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Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T19:05:50Z

Ainara: /* Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y) */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|Filtros]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Procesos Aleatorios y Series Temporales==
===Determinación de Trayectorias===

===Proceso Estacionario en Sentido Amplio===

===Matriz de correlación y covarianza===

===PSD de una señal aleatoria===

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso AR-2===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Archivo:ARtodo.jpg|marco|centro|Procesos autoregresivos para 100, 200, 500 y 1000 valores]]

[[Archivo:ARtodob.jpg|marco|centro|Representación de las PSD del proceso x(t) y sus aproximadas]]

Repetimos el proceso anterior pero variando los valores de ρ y θ pero manteniendo el mismo N

[[Archivo:AR2b.jpg|thumb|izquierda|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]] [[Archivo:AR2bb.jpg|thumb|derecha|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]]

[[Archivo:AR2c.jpg|thumb|izquierda|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]] [[Archivo:AR2cc.jpg|thumb|derecha|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T12:46:58Z

Ainara: /* Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming */

Archivo:Ainara514.jpg

2015-01-25T12:45:31Z

Ainara:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T12:42:40Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */

Archivo:Ainara513.jpg

2015-01-25T12:38:13Z

Ainara:

Archivo:Ainara512.jpg

2015-01-25T12:38:01Z

Ainara:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T12:33:45Z

Ainara: /* Aplicar un factor de ampliación a una imagen */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T12:33:03Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */

Archivo:Ainara511.jpg

2015-01-25T12:32:02Z

Ainara:

Archivo:Ainara510.jpg

2015-01-25T12:29:11Z

Ainara:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T12:00:32Z

Ainara:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:58:05Z

Ainara: /* Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:53:39Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */

Archivo:Ainara509.jpg

2015-01-25T11:53:19Z

Ainara:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:48:24Z

Ainara: /* Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1 */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:46:53Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */

Archivo:Ainara508.jpg

2015-01-25T11:46:32Z

Ainara:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:41:15Z

Ainara: /* Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10 */

Archivo:Ainara507.jpg

2015-01-25T11:39:51Z

Ainara:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:34:05Z

Ainara: /* Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y) */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:33:43Z

Ainara: /* Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y) */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:32:25Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */

Archivo:Ainara506.jpg

2015-01-25T11:29:09Z

Ainara:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:27:11Z

Ainara: /* Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10== */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:26:36Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:04:52Z

Ainara: /* Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:03:42Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:02:57Z

Ainara: /* Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y) */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T11:02:16Z

Ainara: /* Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y) */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:35:11Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */

Archivo:Ainara505.jpg

2015-01-25T10:34:18Z

Ainara:

Archivo:Ainara504.jpg

2015-01-25T10:33:23Z

Ainara:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:31:10Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:19:23Z

Ainara: /* Aplicar una ventana de Hamming al filtro */

Archivo:Ainara503.jpg

2015-01-25T10:12:23Z

Ainara:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:11:09Z

Ainara: /* Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:09:44Z

Ainara: /* Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:09:19Z

Ainara: /* Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:08:59Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:07:42Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:07:04Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:06:38Z

Ainara: /* Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:06:25Z

Ainara: /* Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos */

Archivo:Ainara502.jpg

2015-01-25T10:05:18Z

Ainara:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:03:24Z

Ainara: /* Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:03:02Z

Ainara: /* Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos */

Archivo:Ainara501.jpg

2015-01-25T10:02:43Z

Ainara:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:01:43Z

Ainara: /* Aplicar una ventana de Hamming al filtro */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:01:11Z

Ainara: /* Aplicar una ventana de Hamming al filtro */

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T10:00:46Z

Ainara: /* Procesamiento de imágenes (Oversampling) */