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Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T14:56:21Z

Adrian.C.L: /* Líneas de Corriente */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>\rho =2</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )</math> 
<math>{ \bar { u } }'=-2cos(\theta )=0 </math> 

Igualando a 0 obtenemos los valores 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Evaluando en u sabemos que es un Mínimo 
Análogamente se haría lo mismo en los otros valores de <math>\theta</math> para saber si son máximos o mínimos 
<math>\theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> Máximo 

Para el valor <math>\underline { \rho =6 }:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math> maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 

A continuación vamos a obtener numericamente los máximos y los mínimos con MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

[[Archivo:LineasDeCorrienteYCurvasDeNivel.jpg|miniaturadeimagen|derecha]]
[[Archivo:CorrientePotencial|derecha]]
[[Archivo:Abd|sinmarco|izquierda|kdfdn]]
[[Archivo:CorrientePotencial.jpg|miniaturadeimagen]]
==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{u}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:LineasCE.jpg

2015-12-04T14:54:59Z

Adrian.C.L:

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T14:35:49Z

Adrian.C.L: /* Líneas de Corriente */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>\rho =2</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )</math> 
<math>{ \bar { u } }'=-2cos(\theta )=0 </math> 

Igualando a 0 obtenemos los valores 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Evaluando en u sabemos que es un Mínimo 
Análogamente se haría lo mismo en los otros valores de <math>\theta</math> para saber si son máximos o mínimos 
<math>\theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> Máximo 

Para el valor <math>\underline { \rho =6 }:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math> maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 

A continuación vamos a obtener numericamente los máximos y los mínimos con MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

[[Archivo:LineasDeCorrienteYCurvasDeNivel.jpg|miniaturadeimagen|derecha]]
[[Archivo:CorrientePotencial|derecha]]
[[Archivo:Abd|sinmarco|izquierda|kdfdn]]
[[Archivo:CorrientePotencial.jpg|miniaturadeimagen]]
==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{u}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:OctaveCV.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T14:30:37Z

Adrian.C.L: /* Líneas de Corriente */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>\rho =2</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )</math> 
<math>{ \bar { u } }'=-2cos(\theta )=0 </math> 

Igualando a 0 obtenemos los valores 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Evaluando en u sabemos que es un Mínimo 
Análogamente se haría lo mismo en los otros valores de <math>\theta</math> para saber si son máximos o mínimos 
<math>\theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> Máximo 

Para el valor <math>\underline { \rho =6 }:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math> maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 

A continuación vamos a obtener numericamente los máximos y los mínimos con MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

[[Archivo:LineasDeCorrienteYCurvasDeNivel.jpg|miniaturadeimagen|derecha]]
[[Archivo:CorrientePotencial|derecha]]
[[Archivo:Abd|sinmarco|izquierda|kdfdn]]
[[Archivo:CorrientePotencial.jpg|miniaturadeimagen]]
==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{u}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:OctaveCV.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Corrientevelo.jpg

2015-12-04T14:25:16Z

Adrian.C.L:

Archivo:LineasCorrienteEqui.jpg

2015-12-04T14:15:55Z

Adrian.C.L:

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T13:50:12Z

Adrian.C.L: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>\rho =2</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )</math> 
<math>{ \bar { u } }'=-2cos(\theta )=0 </math> 

Igualando a 0 obtenemos los valores 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Evaluando en u sabemos que es un Mínimo 
Análogamente se haría lo mismo en los otros valores de <math>\theta</math> para saber si son máximos o mínimos 
<math>\theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> Máximo 

Para el valor <math>\underline { \rho =6 }:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math> maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 

A continuación vamos a obtener numericamente los máximos y los mínimos con MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

[[Archivo:LineasDeCorrienteYCurvasDeNivel.jpg|miniaturadeimagen|derecha]]
[[Archivo:CorrientePotencial|derecha]]
[[Archivo:Abd|sinmarco|izquierda|kdfdn]]
[[Archivo:CorrientePotencial.jpg|miniaturadeimagen]]
==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{u}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:CorrienteVelocidad.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:corriente_velocidad.png|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]