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Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T21:14:56Z

Aarón Escudero: /* Gradiente de temperatura y curvas de nivel */

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad, grupo 8c|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>f(x,y) = e^{-y} = C</math> <math>{\forall (x,y)∈ R^2}</math> siendo C una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} = \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5}\end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10}\end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tensionifinal.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.3*(pi*cos(pi*Y));
di = f*0;
dj = f;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,dj);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tension_en_j.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec j</math> y función escalar del módulo]]

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T21:14:13Z

Aarón Escudero: /* Gradiente de temperatura y curvas de nivel */

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad, grupo 8c|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>f(x,y) = e^{-y} = C
{\forall (x,y)∈ R^2}</math> siendo C una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} = \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5}\end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10}\end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tensionifinal.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.3*(pi*cos(pi*Y));
di = f*0;
dj = f;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,dj);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tension_en_j.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec j</math> y función escalar del módulo]]

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T21:13:43Z

Aarón Escudero: /* Gradiente de temperatura y curvas de nivel */

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad, grupo 8c|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>f(x,y) = e^{-y} = C {\forall (x,y)∈ R^2}</math> siendo C una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} = \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5}\end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10}\end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tensionifinal.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.3*(pi*cos(pi*Y));
di = f*0;
dj = f;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,dj);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tension_en_j.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec j</math> y función escalar del módulo]]

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T21:13:14Z

Aarón Escudero: /* Gradiente de temperatura y curvas de nivel */

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad, grupo 8c|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>f(x,y) = e^{-y} = C siendo C una constante {\forall (x,y)∈ R^2}</math>

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} = \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5}\end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10}\end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tensionifinal.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.3*(pi*cos(pi*Y));
di = f*0;
dj = f;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,dj);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tension_en_j.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec j</math> y función escalar del módulo]]

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T21:11:50Z

Aarón Escudero: /* Gradiente de temperatura y curvas de nivel */

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad, grupo 8c|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>f(x,y) = e^{-y} = C \forall (x,y)∈ R^2</math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} = \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5}\end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10}\end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tensionifinal.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.3*(pi*cos(pi*Y));
di = f*0;
dj = f;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,dj);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tension_en_j.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec j</math> y función escalar del módulo]]

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T21:11:10Z

Aarón Escudero: /* Gradiente de temperatura y curvas de nivel */

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad, grupo 8c|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>f{x,y} = e^{-y} = C [\forall (x,y)∈ R^2]</math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} = \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5}\end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10}\end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tensionifinal.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.3*(pi*cos(pi*Y));
di = f*0;
dj = f;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,dj);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tension_en_j.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec j</math> y función escalar del módulo]]

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T20:57:28Z

Aarón Escudero: /* Campo de tensiones */

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad, grupo 8c|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} = \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5}\end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10}\end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tensionifinal.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.3*(pi*cos(pi*Y));
di = f*0;
dj = f;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,dj);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tension_en_j.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec j</math> y función escalar del módulo]]

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T20:55:39Z

Aarón Escudero: /* Divergencia */

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad, grupo 8c|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} = \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tensionifinal.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.3*(pi*cos(pi*Y));
di = f*0;
dj = f;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,dj);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tension_en_j.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec j</math> y función escalar del módulo]]

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T16:11:41Z

Aarón Escudero:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad, grupo 8c|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tensionifinal.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.3*(pi*cos(pi*Y));
di = f*0;
dj = f;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,dj);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tension_en_j.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec j</math> y función escalar del módulo]]

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T16:09:11Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tensionifinal.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.3*(pi*cos(pi*Y));
di = f*0;
dj = f;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,dj);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tension_en_j.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec j</math> y función escalar del módulo]]

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T16:03:45Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
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fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tensionifinal.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.3*(pi*cos(pi*Y));
di = f*0;
dj = f;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,dj);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tension_en_j.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Tension en j.jpg

2013-12-10T16:03:05Z

Aarón Escudero: Analogo a tensiones en i representación del campo vectorial de las tensiones en j y del módulo en cada punto como función escalar.

Analogo a tensiones en i representación del campo vectorial de las tensiones en j y del módulo en cada punto como función escalar.

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T15:59:48Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:tensionifinal.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T15:58:14Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % función escalar (módulo del campo)
di = f; % sólo queremos representar la componente i
dj = f*0;
hold on
figure(1)
surf(X,Y,di);
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
quiver(X,Y,di,dj)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|representación del campo de tensiones en dirección <math>\vec i</math> y función escalar del módulo]]

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Tensionifinal.jpg

2013-12-10T15:52:51Z

Aarón Escudero: imagen que muestra el campo vectorial de las tensiones en dirección i y la representación escalar del modulo en cada uno de sus puntos.

imagen que muestra el campo vectorial de las tensiones en dirección i y la representación escalar del modulo en cada uno de sus puntos.

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T15:32:19Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia

2) La divergencia mide la diferencia entre el '''flujo saliente''' y el '''flujo entrante''' de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T15:30:09Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

1) Según el '''Teorema de la divergencia de Gauss''' los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia
2) La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

Por tanto aquellas zonas que actúan como fuentes han experimentado una vibración en sentido positivo y aquellas zonas que actúan como sumidero han experimentado una vibración igual pero en sentido negativo. Aquellas zonas en las que el módulo de la fuerza es mayor en un sentido o en otro resultan ser las que tienen mayor tendencia a variar su volumen.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T15:18:08Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par.

2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.

3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>.

Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

Según el teorema de Gauss los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia ya
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T15:17:07Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par
2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar
3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

Según el teorema de Gauss los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia ya
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T15:15:58Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par
2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.
3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

Según el teorema de Gauss los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia ya
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T15:14:50Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par
2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.
3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|250px|thumb|right|Divergencia vista en dirección <math>\vec k</math>]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

Según el teorema de Gauss los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia ya
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T15:12:56Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par
2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.
3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|400px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

Según el teorema de Gauss los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia ya
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T15:10:53Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par
2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.
3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|400px|marco|derecha]]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

Según el teorema de Gauss los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia ya
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T15:09:43Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

1) La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par
2) La '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar.
3) En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Ésto se visualiza en el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2d.jpg|400px|marco|derecha]

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

Según el teorema de Gauss los puntos que experimentarán mayor variación de volumen serán aquellos de mayor divergencia ya
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Divergencia2d.jpg

2013-12-10T15:07:23Z

Aarón Escudero:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T14:45:58Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==

Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|marco|centro|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|marco|centro|posición inicial y final]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T14:43:20Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb|posición inicial y final]]
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f = 0.1*(pi*cos(pi*Y)); % Función divergencia (escalar)
surf(X,Y,f)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Divergencia3D.jpg|500px|marco|centro|Representación de <math>∇•\vec u</math>; los puntos de mayor cota representan los de mayor divergencia]]

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Divergencia3D.jpg

2013-12-10T14:40:14Z

Aarón Escudero:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:58:10Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb|posición inicial y final]]
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>\vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>\vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:57:12Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb|posición inicial y final]]
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas debido a que las tensiones en <math>vec i</math> son exclusivamente tensiones normales.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Análogamente como en el apartado anterior concluimos de la misma forma afirmando que las tensiones en <math>vec j</math> son únicamente tensiones normales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:52:57Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb|posición inicial y final]]
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir movimientos de es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:45:59Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb|Vectores de fuerzas aplicados a cada punto de la placa]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb|posición inicial y final]]
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:43:45Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb]]
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:43:04Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]

==Campo de vectores==
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb]]
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:42:04Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==

La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|500px|marco|centro|Temperatura en cada punto del sólido]]

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb]]
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:41:03Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|marco|derecha|Temperatura en cada punto del sólido]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb]]
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:40:01Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|900px|marco|centro|Mallado interior y contorno]]
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|marco|derecha|Temperatura en cada punto del sólido]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|900px|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb]]
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:35:53Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb]]
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:35:21Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:34:34Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb]] [[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg|300px|thumb|right]]

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:33:29Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

[[Archivo:Situacionesgrupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Situacionesgrupo8c.jpg

2013-12-10T11:33:07Z

Aarón Escudero: Variación de la posición de los puntos del mallado debida a la vibración

Variación de la posición de los puntos del mallado debida a la vibración

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:31:22Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.
[[Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:30:49Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Desplazamientogrupo8c.jpg

2013-12-10T11:30:11Z

Aarón Escudero: Vector de fuerza que se aplica a cada punto

Vector de fuerza que se aplica a cada punto

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:28:32Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3\pi cos(\pi y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:27:47Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi cos(\pi y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\pi cos(\pi y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi cos(\pi y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{\pi cos(\pi y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3cos(y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:21:36Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{\pi cos{\pi y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La '''divergencia máxima''' la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando '''y''', tome el valor de un número natural N par y la '''divergencia''' será '''mínima''' cuando '''y''' tome el valor de un numero natural N impar. En los casos en los que se anule el coseno la '''divergencia''' será '''nula''' lo cual ocurrirá cuando '''y''' tome los valores <math>\frac{2N-1}{2}</math>
Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\cos(y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\cos(y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\cos(y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\cos(y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{cos(y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3cos(y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:11:23Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {OXY}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel quedando paralelas al plano y = 0, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{cos{y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La divergencia máxima la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando el ángulo, valga 0 ó <math>\pi</math>. Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\cos(y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\cos(y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\cos(y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\cos(y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{cos(y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3cos(y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad (Grupo 8-C)

2013-12-10T11:09:07Z

Aarón Escudero:

==Introducción==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

==Mallado de puntos interiores de la placa==
[[Archivo:Mallado_grupo8c.jpeg|300px|thumb|right]]
Tomando como paso de muestreo <math>h=1/10</math> mostramos a continuación el código MatLAB empleado para la representación de los puntos interiores del mallado de nuestra placa situada en el plano {x,y}

{{matlab|codigo=
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -0.5:h:0.5; % Contorno Horizontal (eje x)
y = 0:h:2; % Contorno Vertical (eje y)
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % Creación del mallado
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,2,-1,3]) % Intervalo en el que queremos ver la gráfica
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de temperaturas==
[[Archivo:Temperatura_grupo8c.jpg|300px|thumb|right]]
La temperatura del sólido viene dada por <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. A continuación se muestra el gráfico de la distribución de temperaturas de la placa generado con el siguiente código MatLAB.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5; % contorno eje x [-1/2,1/2]
y = 0:0.1:2; % contorno eje y [0,2]
[xx,yy] = meshgrid(x,y); % mallado
figure(1)
f = exp(-yy); % temperatura (función escalar)
surf(xx,yy,f) % dibujo de la superficie
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

===Gradiente de temperatura y curvas de nivel===

Calculamos el gradiente de T:

<math>∇T =\frac{∂T}{∂x} \vec i + \frac{∂T}{∂y} \vec j + \frac{∂T}{∂z} \vec k= -e^{-y} \vec j</math>

Calculamos ahora las curvas de nivel:

<math>z=[(x,y)∈ R^2 / e^{-y}]=c </math> siendo c una constante

Cogemos el punto de la superficie (0,0) y así calculamos las curvas de nivel, que son perpendiculares al gradiente, como se comprueba en el siguiente gráfico:
[[Archivo:Curvasnivel.jpg|300px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
f=exp(-yy);
surf(xx,yy,f)
axis([-2,2,-1,3])
fx=0.*yy; % coordenada de la componente i
fy=-exp(-yy); % coordenada de la componente j
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación de campo vectorial
axis([-2,2,-1,3])
hold on
contour(xx,yy,f,25) % representación de curvas de nivel
hold off
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

==Campo de vectores==
Consideramos el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> que se define como el desplazamiento que describe cada punto del sólido. Se adjunta a continuación una imagen de la influencia de dicho campo interpretado como una vibración y otra que muestra la posición de los puntos del sólido antes y después de aplicar esta fuerza.

{{matlab|codigo=
x = -0.5:0.1:0.5;
y = 0:0.1:2;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);
figure(1)
fx = xx.*0;
fy = sin(pi*yy)./10; % Solo hay componente j en nuestro vector de fuerzas
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
view(2)
}}

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=0*xx;
fy=sin(pi*yy)/10;
subplot(2,1,1)
mesh(xx,yy,0*yy) % mallado inicial
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
subplot(2,1,2)
mesh(xx+fx,yy+fy,0*fy) % mallado final
axis([-0.6,0.6,-0.5,2.5])
}}

===Divergencia===

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math> que es la traza del tensor <math>∇\vec u</math>

<math>∇•\vec u =\frac{∂Ux}{∂x} + \frac{∂Uy}{∂y} + \frac{∂Uz}{∂z}= \frac{cos{y}}{10}</math> siendo <math> \vec u =Ux \vec i + Uy \vec j +Uz \vec k</math>

La divergencia máxima la tendremos cuando el coseno sea máximo, es decir, cuando el ángulo, valga 0 ó <math>\pi</math>. Esto se visualiza en el siguiente gráfico:

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

===Rotacional===
Definimos el Rotacional como la capacidad de rotar que tienen cada uno de los puntos sobre la superficie

Debemos tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial , la tendencia del mismo a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa. Para poder ello, calculamos el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math>:

<math>∇\times \vec u = 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.

==Campo de tensiones==

Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>.

<math>2\mu \epsilon_{ij}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\cos(y)}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} </math> Calculamos <math>\sigma_{ij}</math> utilizando la fórmula, dando como resultado la siguiente matriz:
<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\cos(y)}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\cos(y)}{10} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\cos(y)}{10} \end{bmatrix}</math>

===Tensiones normales===
====Eje <math>\vec i</math>====
La componente normal en <math>\vec i</math> ,<math>(\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> es en módulo: <math>\frac{cos(y)}{10}</math>

====Eje <math>\vec j</math> ====

La componente normal en <math>\vec j</math> ,<math>(\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> es en módulo: <math>\frac{3cos(y)}{10}</math>

===Tensiones tangenciales===
====Eje <math>\vec i</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec i - (\vec i·\sigma·\vec i)·\vec i</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec i</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

====Eje <math>\vec j</math> ====
Usando la fórmula <math>\sigma·\vec j - (\vec j·\sigma·\vec j)·\vec j</math> , obtenemos las tensiones tangenciales en el eje <math>\vec j</math>.
Haciendo los cálculos correspondientes, llegamos a la conclusión de que dichas tensiones son nulas.

[[Categoría:Teoría de Campos]]