min * cos(theta_vec), rho_min * sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 3: Cierre plano izquierda (theta = pi)
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 4: Cierre plano derecha (theta = 0)
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'r', 'LineWidth', 2);

%% 4. Ajustes de la representacion
title('Mallado del Arco I');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis([-2.5 2.5 -0.5 2.5]); % Ajustar límites para ver bien todo
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco

%% 5. Campo de Temperaturas
% Definimos la función T = (x - y)^2
T = (X - Y).^2;

% Creamos una nueva figura para no borrar la del mallado limpio
figure(2);
clf; hold on; axis equal;

% Mapa de Calor
[C, h_cont] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineStyle', 'none');

% B) Añadir la Barra de Color
colorbar;
title('Distribución de Temperatura T(x,y) = (x-y)^2');
xlabel('x'); ylabel('y');

% C) Añadir el Borde Negro (Contorno del arco)
plot(rho_max * cos(theta_vec), rho_max * sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(rho_min * cos(theta_vec), rho_min * sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'k', 'LineWidth', 2);
}}

Nuestro trabajo explicaba que tenemos que seguir el mismo proceso que en el K, con la diferencia de que nos dan una ecuación de temperatura distinta. En el K también indica que existe un foco de calor en rho igual a 1. En nuestra ecuación de temperatura eso no se cumple ya que es la indicada en el punto 2. Esta fórmula explica que la temperatura aumenta cuando la diferencia absoluta de la x y la y incrementa exponencialmente elevada a dos, explicado de una manera mas simple, la temperatura crece exponencialmente según se aleja de la línea x=y, en esa línea la temperatura siempre será 0.

Para visualizar de manera mas sencilla la forma en la que crece la temperatura según se aleja de la línea X=Y, representamos la función <math>T(x,y)=(x-y)^2 </math> en Geogebra 3D de esta forma, se aprecia perfectamente como la función temperatura es un cilindro parabólico a lo largo del eje X=Y y con vértice en el plano Z=0.

<gallery mode="packed" heights="250px">
Archivo:Representacion_temperatura_parabola.png|Visualización de la forma de cilindro parabólico de la función
Archivo:Representacion_Temperatura_Proyectando_Eje_Z.png|Visualización de la función proyectando el eje Z
</gallery>

=Gradiente de T=
===Definición de un gradiente===
El gradiente (<math>\nabla T</math>) se utiliza para describir la dirección y tasa de cambio de más rápida de un campo escalar. El vector indica la dirección en la que varía más rápidamente y su módulo (|<math>\nabla T</math>|) indica la tasa en esa dirección. Para cacular el gradiente en coordenadas cartesianas, se utiliza la siguiente expresión:
<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k</math></center>

El gradiente será:
<center><math>\nabla T = 2(x-y)\vec i-2(x-y)\vec j</math></center>

=Campo de vectores=
Dado el siguiente campo:
<div style="text-align:center;">
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}</math>
</div>

En la figura se puede ver con flechas rojas las componentes del campo vectorial. Las únicas representadas son las tangenciales, en otras palabras la e_θ. La componente normal (e_ρ), y la componente binormal (e_z), son las dos nulas, iguales a 0, por eso mismo no tienen ninguna representación. La normal tendría una dirección alejándose o acercándose del centro del circulo dependiendo si es positiva o negativa. Y la componente binormal si todo fuese positivo se saldría de la pantalla hacia nosotros, direccion vertical. Estas tres componentes siempre so positivas y tienen que cumplir l regla de la mano derecha, cuando hablamos de sus orientaciones.

===Código===
[[Archivo:Campo_vectorial_U.png|thumb|500px|Representación campo vectorial U]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% 1. Definir Geometría
rho_vec = 1:0.1:2; % Radio de 1 a 2
theta_vec = 0:0.1:pi; % De 0 a pi (Semicírculo)
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec); % Malla en polares

% Coordenadas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% 2. Calcular el Campo Vectorial u
% Fórmula: u = 1/5 * (rho-1) * rho^2 * sin(theta) * e_theta
U_rho = zeros(size(R)); % No hay componentes normales ni binormales
U_theta = (1/5) * (R - 1) .* (R.^2) .* sin(Th);

% Transformar vectores a Cartesianas
UX = U_rho .* cos(Th) - U_theta .* sin(Th);
UY = U_rho .* sin(Th) + U_theta .* cos(Th);

% 3. Optimización visual
paso = 2; % Pintar solo 1 de cada 2 flechas para que se vean nítidas
idx_r = 1:paso:size(X,1);
idx_t = 1:paso:size(X,2);

X_q = X(idx_r, idx_t);
Y_q = Y(idx_r, idx_t);
UX_q = UX(idx_r, idx_t);
UY_q = UY(idx_r, idx_t);

% 4. Pintar la Figura
figure(6); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
title('Campo Vectorial U');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Pintar contorno del arco (Referencia visual)
borde_R = [1, 2, 2, 1, 1]; % Radios para dibujar el marco
borde_T = [0, 0, pi, pi, 0]; % Ángulos para dibujar el marco
% (Nota: pinto líneas simples de referencia)
plot(2*cos(0:0.01:pi), 2*sin(0:0.01:pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % Arco ext
plot(1*cos(0:0.01:pi), 1*sin(0:0.01:pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % Arco int
line([-2 -1], [0 0], 'Color', 'k', 'LineWidth', 1.5); % Cierre izq
line([1 2], [0 0], 'Color', 'k', 'LineWidth', 1.5); % Cierre der

% Pintar las flechas
quiver(X_q, Y_q, UX_q, UY_q, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);

axis([-2.5 2.5 0 2.5]); % Ajustar zoom
grid off;
}}

=Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento=
===codigo===
[[Archivo:Sin_deformar.png|thumb|center|500px|Inicial]]
[[Archivo:Deformada.png|thumb|center|500px|Final]]
[[Archivo:Comparacion.png|thumb|center|500px|Comparación]]

{{matlab|codigo=
%% Visualización de Deformación (Azul vs Rojo)
clear; clc; close all;
% --- 1. DATOS Y CÁLCULOS ---
rho_vec = 1:0.1:2;

% EL CAMBIO ESTÁ AQUÍ:

theta_vec = [0:0.1:pi, pi];

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posición Inicial
X_ini = R .* cos(Th);
Y_ini = R .* sin(Th);

% Desplazamiento u (Trabajo M)
u_rho = zeros(size(R));
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* (R.^2) .* sin(Th);

UX = u_rho .* cos(Th) - u_theta .* sin(Th);
UY = u_rho .* sin(Th) + u_theta .* cos(Th);

% Posición Final
X_fin = X_ini + UX;
Y_fin = Y_ini + UY;

% --- GENERACIÓN DE LAS GRÁFICAS ---

% GRÁFICA 1: Posición Inicial
figure(1); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('1. Posición Inicial (Sin deformar)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 2: Posición Final
figure(2); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('2. Posición Final (Deformada)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 3: Superposición (AZUL vs ROJO)
figure(3); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('3. Comparativa: Inicial vs Final');
xlabel('x'); ylabel('y');

% A) Inicial: AZUL
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);

% B) Final: ROJO
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1.2);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1.2);

% --- Función para bordes ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end
}}

=Divergencia=
===Definición de un gradiente===
La divergencia de un campo vectorial (<math>\nabla \cdot \vec{u}</math>) en un punto dado es una medida de la tasa a la que el flujo del campo se está expandiendo (saliendo) o contrayendo (entrando) en ese punto.

Es un valor escalar que te dice qué tan fuerte es una fuente o un sumidero de flujo en ese lugar. Para calcular la divergencia en coordenadas cilíndricas se utiliza la siguiente fórmula:
<math>
\nabla \cdot \vec{U} = \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho U_{\rho}) + \frac{\partial U_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial}{\partial z} (\rho U_{z}) \right]
</math>

=Rotacional=

=Tensiones normales=

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal i=

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal j=

=Calculo de la masa=

=Interpretación del trabajo=

Temperaturas, ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 28)

2025-11-28T10:28:31Z

Alba García Celdrán: /* Campo de vectores */

{{ TrabajoED | Temperaturas, ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Tiago di Risio
*Diego Gonzalez Ramirez
*Lucas Escalante Morante
*Nicolás Bofarull Esteban
*Alba García Celdrán}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=Representación del mallado=

===Código y representación===

[[Archivo:Foto_Mallado_Vacio.png|thumb|500px|Representación del mallado]]
<br />

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Definición de parámetros
% Radio entre 1 y 2
rho_min = 1;
rho_max = 2;

% Ángulo: Según la Figura 3, es un semicírculo (0 a pi)
theta_min = 0;
theta_max = pi;

% Paso de muestreo h = 1/10 (0.1)
h = 0.1;

%% 2. Generación de la Malla (De polares a Cartesianas)
% Creamos los vectores de radio y ángulo
rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = [theta_min:h:theta_max, theta_max];

% Creamos la rejilla en coordenadas polares
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Transformamos a Coordenadas Cartesianas para poder pintar
% x = rho * cos(theta)
% y = rho * sin(theta)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% 3. Visualización (Replicando Figura 3)
figure(1);
clf; % nuevo proceso
hold on;
axis equal; % Mantiene las proporciones entre ejes
grid off; % Quitamos la rejilla de fondo.

% A) Pintar la malla interna (Verde)
% Pintamos las líneas radiales
plot(X, Y, 'g', 'LineWidth', 0.5);
% Pintamos los arcos
plot(X', Y', 'g', 'LineWidth', 0.5);

% B) Pintar el Borde Rojo
% El borde se compone de 4 partes:
% 1. Arco interior (rho = 1)
% 2. Arco exterior (rho = 2)
% 3. Cierre inferior izquierdo y derecho

% Definimos los bordes para pintarlos seguidos
borde_rho = [rho_vec(1)*ones(size(theta_vec)), ... % Arco Interior
rho_vec(end)*ones(size(theta_vec)), ... % Arco Exterior
rho_vec, ... % Línea base (theta=0)
rho_vec]; % Línea base (theta=pi)

% Para pintar el borde continuo, lo hacemos paramétricamente:
% Lado 1: Arco grande (Exterior)
plot(rho_max * cos(theta_vec), rho_max * sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 2: Arco pequeño (Interior)
plot(rho_min * cos(theta_vec), rho_min * sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 3: Cierre plano izquierda (theta = pi)
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 4: Cierre plano derecha (theta = 0)
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'r', 'LineWidth', 2);

%% 4. Ajustes de la representacion
title('Mallado del Arco I');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis([-2.5 2.5 -0.5 2.5]); % Ajustar límites para ver bien todo
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
}}

=Temperatura del sólido=
La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en puntos que están a distancia 1 del origen. Se supone conocida y viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=(x-y)^2 </math> </center>
===Código===
[[Archivo:Foto_Mallado_Temperatura.png|thumb|center|500px|Representación de las temperaturas]]
En la representación de la temperatura del arco, se observan las distintas líneas de nivel de la función temperatura con distintos colores, siendo los mas oscuros y fríos los de las temperaturas mas bajas y los mas brillantes y cálidos los de las mas altas.

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Definición de parámetros
% Radio entre 1 y 2
rho_min = 1;
rho_max = 2;

% Ángulo: Según la Figura 3, es un semicírculo (0 a pi)
theta_min = 0;
theta_max = pi;

% Paso de muestreo h = 1/10 (0.1)
h = 0.1;

%% 2. Generación de la Malla (De polares a Cartesianas)
% Creamos los vectores de radio y ángulo
rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = [theta_min:h:theta_max, theta_max];

% Creamos la rejilla en coordenadas polares
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Transformamos a Coordenadas Cartesianas para poder pintar
% x = rho * cos(theta)
% y = rho * sin(theta)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% 3. Visualización
figure(1);
clf; % nuevo proceso
hold on;
axis equal; % Mantiene las proporciones entre ejes
grid off; % Quitamos la rejilla de fondo.

% A) Pintar la malla interna (Verde)
% Pintamos las líneas radiales
plot(X, Y, 'g', 'LineWidth', 0.5);
% Pintamos los arcos
plot(X', Y', 'g', 'LineWidth', 0.5);

% B) Pintar el Borde Rojo
% El borde se compone de 4 partes:
% 1. Arco interior (rho = 1)
% 2. Arco exterior (rho = 2)
% 3. Cierre inferior izquierdo y derecho

% Definimos los bordes para pintarlos seguidos
borde_rho = [rho_vec(1)*ones(size(theta_vec)), ... % Arco Interior
rho_vec(end)*ones(size(theta_vec)), ... % Arco Exterior
rho_vec, ... % Línea base (theta=0)
rho_vec]; % Línea base (theta=pi)

% Para pintar el borde continuo, lo hacemos paramétricamente:
% Lado 1: Arco grande (Exterior)
plot(rho_max * cos(theta_vec), rho_max * sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 2: Arco pequeño (Interior)
plot(rho_min * cos(theta_vec), rho_min * sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 3: Cierre plano izquierda (theta = pi)
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 4: Cierre plano derecha (theta = 0)
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'r', 'LineWidth', 2);

%% 4. Ajustes de la representacion
title('Mallado del Arco I');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis([-2.5 2.5 -0.5 2.5]); % Ajustar límites para ver bien todo
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco

%% 5. Campo de Temperaturas
% Definimos la función T = (x - y)^2
T = (X - Y).^2;

% Creamos una nueva figura para no borrar la del mallado limpio
figure(2);
clf; hold on; axis equal;

% Mapa de Calor
[C, h_cont] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineStyle', 'none');

% B) Añadir la Barra de Color
colorbar;
title('Distribución de Temperatura T(x,y) = (x-y)^2');
xlabel('x'); ylabel('y');

% C) Añadir el Borde Negro (Contorno del arco)
plot(rho_max * cos(theta_vec), rho_max * sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(rho_min * cos(theta_vec), rho_min * sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'k', 'LineWidth', 2);
}}

Nuestro trabajo explicaba que tenemos que seguir el mismo proceso que en el K, con la diferencia de que nos dan una ecuación de temperatura distinta. En el K también indica que existe un foco de calor en rho igual a 1. En nuestra ecuación de temperatura eso no se cumple ya que es la indicada en el punto 2. Esta fórmula explica que la temperatura aumenta cuando la diferencia absoluta de la x y la y incrementa exponencialmente elevada a dos, explicado de una manera mas simple, la temperatura crece exponencialmente según se aleja de la línea x=y, en esa línea la temperatura siempre será 0.

Para visualizar de manera mas sencilla la forma en la que crece la temperatura según se aleja de la línea X=Y, representamos la función <math>T(x,y)=(x-y)^2 </math> en Geogebra 3D de esta forma, se aprecia perfectamente como la función temperatura es un cilindro parabólico a lo largo del eje X=Y y con vértice en el plano Z=0.

<gallery mode="packed" heights="250px">
Archivo:Representacion_temperatura_parabola.png|Visualización de la forma de cilindro parabólico de la función
Archivo:Representacion_Temperatura_Proyectando_Eje_Z.png|Visualización de la función proyectando el eje Z
</gallery>

=Gradiente de T=
===Definición de un gradiente===
El gradiente (<math>\nabla T</math>) se utiliza para describir la dirección y tasa de cambio de más rápida de un campo escalar. El vector indica la dirección en la que varía más rápidamente y su módulo (|<math>\nabla T</math>|) indica la tasa en esa dirección. Para cacular el gradiente en coordenadas cartesianas, se utiliza la siguiente expresión:
<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k</math></center>

El gradiente será:
<center><math>\nabla T = 2(x-y)\vec i-2(x-y)\vec j</math></center>

=Campo de vectores=
Dado el siguiente campo:
<div style="text-align:center;">
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}</math>
</div>

En la figura se puede ver con flechas rojas las componentes del campo vectorial. Las únicas representadas son las tangenciales, en otras palabras la e_θ. La componente normal (e_ρ), y la componente binormal (e_z), son las dos nulas, iguales a 0, por eso mismo no tienen ninguna representación. La normal tendría una dirección alejándose o acercándose del centro del circulo dependiendo si es positiva o negativa. Y la componente binormal si todo fuese positivo se saldría de la pantalla hacia nosotros, direccion vertical. Estas tres componentes siempre so positivas y tienen que cumplir l regla de la mano derecha, cuando hablamos de sus orientaciones.

===Código===
[[Archivo:Campo_vectorial_U.png|thumb|500px|Representación campo vectorial U]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% 1. Definir Geometría
rho_vec = 1:0.1:2; % Radio de 1 a 2
theta_vec = 0:0.1:pi; % De 0 a pi (Semicírculo)
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec); % Malla en polares

% Coordenadas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% 2. Calcular el Campo Vectorial u
% Fórmula: u = 1/5 * (rho-1) * rho^2 * sin(theta) * e_theta
U_rho = zeros(size(R)); % No hay componentes normales ni binormales
U_theta = (1/5) * (R - 1) .* (R.^2) .* sin(Th);

% Transformar vectores a Cartesianas
UX = U_rho .* cos(Th) - U_theta .* sin(Th);
UY = U_rho .* sin(Th) + U_theta .* cos(Th);

% 3. Optimización visual
paso = 2; % Pintar solo 1 de cada 2 flechas para que se vean nítidas
idx_r = 1:paso:size(X,1);
idx_t = 1:paso:size(X,2);

X_q = X(idx_r, idx_t);
Y_q = Y(idx_r, idx_t);
UX_q = UX(idx_r, idx_t);
UY_q = UY(idx_r, idx_t);

% 4. Pintar la Figura
figure(6); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
title('Campo Vectorial U');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Pintar contorno del arco (Referencia visual)
borde_R = [1, 2, 2, 1, 1]; % Radios para dibujar el marco
borde_T = [0, 0, pi, pi, 0]; % Ángulos para dibujar el marco
% (Nota: pinto líneas simples de referencia)
plot(2*cos(0:0.01:pi), 2*sin(0:0.01:pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % Arco ext
plot(1*cos(0:0.01:pi), 1*sin(0:0.01:pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % Arco int
line([-2 -1], [0 0], 'Color', 'k', 'LineWidth', 1.5); % Cierre izq
line([1 2], [0 0], 'Color', 'k', 'LineWidth', 1.5); % Cierre der

% Pintar las flechas
quiver(X_q, Y_q, UX_q, UY_q, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);

axis([-2.5 2.5 0 2.5]); % Ajustar zoom
grid off;
}}

=Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento=

=Divergencia=
===Definición de un gradiente===
La divergencia de un campo vectorial (<math>\nabla \cdot \vec{u}</math>) en un punto dado es una medida de la tasa a la que el flujo del campo se está expandiendo (saliendo) o contrayendo (entrando) en ese punto.

Es un valor escalar que te dice qué tan fuerte es una fuente o un sumidero de flujo en ese lugar.

=Rotacional=

=Tensiones normales=

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal i=

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal j=

=Calculo de la masa=

=Interpretación del trabajo=

Temperaturas, ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 28)

2025-11-28T10:15:19Z

Alba García Celdrán: /* Código */

{{ TrabajoED | Temperaturas, ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 28 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Tiago di Risio
*Diego Gonzalez Ramirez
*Lucas Escalante Morante
*Nicolás Bofarull Esteban
*Alba García Celdrán}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

=Representación del mallado=

===Código y representación===

[[Archivo:Foto_Mallado_Vacio.png|thumb|500px|Representación del mallado]]
<br />

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Definición de parámetros
% Radio entre 1 y 2
rho_min = 1;
rho_max = 2;

% Ángulo: Según la Figura 3, es un semicírculo (0 a pi)
theta_min = 0;
theta_max = pi;

% Paso de muestreo h = 1/10 (0.1)
h = 0.1;

%% 2. Generación de la Malla (De polares a Cartesianas)
% Creamos los vectores de radio y ángulo
rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = [theta_min:h:theta_max, theta_max];

% Creamos la rejilla en coordenadas polares
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Transformamos a Coordenadas Cartesianas para poder pintar
% x = rho * cos(theta)
% y = rho * sin(theta)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% 3. Visualización (Replicando Figura 3)
figure(1);
clf; % nuevo proceso
hold on;
axis equal; % Mantiene las proporciones entre ejes
grid off; % Quitamos la rejilla de fondo.

% A) Pintar la malla interna (Verde)
% Pintamos las líneas radiales
plot(X, Y, 'g', 'LineWidth', 0.5);
% Pintamos los arcos
plot(X', Y', 'g', 'LineWidth', 0.5);

% B) Pintar el Borde Rojo
% El borde se compone de 4 partes:
% 1. Arco interior (rho = 1)
% 2. Arco exterior (rho = 2)
% 3. Cierre inferior izquierdo y derecho

% Definimos los bordes para pintarlos seguidos
borde_rho = [rho_vec(1)*ones(size(theta_vec)), ... % Arco Interior
rho_vec(end)*ones(size(theta_vec)), ... % Arco Exterior
rho_vec, ... % Línea base (theta=0)
rho_vec]; % Línea base (theta=pi)

% Para pintar el borde continuo, lo hacemos paramétricamente:
% Lado 1: Arco grande (Exterior)
plot(rho_max * cos(theta_vec), rho_max * sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 2: Arco pequeño (Interior)
plot(rho_min * cos(theta_vec), rho_min * sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 3: Cierre plano izquierda (theta = pi)
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 4: Cierre plano derecha (theta = 0)
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'r', 'LineWidth', 2);

%% 4. Ajustes de la representacion
title('Mallado del Arco I');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis([-2.5 2.5 -0.5 2.5]); % Ajustar límites para ver bien todo
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
}}

=Temperatura del sólido=
La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en puntos que están a distancia 1 del origen. Se supone conocida y viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=(x-y)^2 </math> </center>
===Código===
[[Archivo:Foto_Mallado_Temperatura.png|thumb|center|500px|Representación de las temperaturas]]
En la representación de la temperatura del arco, se observan las distintas líneas de nivel de la función temperatura con distintos colores, siendo los mas oscuros y fríos los de las temperaturas mas bajas y los mas brillantes y cálidos los de las mas altas.

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Definición de parámetros
% Radio entre 1 y 2
rho_min = 1;
rho_max = 2;

% Ángulo: Según la Figura 3, es un semicírculo (0 a pi)
theta_min = 0;
theta_max = pi;

% Paso de muestreo h = 1/10 (0.1)
h = 0.1;

%% 2. Generación de la Malla (De polares a Cartesianas)
% Creamos los vectores de radio y ángulo
rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = [theta_min:h:theta_max, theta_max];

% Creamos la rejilla en coordenadas polares
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Transformamos a Coordenadas Cartesianas para poder pintar
% x = rho * cos(theta)
% y = rho * sin(theta)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% 3. Visualización
figure(1);
clf; % nuevo proceso
hold on;
axis equal; % Mantiene las proporciones entre ejes
grid off; % Quitamos la rejilla de fondo.

% A) Pintar la malla interna (Verde)
% Pintamos las líneas radiales
plot(X, Y, 'g', 'LineWidth', 0.5);
% Pintamos los arcos
plot(X', Y', 'g', 'LineWidth', 0.5);

% B) Pintar el Borde Rojo
% El borde se compone de 4 partes:
% 1. Arco interior (rho = 1)
% 2. Arco exterior (rho = 2)
% 3. Cierre inferior izquierdo y derecho

% Definimos los bordes para pintarlos seguidos
borde_rho = [rho_vec(1)*ones(size(theta_vec)), ... % Arco Interior
rho_vec(end)*ones(size(theta_vec)), ... % Arco Exterior
rho_vec, ... % Línea base (theta=0)
rho_vec]; % Línea base (theta=pi)

% Para pintar el borde continuo, lo hacemos paramétricamente:
% Lado 1: Arco grande (Exterior)
plot(rho_max * cos(theta_vec), rho_max * sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 2: Arco pequeño (Interior)
plot(rho_min * cos(theta_vec), rho_min * sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 3: Cierre plano izquierda (theta = pi)
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'r', 'LineWidth', 2);
% Lado 4: Cierre plano derecha (theta = 0)
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'r', 'LineWidth', 2);

%% 4. Ajustes de la representacion
title('Mallado del Arco I');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis([-2.5 2.5 -0.5 2.5]); % Ajustar límites para ver bien todo
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco

%% 5. Campo de Temperaturas
% Definimos la función T = (x - y)^2
T = (X - Y).^2;

% Creamos una nueva figura para no borrar la del mallado limpio
figure(2);
clf; hold on; axis equal;

% Mapa de Calor
[C, h_cont] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineStyle', 'none');

% B) Añadir la Barra de Color
colorbar;
title('Distribución de Temperatura T(x,y) = (x-y)^2');
xlabel('x'); ylabel('y');

% C) Añadir el Borde Negro (Contorno del arco)
plot(rho_max * cos(theta_vec), rho_max * sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(rho_min * cos(theta_vec), rho_min * sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'k', 'LineWidth', 2);
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'k', 'LineWidth', 2);
}}

Nuestro trabajo explicaba que tenemos que seguir el mismo proceso que en el K, con la diferencia de que nos dan una ecuación de temperatura distinta. En el K también indica que existe un foco de calor en rho igual a 1. En nuestra ecuación de temperatura eso no se cumple ya que es la indicada en el punto 2. Esta fórmula explica que la temperatura aumenta cuando la diferencia absoluta de la x y la y incrementa exponencialmente elevada a dos, explicado de una manera mas simple, la temperatura crece exponencialmente según se aleja de la línea x=y, en esa línea la temperatura siempre será 0.

Para visualizar de manera mas sencilla la forma en la que crece la temperatura según se aleja de la línea X=Y, representamos la función <math>T(x,y)=(x-y)^2 </math> en Geogebra 3D de esta forma, se aprecia perfectamente como la función temperatura es un cilindro parabólico a lo largo del eje X=Y y con vértice en el plano Z=0.

<gallery mode="packed" heights="250px">
Archivo:Representacion_temperatura_parabola.png|Visualización de la forma de cilindro parabólico de la función
Archivo:Representacion_Temperatura_Proyectando_Eje_Z.png|Visualización de la función proyectando el eje Z
</gallery>

=Gradiente de T=
===Definición de un gradiente===
El gradiente (<math>\nabla T</math>) se utiliza para describir la dirección y tasa de cambio de más rápida de un campo escalar. El vector indica la dirección en la que varía más rápidamente y su módulo (|<math>\nabla T</math>|) indica la tasa en esa dirección. Para cacular el gradiente en coordenadas cartesianas, se utiliza la siguiente expresión:
<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k</math></center>

El gradiente será:
<center><math>\nabla T = 2(x-y)\vec i-2(x-y)\vec j</math></center>

=Campo de vectores=
Dado el siguiente campo:
<div style="text-align:center;">
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}</math>
</div>

e⃗_ρ

===Código===
[[Archivo:Campo_vectorial_U.png|thumb|500px|Representación campo vectorial U]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% 1. Definir Geometría
rho_vec = 1:0.1:2; % Radio de 1 a 2
theta_vec = 0:0.1:pi; % De 0 a pi (Semicírculo)
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec); % Malla en polares

% Coordenadas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% 2. Calcular el Campo Vectorial u
% Fórmula: u = 1/5 * (rho-1) * rho^2 * sin(theta) * e_theta
U_rho = zeros(size(R)); % No hay componentes normales ni binormales
U_theta = (1/5) * (R - 1) .* (R.^2) .* sin(Th);

% Transformar vectores a Cartesianas
UX = U_rho .* cos(Th) - U_theta .* sin(Th);
UY = U_rho .* sin(Th) + U_theta .* cos(Th);

% 3. Optimización visual
paso = 2; % Pintar solo 1 de cada 2 flechas para que se vean nítidas
idx_r = 1:paso:size(X,1);
idx_t = 1:paso:size(X,2);

X_q = X(idx_r, idx_t);
Y_q = Y(idx_r, idx_t);
UX_q = UX(idx_r, idx_t);
UY_q = UY(idx_r, idx_t);

% 4. Pintar la Figura
figure(6); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); % Fondo blanco
title('Campo Vectorial U');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Pintar contorno del arco (Referencia visual)
borde_R = [1, 2, 2, 1, 1]; % Radios para dibujar el marco
borde_T = [0, 0, pi, pi, 0]; % Ángulos para dibujar el marco
% (Nota: pinto líneas simples de referencia)
plot(2*cos(0:0.01:pi), 2*sin(0:0.01:pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % Arco ext
plot(1*cos(0:0.01:pi), 1*sin(0:0.01:pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % Arco int
line([-2 -1], [0 0], 'Color', 'k', 'LineWidth', 1.5); % Cierre izq
line([1 2], [0 0], 'Color', 'k', 'LineWidth', 1.5); % Cierre der

% Pintar las flechas
quiver(X_q, Y_q, UX_q, UY_q, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);

axis([-2.5 2.5 0 2.5]); % Ajustar zoom
grid off;
}}

=Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento=

=Divergencia=
===Definición de un gradiente===
La divergencia de un campo vectorial ($\nabla \cdot \vec{F}$) en un punto dado es una medida de la tasa a la que el flujo del campo se está expandiendo (saliendo) o contrayendo (entrando) en ese punto.

=Rotacional=

=Tensiones normales=

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal i=

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal j=

=Calculo de la masa=

=Interpretación del trabajo=