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La Catenaria Grupo 38

2023-12-14T19:53:42Z

Ad.garcia: /* Referencias */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva, sino de una familia de curvas en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:

 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tangynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= -t2;
n2= t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===

[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|miniaturadeimagen|right|'''DIBJUO DE LA CURVATURA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

En el contexto de una catenaria <math>γ(t)</math> en el plano, la circunferencia osculatriz en un punto \(P\) de la curva tiene su centro en: <center><math>Q(t) = γ(t) + \frac{1}{κ(t)} \vec{n}(t)</math></center> y su radio es el inverso del módulo de la curvatura en ese punto: <center><math>R(t)=\frac{1}{|κ(t)|}</math></center> donde <math>κ(t)</math> es la curvatura de la catenaria en el punto \(P\).
 La circunferencia osculatriz proporciona una buena aproximación a la curva en las proximidades del punto \(P\).
 
 En nuestro caso en el punto \(P=γ(0)\) , \(t=0\)
 
 <center><math>Q(t) = γ(t) + \frac{1}{κ(t)} \vec{n}(t)= (t,cosh(t))+ \frac{1}{\frac{cosh(t)}{(1+sinh^2(t))^\frac{3}{2}}} \frac{1}{\sqrt{1+sinh(t)^2}} (-sinh(t)\vec i + 1 \vec j)</math></center>
 
 <center><math>Q(0) = γ(0) + \frac{1}{κ(0)} \vec{n}(0)= (0 \vec i + cosh(0) \vec j) \frac{1}{\frac{cosh(0)}{(1+sinh^2(0))^\frac{3}{2}}} \frac{1}{\sqrt{1+sinh(0)^2}} (-sinh(0)\vec i + 1 \vec j)=0 \vec i + 2 \vec j =2 \vec j </math></center>
 
 <center><math>R(t)=\frac{1}{|κ(t)|}= \frac{1}{|\frac{cosh(t)}{(1+sinh^2(t))^\frac{3}{2}}|} </math></center>
 
 <center><math>R(0)=\frac{1}{|κ(0)|} = \frac{1}{|\frac{cosh(0)}{(1+sinh^2(0))^\frac{3}{2}}|} = \frac{1}{1} = 1m </math></center>
 
 

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUDÍ===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]

===Extras===
[[Archivo:Catenariatrenistock.jpg|miniatura|izq|500px|La catenaria de tren.]]
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|Puente de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]

 
 
 
 

 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

<math>γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1)</math>. 

===Código para calcular la superficie en Matlab:===
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x3^2(x1,x2,x3)=x3^2</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203
 
 
=Referencias=
 '''Bibliografía'''
*
*
*

 '''Enlaces externos'''
* [https://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria La catenaria]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

La Catenaria Grupo 38

2023-12-14T19:51:23Z

Ad.garcia:

La Catenaria Grupo 38

2023-12-14T19:50:04Z

Ad.garcia:

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva, sino de una familia de curvas en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:

 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tangynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= -t2;
n2= t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===

[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|miniaturadeimagen|right|'''DIBJUO DE LA CURVATURA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

En el contexto de una catenaria <math>γ(t)</math> en el plano, la circunferencia osculatriz en un punto \(P\) de la curva tiene su centro en: <center><math>Q(t) = γ(t) + \frac{1}{κ(t)} \vec{n}(t)</math></center> y su radio es el inverso del módulo de la curvatura en ese punto: <center><math>R(t)=\frac{1}{|κ(t)|}</math></center> donde <math>κ(t)</math> es la curvatura de la catenaria en el punto \(P\).
 La circunferencia osculatriz proporciona una buena aproximación a la curva en las proximidades del punto \(P\).
 
 En nuestro caso en el punto \(P=γ(0)\) , \(t=0\)
 
 <center><math>Q(t) = γ(t) + \frac{1}{κ(t)} \vec{n}(t)= (t,cosh(t))+ \frac{1}{\frac{cosh(t)}{(1+sinh^2(t))^\frac{3}{2}}} \frac{1}{\sqrt{1+sinh(t)^2}} (-sinh(t)\vec i + 1 \vec j)</math></center>
 
 <center><math>Q(0) = γ(0) + \frac{1}{κ(0)} \vec{n}(0)= (0 \vec i + cosh(0) \vec j) \frac{1}{\frac{cosh(0)}{(1+sinh^2(0))^\frac{3}{2}}} \frac{1}{\sqrt{1+sinh(0)^2}} (-sinh(0)\vec i + 1 \vec j)=0 \vec i + 2 \vec j =2 \vec j </math></center>
 
 <center><math>R(t)=\frac{1}{|κ(t)|}= \frac{1}{|\frac{cosh(t)}{(1+sinh^2(t))^\frac{3}{2}}|} </math></center>
 
 <center><math>R(0)=\frac{1}{|κ(0)|} = \frac{1}{|\frac{cosh(0)}{(1+sinh^2(0))^\frac{3}{2}}|} = \frac{1}{1} = 1m </math></center>
 
 

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUDÍ===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]

===Extras===
[[Archivo:Catenariatrenistock.jpg|miniatura|izq|500px|La catenaria de tren.]]
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|Puente de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]

 
 
 
 

 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

<math>γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1)</math>. 

===Código para calcular la superficie en Matlab:===
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x3^2(x1,x2,x3)=x3^2</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}
 
 
=Bibliografia=

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-14T16:33:46Z

Ad.garcia: /* Extras */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva, sino de una familia de curvas en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:

 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tangynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= -t2;
n2= t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===

[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|miniaturadeimagen|right|'''DIBJUO DE LA CURVATURA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUDÍ===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]

===Extras===
[[Archivo:Catenariatrenistock.jpg|miniatura|izq|500px|La catenaria de tren.]]
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|Puente de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]

 
 
 
 

 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

<math>γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1)</math>. 

===Código para calcular la superficie en Matlab:===
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-14T16:33:27Z

Ad.garcia: /* Extras */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva, sino de una familia de curvas en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:

 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tangynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= -t2;
n2= t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===

[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|miniaturadeimagen|right|'''DIBJUO DE LA CURVATURA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUDÍ===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]

===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|Puente de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
[[Archivo:Catenariatrenistock.jpg|miniatura|derecha|500px|La catenaria de tren.]]
 
 
 
 

 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

<math>γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1)</math>. 

===Código para calcular la superficie en Matlab:===
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-14T16:33:11Z

Ad.garcia: /* Extras */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva, sino de una familia de curvas en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:

 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tangynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= -t2;
n2= t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===

[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|miniaturadeimagen|right|'''DIBJUO DE LA CURVATURA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUDÍ===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]

===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|Puente de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
[[Archivo:Catenariatrenistock.jpg|miniatura|derecha|500px|La catenaria de tren.]]

 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

<math>γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1)</math>. 

===Código para calcular la superficie en Matlab:===
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-14T16:32:34Z

Ad.garcia: /* Extras */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva, sino de una familia de curvas en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:

 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tangynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= -t2;
n2= t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===

[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|miniaturadeimagen|right|'''DIBJUO DE LA CURVATURA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUDÍ===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]

===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|Puente de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
[[Archivo:Catenariatrenistock.jpg|miniatura|centro|500px|La catenaria de tren.]]

 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

<math>γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1)</math>. 

===Código para calcular la superficie en Matlab:===
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-14T16:32:17Z

Ad.garcia: /* Extras */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva, sino de una familia de curvas en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:

 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tangynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= -t2;
n2= t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===

[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|miniaturadeimagen|right|'''DIBJUO DE LA CURVATURA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUDÍ===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]

===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|Puente de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
[[Archivo:Catenariatrenistock.jpg|miniatura|centro|400px|La catenaria de tren.]]

 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

<math>γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1)</math>. 

===Código para calcular la superficie en Matlab:===
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

Archivo:Catenariatrenistock.jpg

2023-12-14T16:30:41Z

Ad.garcia:

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T19:03:13Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva, sino de una familia de curvas en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:

 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LOS VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===

[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|miniaturadeimagen|right|'''DIBJUO DE LA CURVATURA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|Puente de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

<math>γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1)</math>. 

===Código para calcular la superficie en Matlab:===
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T19:02:12Z

Ad.garcia: /* Dibujar la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva, sino de una familia de curvas en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:

 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===

[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|miniaturadeimagen|right|'''DIBJUO DE LA CURVATURA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|Puente de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

<math>γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1)</math>. 

===Código para calcular la superficie en Matlab:===
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:43:38Z

Ad.garcia: /* Código para calcular la curvatura */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===

[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|miniaturadeimagen|right|'''DIBJUO DE LA CURVATURA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|Puente de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

<math>γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1)</math>. 

===Código para calcular la superficie en Matlab:===
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:42:48Z

Ad.garcia: /* Código para calcular la curvatura */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===

[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|miniaturadeimagen|right|'''DIBJUO TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|Puente de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

<math>γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1)</math>. 

===Código para calcular la superficie en Matlab:===
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:40:08Z

Ad.garcia: /* Extras */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|Puente de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

<math>γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1)</math>. 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:39:57Z

Ad.garcia: /* Extras */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0).</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el río Ulla, en Vedra, Galicia, España. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:39:15Z

Ad.garcia: /* Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura <math>κ</math>, un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de <math>κ(t)</math> revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:38:21Z

Ad.garcia: /* Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:38:07Z

Ad.garcia: /* Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Y LA CATENARIA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:37:24Z

Ad.garcia: /* Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|700 px|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' .]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}
 
 

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:36:37Z

Ad.garcia: /* Circunferencia osculatriz */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math>, examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|800 px||.]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:36:00Z

Ad.garcia: /* Calcular la longitud de la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada γ(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|500 px||.]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:35:41Z

Ad.garcia: /* Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada γ(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|left|500 px||.]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:35:22Z

Ad.garcia: /* Circunferencia osculatriz */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniaturadeimagen|LEFT|500 px||.]]
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t;
y_catenaria = cosh(t);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:33:51Z

Ad.garcia: /* Dibujar la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA PARAMETRIZACÓN''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]

=== Código para calcular la longitud de la curva ===
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

=== Código para representar la curva con su circunferencia osulatriz ===
{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:31:43Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

=== Código para calcular la curvatura ===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:31:26Z

Ad.garcia: /* Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}
 
 

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:29:58Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|650px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:29:42Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|700px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:29:29Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|miniaturadeimagen|left|'''REPRESENTACIÓN DEL VECTOR TANGENTE Y NORMAL''' ]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:28:08Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
En este apartado, realizamos el cálculo de la longitud de la catenaria con MATLAB. Utilizamos métodos numéricos para modelar la curva y determinar su longitud ya que no se puede calcular de manera teórica, utilizamos MATLAB.
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|miniaturadeimagen|right|Vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:24:40Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|560 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:24:18Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|550 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:24:04Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|590 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:23:37Z

Ad.garcia: /* Calcular la longitud de la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|600 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:23:23Z

Ad.garcia: /* Calcular la longitud de la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|600 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|700X8000 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:23:12Z

Ad.garcia: /* Calcular la longitud de la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|600 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|700X800 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:22:42Z

Ad.garcia: /* Calcular la longitud de la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|600 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|700 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:22:13Z

Ad.garcia: /* Calcular la longitud de la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|600 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longitudcurva.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:19:25Z

Ad.garcia: /* Calcular la longitud de la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|600 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longcurva.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' ]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:19:12Z

Ad.garcia: /* Calcular la longitud de la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|600 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longcurva.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DE LA LONGITUD DE CURVA''' .]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:17:58Z

Ad.garcia: /* Calcular la longitud de la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|600 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longcurva.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|.]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:17:28Z

Ad.garcia: /* Calcular la longitud de la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|600 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longcurva.jpg|500 px||miniatura|centro|.]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:16:55Z

Ad.garcia: /* Calcular la longitud de la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|600 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
[[Archivo:Longcurva.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:10:07Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|600 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503
[[Archivo:Longcurva.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:09:47Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva utilizando el método del rectángulo
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503
[[Archivo:Longcurva.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:08:30Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACCION''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva utilizando el método del rectángulo
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503
[[Archivo:Longcurva.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:08:00Z

Ad.garcia: /* Representación de los vectores */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' .]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva utilizando el método del rectángulo
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503
[[Archivo:Longcurva.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:06:59Z

Ad.garcia: /* Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
[[Archivo:Imagen2.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|.]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 

=Calcular la longitud de la curva=
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva utilizando el método del rectángulo
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503
[[Archivo:Longcurva.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:06:39Z

Ad.garcia: /* Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 
[[Archivo:Imagen2.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|.]]

=Calcular la longitud de la curva=
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva utilizando el método del rectángulo
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imprime el resultado obtenido como longitud de curva

% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud ');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503
[[Archivo:Longcurva.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203

La Catenaria Grupo 38

2023-12-09T12:03:42Z

Ad.garcia: /* Dibujar la curva */

La catenaria. 

Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para
referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en
matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la
curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de
densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y
que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En
sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la
que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus
extremos y por su longitud. 
[[Archivo:Catenaria_dibujo.png|miniatura|400 px|centro|Forma Catenaria]]
{{ TrabajoED | La Catenaria. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Pablo Lázaro Valdecantos José Ruiz Abselam Alejandro Porrúa Perea Adrian Garcia Diaz}}

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
 '''<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)</math>'''

=Dibujar la curva=
 Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

[[Archivo:Grafica11.jpeg|500 px||miniaturadeimagen|left|'''Curva parametrizada''' ]]

===Código===
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
}}
 
 
 
 
 

=Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva=
===Definición vector posición, velocidad y aceleración===
El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
 
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
 
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración <math>γ′′(t)</math> no tiene por que ser ortogonal a <math>γ′(t)</math> en general. Pero sí lo es si la curva <math>γ(t)</math> está parametrizada por longitud de arco (es decir, si <math>|γ|´(t)| = 1</math>)
 
 
<math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))</math>
 
 
<math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j </math>
 
 
<math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j</math>
 

=== Representación de los vectores ===
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);

% Gráfica
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

}}
 
 
[[Archivo:Imagen2.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=Calcular la longitud de la curva=
{{matlab|codigo=
% Calcular longitud de la curva utilizando el método del rectángulo
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imorime el resultado obtenido como longitud de curva

ó
% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud acumulativa
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud acumulativa de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud acumulativa');
grid on;
}}

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503
[[Archivo:Longcurva.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=Calcular los vectores tangente '''t'''(t) y normal '''n'''(t), y dibujarlos junto a la curva=
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}</math>

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.
 
 
El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
 
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0.
Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que <math>\vec n(t) </math> y <math>γ′′(t) </math> son múltiplos el uno del otro. Claramente <math>\vec n(t) \neq \vec 0 </math> , por lo que se tiene que cumplir <math> γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) </math>

 
 
Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:
 
 
Vector tangente: <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
 
Vector normal: <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} </math>

=== Representación de los vectores ===
A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal
 
 
{{matlab|codigo=
% Definición de los vectores normales y tangentes
t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
x= t;
y= cosh(t);
% Velocidades/tangentes/normales
V1 = ones(size(t)); % Initialize a vector of ones with the same size as t
V2 = sinh(t);
mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1= V1./mod
t2= V2./mod
n1= t2;
n2= -t1;
%Representación
figure
axis equal
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ;
quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ;
grid on
hold off;
title('Curva, tangente y normal' )
% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Labels
xlabel("x","FontSize",10);
ylabel("y","FontSize",10);
axis("equal")
}}

[[Archivo:Tgynormal.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Cálculo de curvatura=
En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.
{{matlab|codigo=
% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;
}}
[[Archivo:Grafica_curvatura.jpg|500px|centro|Vector tangente y normal]]

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es una circunferencia que toca una curva en un punto específico y comparte la misma derivada en ese punto. Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto <math>P=(γ(0),0)</math>

{{matlab|codigo=
% Definir el radio y el centro de la circunferencia
radio = 1;
centro = [0, 2];

% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
theta = linspace(0, 2*pi, 100);

% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);

% Definir la parametrización de la catenaria
t_catenaria = linspace(-1, 1, 100);
x_catenaria = t_catenaria;
y_catenaria = cosh(t_catenaria);

% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
figure;
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on; % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2);

% Configurar el aspecto del gráfico
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales
grid on;
title('Circunferencia y Catenaria');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off; % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
}}

[[Archivo:Circunferenci osculatriz.jpg|miniatura|500 px|centro|.]]

=La catenaria=

La curva catenaria es la forma que asume una cadena o cable idealizado cuando se suspende de sus extremos y está sujeto únicamente a la gravedad. La palabra "catenaria" proviene del latín "catena", que significa cadena. Esta curva es la solución a la ecuación diferencial que describe la forma que toma una cadena o cuerda bajo su propio peso.

En ingeniería e ingeniería civil, la curva catenaria es de interés porque se utiliza en la construcción de estructuras colgantes, como puentes colgantes. El diseño de estos puentes se basa en la estabilidad y resistencia proporcionada por la forma natural de la curva catenaria. La propiedad fundamental de la curva catenaria es que, en ausencia de otras fuerzas, su forma es estable y no cambia, lo que la hace ideal para soportar cargas distribuidas uniformemente.

[[Archivo:Goldenbridge.jpg|500px|centro|Golden bridge, San Francisco]]
Históricamente, puentes famosos como el Puente Golden Gate han utilizado la forma catenaria para garantizar la estabilidad de las estructuras. La comprensión de esta curva también es crucial en la instalación de líneas de transmisión eléctrica y cables de suspensión. En resumen, la curva catenaria tiene aplicaciones prácticas fundamentales en ingeniería, especialmente en la construcción de estructuras colgantes.

[[Archivo:Catenaria de longitud fija y tension variable.gif|miniatura|centro | Dos postes de 50 m separados por una distancia variable sujetan los extremos de un cable de 80 m. La leyenda en la animación muestra la ecuación de la catenaria correspondiente.]]

=Ejemplos=
[[Archivo:Catenaria in terra cruda a più corsi di conci.jpeg|300px|thumb|right|Un arco catenario de ladrillos de adobe]]

===KINTAI-KYO===
El Kintai-Kyo es uno de los puentes más famosos de Japón. Está localizado en Iwakuni (a 45 km. de Hiroshima) y cruza el río Nishiki. Está compuesto por 5 arcos de madera apoyados en grandes pilares de piedra. Los 3 arcos centrales no tienen apoyos y los 2 laterales se apoyan en columnas de madera. La forma de cada arco es una catenaria invertida, lo que lo hace estructuralmente muy eficiente
[[Archivo:Kintai2.jpg|400x300|centro]]
[[Archivo:Kintai.jpg|400x300|centro]]
===GAUIDI===
[[Archivo:Hanging chain and arch es.svg|300px|thumb|right|Una cadena (izquierda) y un arco catenario (derecha). Una apunta hacia abajo y el otro hacia arriba, pero ambos son la misma curva: una catenaria]]
[[Archivo:Sagrada Familia-sección.jpg|miniatura|derecha|300px|Sección de la Sagrada Familia]]
Para Gaudí un elemento clave en su forma de concebir la estructura era el arco parabólico o catenario, también llamado funicular de fuerzas, que utilizó como elemento más adecuado para soportar las presiones. Mediante la simulación de distintos polifuniculares experimentales determinó la forma óptima de la estructura para soportar las presiones de los arcos y las bóvedas, primero en la cripta de la Colonia Güell y después en la Sagrada Familia. Gaudí desarrolló un modelo a escala de cordeles entretejidos de los que se suspendían pequeños sacos de perdigones que simulaban los pesos; así determinaba el funicular de fuerzas y la forma de la estructura. Por tanto, a partir del estado de cargas, simulados con los saquitos de perdigones, determinó experimentalmente la forma idónea de la estructura –que él llamó estereostática–, que reproducía la estructura óptima para trabajar a tracción, y que, invirtiéndola, se obtenía la estructura idónea para trabajar a compresión

[[Archivo:GAUID.jpg|400x300|centro]]
===Extras===
[[Archivo:Ponteulla Vedra Galicia 03.jpg|miniatura|centro|400px|[[Puente]] de hormigón sobre el [[río Ulla]], en [[Vedra]], [[Galicia]], [[España]]. El arco principal tiene forma de catenaria.]]
 
 

=Superficie reglada=
Consideramos la catenaria de <math> \mathbb{R}^3 </math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como:
 

γ(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) = (0, cosh(t), t), t ∈ (−1, 1). 
Dibujamos la superficie en Matlab:
[[File:Superficie1º2.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Superficie reglada''' ]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 100);
v = linspace(0, 2*pi, 100);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X1, X2, X3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de Revolución de la Catenaria alrededor del eje x3');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
axis equal;
grid on;
}}
Un ejemplo de superficie reglada es:
[[Archivo:Mcdonnell planetarium slsc.jpg|miniaturadeimagen|600px|centro|Planetario James S. McDonnell, Missouri]]

=Masa de la superficie reglada=

La densidad de la superficie proporcionada es <math>f(x1,x2,x3)=x^23(x1,x2,x3)=x^23</math>. Para describir cómo se distribuye la densidad a lo largo de la superficie, podemos considerar la variación de <math>f</math> en la parametrización de la superficie. En este caso, la parametrización es <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math>.
Entonces, la densidad <math>f</math> a lo largo de la superficie está dada por:
<math>f(u,v)=x^23(u,v)=u^2</math>
Esto significa que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje <math>x3</math>. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje <math>x3</math>, la densidad aumenta.

===Cálculo de la Masa de la Superficie===
La masa de la superficie con la densidad <math>f</math> dada se puede calcular utilizando la integral de la densidad sobre la superficie. La masa M se calcula de la siguiente manera:
<math>M=∬SfdS</math>
donde <math>S</math> es la superficie parametrizada.
La integral se puede expresar en coordenadas paramétricas <math>(u,v)</math> como:

<math>M=\int_a^b\int_c^d f(u,v)*\sqrt[]{((∂x/∂u)^2+(∂x∂v)^2+(∂x/∂u)^2)}\; dv \; du</math>
En este caso, puedes utilizar la parametrización <math>x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)</math> y la densidad <math>f(u,v)=u^2</math> en la integral.

{{matlab|codigo=
% Parámetros
u = linspace(-1, 1, 1000);
v = linspace(0, 2*pi, 1000);
[U, V] = meshgrid(u, v);
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
X1 = cosh(U) .* cos(V);
X2 = cosh(U) .* sin(V);
X3 = U;
% Densidad
densidad = U.^2;
% Calcular la masa de la superficie
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1));
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
}}

Obtenemos una masa de superficie aproximadamente: 5.1203