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Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T21:50:24Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

Basta con sustituir en la expresión del campo de velocidades calculada con anterioridad

<math>\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}</math>

Al visualizarlo en Matlab mediante el siguiente código podemos verificar que sigue la dirección del vector j tal y como el campo:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[X,Y] = meshgrid([0:0.25:8],[-1:0.1:1]);
ux=inline('((z.^2-z))./(2)','y','z');
uy=inline('0.*y','y','z');
U=ux(X,Y);
V=uy(X,Y);
axis([0,8,-1,2]);
quiver(X,Y,U,V);
}}

[[Archivo:Campovelocidades223.png|400px|miniaturadeimagen|Gráfico del campo de velocidades|centro]]

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=1, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|400px|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

<math>\begin{array}{c}
\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} \\

f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\left(z^{2}-z\right)
\end{array}</math>

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano XZ. Sabiendo que la profundidad es de 1 m, los límites de esta superficie serán [0,1] x [0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T21:50:11Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

Basta con sustituir en la expresión del campo de velocidades calculada con anterioridad

<math>\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}</math>

Al visualizarlo en Matlab mediante el siguiente código podemos verificar que sigue la dirección del vector j tal y como el campo:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[X,Y] = meshgrid([0:0.25:8],[-1:0.1:1]);
ux=inline('((z.^2-z))./(2)','y','z');
uy=inline('0.*y','y','z');
U=ux(X,Y);
V=uy(X,Y);
axis([0,8,-1,2]);
quiver(X,Y,U,V);
}}

[[Archivo:Campovelocidades223.png|400px|miniaturadeimagen|Gráfico del campo de velocidades]]

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=1, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|400px|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

<math>\begin{array}{c}
\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} \\

f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\left(z^{2}-z\right)
\end{array}</math>

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano XZ. Sabiendo que la profundidad es de 1 m, los límites de esta superficie serán [0,1] x [0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T21:50:00Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

Basta con sustituir en la expresión del campo de velocidades calculada con anterioridad

<math>\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}</math>

Al visualizarlo en Matlab mediante el siguiente código podemos verificar que sigue la dirección del vector j tal y como el campo:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[X,Y] = meshgrid([0:0.25:8],[-1:0.1:1]);
ux=inline('((z.^2-z))./(2)','y','z');
uy=inline('0.*y','y','z');
U=ux(X,Y);
V=uy(X,Y);
axis([0,8,-1,2]);
quiver(X,Y,U,V);
}}

[[Archivo:Campovelocidades223.png|400px|miniaturadeimagen|Gráfico del campo de velocidades]]

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=1, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|400px|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

<math>\begin{array}{c}
\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} \\

f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\left(z^{2}-z\right)
\end{array}</math>

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano XZ. Sabiendo que la profundidad es de 1 m, los límites de esta superficie serán [0,1] x [0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T21:49:45Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

Basta con sustituir en la expresión del campo de velocidades calculada con anterioridad

<math>\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}</math>

Al visualizarlo en Matlab mediante el siguiente código podemos verificar que sigue la dirección del vector j tal y como el campo:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[X,Y] = meshgrid([0:0.25:8],[-1:0.1:1]);
ux=inline('((z.^2-z))./(2)','y','z');
uy=inline('0.*y','y','z');
U=ux(X,Y);
V=uy(X,Y);
axis([0,8,-1,2]);
quiver(X,Y,U,V);
}}

[[Archivo:Campovelocidades223.png|400px|miniaturadeimagen|Gráfico del campo de velocidades]]

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=1, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|400px|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

<math>\begin{array}{c}
\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} \\

f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\left(z^{2}-z\right)
\end{array}</math>

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano XZ. Sabiendo que la profundidad es de 1 m, los límites de esta superficie serán [0,1] x [0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T21:49:31Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

Basta con sustituir en la expresión del campo de velocidades calculada con anterioridad

<math>\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}>/math>

Al visualizarlo en Matlab mediante el siguiente código podemos verificar que sigue la dirección del vector j tal y como el campo:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[X,Y] = meshgrid([0:0.25:8],[-1:0.1:1]);
ux=inline('((z.^2-z))./(2)','y','z');
uy=inline('0.*y','y','z');
U=ux(X,Y);
V=uy(X,Y);
axis([0,8,-1,2]);
quiver(X,Y,U,V);
}}

[[Archivo:Campovelocidades223.png|400px|miniaturadeimagen|Gráfico del campo de velocidades]]

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=1, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|400px|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

<math>\begin{array}{c}
\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} \\

f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\left(z^{2}-z\right)
\end{array}</math>

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano XZ. Sabiendo que la profundidad es de 1 m, los límites de esta superficie serán [0,1] x [0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T21:48:31Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

Basta con sustituir en la expresión del campo de velocidades calculada con anterioridad

<math>\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}>/math>

Al visualizarlo en Matlab mediante el siguiente código podemos verificar que sigue la dirección del vector j tal y como el campo.
{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[X,Y] = meshgrid([0:0.25:8],[-1:0.1:1]);
ux=inline('((z.^2-z))./(2)','y','z');
uy=inline('0.*y','y','z');
U=ux(X,Y);
V=uy(X,Y);
axis([0,8,-1,2]);
quiver(X,Y,U,V);
}}

[[Archivo:Campovelocidades223.png|400px|miniaturadeimagen|Gráfico del campo de velocidades]]

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=1, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|400px|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

<math>\begin{array}{c}
\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} \\

f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\left(z^{2}-z\right)
\end{array}</math>

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano XZ. Sabiendo que la profundidad es de 1 m, los límites de esta superficie serán [0,1] x [0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Archivo:Campovelocidades223.png

2022-12-09T21:47:23Z

Adriansanchez:

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T21:39:26Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

Basta con sustituir en la expresión del campo de velocidades calculada con anterioridad

<math>\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[X,Y] = meshgrid([0:0.25:8],[-1:0.1:1]);
ux=inline('((z.^2-z))./(2)','y','z');
uy=inline('0.*y','y','z');
U=ux(X,Y);
V=uy(X,Y);
axis([0,8,-1,2]);
quiver(X,Y,U,V);
}}

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|400px|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

<math>\begin{array}{c}
\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} \\

f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\left(z^{2}-z\right)
\end{array}</math>

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano XZ. Sabiendo que la profundidad es de 1 m, los límites de esta superficie serán [0,1] x [0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T21:38:43Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>
Basta con sustituir en la expresión del campo de velocidades calculada con anterioridad
{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[X,Y] = meshgrid([0:0.25:8],[-1:0.1:1]);
ux=inline('((z.^2-z))./(2)','y','z');
uy=inline('0.*y','y','z');
U=ux(X,Y);
V=uy(X,Y);
axis([0,8,-1,2]);
quiver(X,Y,U,V);
}}

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|400px|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

<math>\begin{array}{c}
\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} \\

f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\left(z^{2}-z\right)
\end{array}</math>

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano XZ. Sabiendo que la profundidad es de 1 m, los límites de esta superficie serán [0,1] x [0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T15:43:28Z

Adriansanchez: /* CAUDAL DEL CANAL */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
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y=-1:0.1:8; %idem
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Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
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figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
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axis([0,2,-2,2]);
shading flat
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hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|400px|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

<math>\begin{array}{c}
\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} \\
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\left(z^{2}-z\right)
\end{array}</math>

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano XZ. Sabiendo que la profundidad es de 1 m, los límites de esta superficie serán [0,1] x [0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T15:40:52Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE TEMPERATURAS */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
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[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|400px|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|400px|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

<math>\begin{array}{c}
\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} \\
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\left(z^{2}-z\right)
\end{array}</math>

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano xz. Sabiendo que la profundidad es de 1m, los límites de esta superficie serán [0,1]x[0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T15:40:32Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE TEMPERATURAS */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

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==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

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==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

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==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|400px|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

<math>\begin{array}{c}
\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} \\
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\left(z^{2}-z\right)
\end{array}</math>

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano xz. Sabiendo que la profundidad es de 1m, los límites de esta superficie serán [0,1]x[0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T15:38:14Z

Adriansanchez: /* CAUDAL DEL CANAL */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
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y=-1:0.1:8; %idem
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figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
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figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
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[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
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axis([0,2,-2,2]);
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hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

<math>\begin{array}{c}
\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} \\
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\left(z^{2}-z\right)
\end{array}</math>

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano xz. Sabiendo que la profundidad es de 1m, los límites de esta superficie serán [0,1]x[0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T15:37:14Z

Adriansanchez: /* CAUDAL DEL CANAL */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano xz. Sabiendo que la profundidad es de 1m, los límites de esta superficie serán [0,1]x[0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T15:37:04Z

Adriansanchez: /* CAUDAL DEL CANAL */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

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==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:
<math>\text { Caudal }=\int_{\gamma} \vec{u}(t) \cdot \vec{N} d S</math>

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano xz. Sabiendo que la profundidad es de 1m, los límites de esta superficie serán [0,1]x[0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T15:35:36Z

Adriansanchez: /* CAUDAL DEL CANAL */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==
Dadas las dimensiones por el problema , nos indican que el canal consta de una profundidad de 1 metros. Queremos calcular el porcentaje de caudal que conduce el canal en su mitad central.
El caudal requiere campo de velocidades y amplitud {superficie}.Teniendo en cuenta su superficie y el campo de velocidades de nuestro fluido:

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea siendo t un parámetro y N su vector normal:

Podemos observar que el fluido avanza en dirección de j, sustituyendo nuestros valores de p2, p1 y u. Como sabemos que el fluido está limitado por z=0 y z=1 y avanza en la dirección del vector j, la superficie que atraviesa estará en el plano xz. Sabiendo que la profundidad es de 1m, los límites de esta superficie serán [0,1]x[0,1].

<math>\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)dxdz=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}z-z^{2} dz=\frac{1}{12}=0,083 \frac{m}{s}</math>

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:21:20Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE TEMPERATURAS */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]][[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:20:58Z

Adriansanchez: /* GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
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figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
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[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
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contour(X,Y,Z,'k');
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shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:20:18Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE TEMPERATURAS */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
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view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:19:42Z

Adriansanchez: /* ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

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==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:19:30Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

===ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES===

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:19:00Z

Adriansanchez: /* VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:18:49Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

===VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
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y=-1:0.1:8; %idem
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Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
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figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
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}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
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[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
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quiver(X,Y,Zx,Zy)
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axis([0,2,-2,2]);
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}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:18:21Z

Adriansanchez: /* ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
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[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
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[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:18:05Z

Adriansanchez: /* LÍNEAS DE CORRIENTE */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

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==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

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==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

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==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:14:01Z

Adriansanchez:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:09:35Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE PRESIONES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=3-y</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
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[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
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[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:00:25Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE PRESIONES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=y+1</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T12:00:09Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE PRESIONES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=y+a</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones223134.png|500px|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Archivo:Presiones223134.png

2022-12-09T11:59:54Z

Adriansanchez:

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:58:37Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE PRESIONES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab, siendo <math>p(x, y, z)=y+a</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:54:54Z

Adriansanchez: /* ECUACIÓN NAVIER-STOKES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el '''gradiente del campo <math>(\vec{u})</math>''' :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el '''gradiente de p''', lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el '''laplaciano del campo de velocidades''' del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:54:16Z

Adriansanchez: /* ECUACIÓN NAVIER-STOKES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
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[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:53:47Z

Adriansanchez: /* ECUACIÓN NAVIER-STOKES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

#La velocidad de las partículas del fluido viene dada por: <math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>
#El campo de presiones del fluido: <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>
#La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:50:21Z

Adriansanchez: /* ECUACIÓN NAVIER-STOKES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

1) La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

<math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>

2) El campo de presiones del fluido:

<math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>

3) La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:49:42Z

Adriansanchez: /* MALLADO */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|500px|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

1) La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

<math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>

2) El campo de presiones del fluido:

<math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>

3) La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
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[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
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hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
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shading flat
grid on
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}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:47:46Z

Adriansanchez:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

1) La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

<math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>

2) El campo de presiones del fluido:

<math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>

3) La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

==CAUDAL DEL CANAL==

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:47:15Z

Adriansanchez: /* ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

1) La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

<math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>

2) El campo de presiones del fluido:

<math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>

3) La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:47:01Z

Adriansanchez: /* ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

1) La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

<math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>

2) El campo de presiones del fluido:

<math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>

3) La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==

Calculamos el rotacional de u:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) & 0 \end{vmatrix}>/math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\nabla \times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{z-z^{2}}{2} & 0 \end{vmatrix}=\left( z-\frac{1}{2} \right)\vec{i}</math>

Podemos afirmar así que el módulo del rotacional es:

<math>\left| \nabla \times \vec{u} \right|=z-\frac{1}{2}</math>

Como se puede comprobar, el rotacional solo depende de la variable z, tomando los valores máximos en los extremos entre los que está el fluido, es decir, en z=0 y z=1.

[[Archivo:Rotacional223.png|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

Archivo:Rotacional223.png

2022-12-09T11:46:49Z

Adriansanchez:

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:42:56Z

Adriansanchez: /* VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

1) La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

<math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>

2) El campo de presiones del fluido:

<math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>

3) La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
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figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, '''la zona central entre los planos que limitan al fluido.'''

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==
==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:42:35Z

Adriansanchez: /* VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

1) La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

<math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>

2) El campo de presiones del fluido:

<math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>

3) La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
Para conocer en qué puntos el módulo de la velocidad del fluido es máxima debemos igualar a 0 la primera derivada parcial del campo de velocidades.

La velocidad del fluido viene definida por:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=f(z)\vec{j}</math>

Sabiendo que p1=2, p2=1 y μ=1 sustituimos:

<math>\vec{u}\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\left( z-z^{2} \right)\vec{j}</math>

Calculamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}=0</math>
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=\frac{1}{2}-z</math>

Igualando a 0 este resultado obtenemos que los puntos buscados son aquellos donde z=12, es decir, la zona central entre los planos que limitan al fluido.

==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==
==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:41:47Z

Adriansanchez:

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

1) La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

<math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>

2) El campo de presiones del fluido:

<math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>

3) La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]
==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==
==ROTACIONAL DEL CAMPO DE VELOCIDADES==
==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:39:53Z

Adriansanchez: /* LÍNEAS DE CORRIENTE */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

1) La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

<math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>

2) El campo de presiones del fluido:

<math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>

3) La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
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figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223.png|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
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axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
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quiver(X,Y,Zx,Zy)
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axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:39:14Z

Adriansanchez: /* LÍNEAS DE CORRIENTE */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
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figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
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view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

1) La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

<math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>

2) El campo de presiones del fluido:

<math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>

3) La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

[[Archivo:Lineascorriente223|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo de velocidades]]

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
[X,Y]=meshgrid(x,y); %mallado
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

Archivo:Lineascorriente223.png

2022-12-09T11:38:37Z

Adriansanchez:

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:37:42Z

Adriansanchez: /* LÍNEAS DE CORRIENTE */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette. Grupo 7C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Adrián Sánchez Gregorio, Marta Isabel Trigueros Díaz de Villafranca, Guillermo Navarro Moya, Lucía Hernando Molinero}}</nowiki></pre>

==INTRODUCCIÓN==

Este artículo está realizado por alumnos de la asignatura Teoría de Campos de Ingeniería Civil y Territorial con el objetivo de estudiar distintos campos escalares y vectoriales, así como su visualización en Matlab.

Consideraremos un fluido incompresible a través de dos planos paralelos y horizontales, en lo que podríamos asemejar a un canal, de tal forma que el plano superior se mueva con velocidad constante.

Definimos fluido incompresible como aquel que se opone a ser comprimido y cuya densidad es constante a lo largo del tiempo.

==MALLADO==

Nuestra superficie de trabajo está contenida en el rectángulo <math>(y, z) \in[0,8] \times[0,1]</math>

Como se puede ver, trabajamos solo proyectando en los planos coordeandos (y,z), los cuales harán las veces de paredes de nuestro canal.

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1; %intervalos definidos en enunciado
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure(1)
[ey,ez]=meshgrid([0:0.1:8],[0:0.1:1]);
mesh(ey,ez,0*ey);
grid on;
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:Mallado 7 2223.png|miniaturadeimagen|Superficie de trabajo|centro]]

==ECUACIÓN NAVIER-STOKES==

Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial.
Como resultado de diversas investigaciones quedó establecido que el movimiento de un fluido viscoso e incompresible se puede modelar mediante las que hoy conocemos como ecuaciones de Navier-Stokes.
En estas ecuaciones hay dos incógnitas, la velocidad u y la presión p, que son funciones de la posición x y del tiempo t. La posición x recorre toda la región Ω ocupada por el fluido. El tiempo t avanza desde 0 hasta infinito. Existe también un parámetro, ν, que varía según el fluido y cuantifica su grado de viscosidad. También vamos a suponer que nuestro fluido tiene densidad constante.

Partimos de:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}+\nabla p=\mu \Delta \vec{u} </math>

De donde conocemos:

1) La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

<math>\vec{u}(y, z)=f(z) \vec{j} </math>

2) El campo de presiones del fluido:

<math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math>

3) La viscosidad del fluido μ

Empezaremos por despejar desde la ecuación de Navier el gradiente del campo <math>(\vec{u})</math> :

<math>(\vec{u} \nabla) \cdot \vec{u}=\left(\begin{array}{cc}
0 & f^{\prime}(z) \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
f(z) \\
0
\end{array}\right)=0 </math>

El segundo término de la ecuación, el gradiente de p, lo calculamos fácilmente como:

<math>\begin{array}{l}
p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) \\
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial p}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial p}{\partial z} \vec{k} \\
\nabla p=\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}
\end{array} </math>

Por último, el laplaciano del campo de velocidades del fluido lo podemos calcular como:

<math>\Delta \vec{u}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{u})-\nabla \times(\nabla \times \vec{u})</math>

Empezando por la divergencia del campo de velocidades:

<math>\begin{array}{c}
\nabla \vec{u}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u_{2}}{\partial z}=0 \\
\nabla \vec{u}=0
\end{array}</math>

La divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo. Con este resultado se comprueba que el líquido es incompresible, es decir, el agua no cambia de volumen debido al movimiento de las partículas.
(En fluidos, la condición de incompresibilidad nos dice que la divergencia del campo de velocidades es siempre 0, no ocurre en fluidos compresibles.)

Siguiendo con el rotacional:

<math>\nabla \times \vec{u}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
0 & f(z) & 0
\end{array}\right|=-f(z) \vec{i}</math>

<math>\nabla \times(\nabla \times \vec{u})=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{h} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
-f^{\prime}(z) & 0 & 0
\end{array}\right|=-f^{\prime \prime}(z) \vec{j}</math>

Con estos dos términos ya calculados, podemos decir que el laplaciano será:
<math>\Delta\vec{u}=0-\left( -f''\left( z \right) \vec{j}\right)=f''\left( z \right)\vec{j}</math>

Recapitulando, volvemos a la ecuación de Navier con todos los términos ya calculados:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Por lo que llegamos a la siguiente expresión:

<math>\begin{array}{l}
0+\left(p_{2}-p_{1}\right) \vec{j}=\mu \cdot f^{\prime \prime}(z) \vec{j} \\
\left(\begin{array}{c}
p_{2}-p_{1} \\
0
\end{array}\right)=\mu\left(\begin{array}{c}
f^{\prime \prime}(z) \\
0
\end{array}\right)
\end{array}</math>

Y de aquí deducimos:
<math>f^{\prime \prime}(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}</math>

El objetivo sigue siendo calcular f(z) para poder definir y graficar el campo de velocidades del fluido, por lo que integrando dos veces la expresión anterior, conseguimos:

<math>\begin{array}{l}
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} d z=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z+c_{1}=f^{\prime}(z) \\
\int \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} z d z=\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\right) \cdot \frac{z^{2}}{2}+h(z)=f(z)
\end{array}</math>

Para poder calcular el valor de h(z) basta con saber que la velocidad en z=0 y en z=1 es nula:
<math>\begin{array}{c}
f(1)=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} \cdot \frac{1^{2}}{2}+h(z)=0 \\
h(z)=-\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu} z
\end{array}</math>

Con esto verificamos las condiciones anteriores y podemos obtener el valor de f(z) que define el campo de velocidades del fluido:

<math>\begin{array}{l}
f(z)=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \\
\vec{u}=\frac{p_{2}-p_{1}}{2 \mu}\left(z^{2}-z\right) \overrightarrow{\cdot j}
\end{array}</math>

==CAMPO DE PRESIONES==

Conociendo el campo escalar <math>p(x, y, z)=p_{1}+\left(p_{2}-p_{1}\right)(y-1) </math> y conocidos los valores <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math> podemos despejar el valor del campo de presiones para poder graficarlo con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[ey,ez]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=3-(ey);
surf(ey,ez,p)
view(2)
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:Presiones_223.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones del fluido|centro]]

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Conocida la expresión del campo de velocidades, calculada anteriormente, así como los valores de <math>p_{1}=2 , p_{2}=1 </math>

==LÍNEAS DE CORRIENTE==
El campo v es ortogonal a u en cada punto. Para calcularlo sabemos que v=i x u. También podemos observar que v es irrotacional, pues la divergencia de u es nula como ya se ha comprobado anteriormente en el apartado 2.

<math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}=\vec{i}\times\left( \frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right) \right)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}</math>

El campo v tiene un potencial escalar 𝜓 que se conoce como función de corriente de u. Las líneas donde 𝜓 es constante son líneas de corriente de u, paralelas al campo en cada punto.

Vamos a calcular la función potencial 𝜓(y,z):

<math>\nabla \psi\left( y,z \right)=\vec{v}=\frac{p_2-p_1}{2\mu}\left( z^{2}-z \right)\vec{k}
\nabla \psi\left( y,z \right)=\frac{\left( z-z^{2} \right)}{2}\vec{k}
\frac{\partial \psi}{\partial y}=v_1
\frac{\partial \psi}{\partial z}=v_2</math>

Operando:

<math>\psi\left( y,z \right)=\int_{}^{}0 dy=0+f(z)
\frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{z-z^{2}}{2}=f'(z) </math>

Integramos la expresión para obtener 𝜓(y,z):

<math>\psi\left( y,z \right)=\frac{1}{2}\int_{}^{}z-z^{2} dz=\frac{3z^{2}-2z^{3}}{12}</math>

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1)
lineas=(1/12)*(3*Z.^2-2*Z.^3);
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Conociendo que la temperatura de un fluido viene definida como el siguiente campo escalar en coordenadas esféricas:

<math>T(\rho, \theta, z)=1+\rho^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta e^{-\left(\rho^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}</math>

Y sabiendo que:

<math>\begin{array}{l}
y=\rho \operatorname{sen} \theta \\
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \end{array}</math>

Podemos entonces pasar el campo a coordenadas cartesianas y graficarlo en Matlab:

<math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8; %intervalo cualquiera en funcion del apartado 1
y=-1:0.1:8; %idem
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figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
pcolor(X,Y,Z);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar;

figure(2)
contour(X,Y,Z,10,'k');
grid on
}}

[[Archivo:Temperaturas1 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 2D|centro]] [[Archivo:Temperaturas2 223.png|miniaturadeimagen|Campo de temperaturas - 3D|centro]]

Como se puede observar en la representación bidimensional del campo, la temperatura es máxima en los los puntos 1 y -1.

==GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS==

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC22/23]]
Por definición, sabemos que el gradiente de un campo en coordenadas cartesianas es:

<math>\nabla T(x, y, z)=\frac{\partial T}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial T}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial T}{\partial z} \vec{k}</math>

Aplicándolo a nuestro campo <math>\begin{array}{l}
T(x, y, z)=1+y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}}
\end{array}</math>

Podemos decir que el gradiente por tanto sería igual a:

<math>\nabla T=-4 x y^{2} e^{-\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)}\left(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right) \vec{i}+\left(-4 y^{3}\left(y^{2}+x^{2}+\frac{1}{2}\right)+2 y\right) e^{\left(-x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}\right)} \vec{j}</math>

La complejidad de visualizar este gradiente quedaría solucionada en Matlab a través del comando 'gradient' el cual nos permite, a partir del campo original, visualizar el gradiente del campo de temperaturas de forma sencilla y nos arroja los siguientes resultados:

{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-2:0.05:2;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[Zx,Zy]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,Zx,Zy)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,2,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradient223.png|miniaturadeimagen|Gradiente de T|centro]]

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-09T11:34:29Z

Adriansanchez: /* MALLADO */

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-07T09:12:23Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE TEMPERATURAS */

Flujo de Couette a través de dos planos horizontales. Grupo 25-C

2022-12-07T09:11:54Z

Adriansanchez: /* CAMPO DE TEMPERATURAS */