MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-05T20:46:27Z

Íñigouraga:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas }}

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo <math> C^{14} </math>). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :<math> M'(t)=-kM(t) </math>
A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

==) Interpretación==

M(t) es una función que depende del tiempo y mide la concentración de la sustancia A, su derivada M'(t) mide la velocidad de desintegración de A en favor de B y es proporcional a "k" que es la constante de desintegración del material radiactivo (negativa en este caso puesto que decrece la concentración de A). La concentración de B será 1-M(t) puesto que la concentración de A más la concentración de B es siempre igual a 1.

==) Cálculo de la Edad con el Método Euler==

En este apartado se pide carcular la edad de unos restos arqueológicos sabiendo que contiene un 8% de <math> C^{14} </math> del que se encuentra en un ser vivo y teniendo en cuenta que podemos tomar la diferencia de contenido en <math> C^{14} </math> del hueso antiguo debida únicamente a su desintegración. Para este cálculo nos dan una <math> k=1.24x10^{-4} </math> y tenemos que hacerlo con dos pasos intermedios, h1=0.1 y h2=0.01.
Además nos preguntan si es "estable".
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

t0=0;
y0=1;
h1=0.1;
y1(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1;
k=1.24e-04;

% Primer Programa (h=0.1)

while y1(i)>0.08;

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;

end

% Recalculamos las Condiciones Iniciales

t0=0;
y0=1;
h2=0.01;
y2(1)=y0;
t2(1)=t0;
n=1;
k=1.24e-04;

% Segundo Programa (h=0.01)

while y2(n)>0.08;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
t2(n+1)=t2(n)+h2;
n=n+1;
end

% Resultados y Gráficas con ambos pasos intermedios

disp('años de antiguedad de los huesos (h=0.1)')
disp (t1(i))
figure(1)
plot(t1,y1)
legend('Concentración de C14')

disp('años de antiguedad de los huesos (h=0.01)')
disp(t2(n))
figure(2)
plot(t2,y2)
legend('Concentración de C14')
}}

Años de antiguedad de los huesos (h=0.1) = 20369 años.
Años de antiguedad de los huesos (h=0.01) = 20369 años.
Como se puede ver en los resultados, el método es estable, puesto que da el mismo resultado para ambos pasos.

[[Archivo:Eulerfig1.jpg|center|border|550px]]
[[Archivo:Eulerfig2.jpg|center|border|550px]]

==) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio==

Ahora nos piden repetir el apartado anterior pero utilizando el método del Trapecio con una h=0.1, realizando el programa de forma que se pare cuando se alcance el 8% de la cantidad inicial.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
y(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;

% Programa

while y(i)>y0*0.08;

y(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*y(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;

end

% Resultados y gráfica

disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)

hold on
plot(t1,y,'m')
title('metodo del trapecio')
legend('Concentracion de C14')
hold off
}}
Años de antiguedad de los huesos = 20369 años.
[[Archivo:Trapeciofigu1.jpg|center]]

==) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta==

Aquí el enunciado pide calcular, empleando el método Runge-Kutta de cuarto orden, la "vida media" que no es otra cosa que el tiempo que tarda en reducirse a la mitad un elemento radiactivo.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

t0=0;
h=0.1;
M0=1;
t(1)=t0;
M(1)=M0;
k=1.24e-04;
i=1;

% Programa

while M(i)>0.5;

K1=-k*M(i);
t2=t(i)+(h/2);
K2=-k*(M(i)+(h/2)*K1);
t3=t2;
K3=-k*(M(i)+(h/2)*K2);
K4=-k*(M(i)+h*K3);
M(i+1)=M(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;

end

% Resultados y gráfica

disp('Tiempo medio: ')
disp(t(end))

hold on
plot(t,M)
title('Metodo de runge-kutta de orden 4')
legend('Concentracion de C14')
hold off
}}
Tiempo medio = 5589 años.
[[Archivo:Rungekuttafig1.jpg|center]]

==) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales==

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A.
La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa.
Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:
[[Archivo:Sistema22.png|center]]

==) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la Gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}
[[Archivo:Figure1apt6.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt6.jpg|derecha|border|450px]]

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C.
También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

==) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=1 y k2=5 (al contrario que en el apartado anterior). Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=1; k2=5;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}

[[Archivo:Figure1apt7.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt7.jpg|derecha|border|450px]]
En este caso, las constantes han cambiado, por lo que A se desintegra lentamente a B. Mientras que B apenas crece puesto que su velocidad de desintegración es mucho mayor que la de A (empieza a decrecer cuando la concentración de A es cinco veces la suya). A su vez, C crece rápidamente conforme va apareciendo la sustancia B.
Lo que es igual al apartado anterior es la diferencia de las gráficas siendo más aproximada la de la derecha (correspondiente al método del Trapecio).

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-04T23:50:33Z

Íñigouraga:

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-04T23:31:56Z

Íñigouraga:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas }}

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo <math> C^{14} </math>). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :<math> M'(t)=-kM(t) </math>
A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

==) Interpretación==

M(t) es una función que depende del tiempo y mide la concentración de la sustancia A, su derivada M'(t) mide la velocidad de desintegración de A en favor de B y es proporcional a "k" que es la constante de desintegración del material radiactivo (negativa en este caso puesto que decrece la concentración de A). La concentración de B será 1-M(t) puesto que la concentración de A más la concentración de B es siempre igual a 1.

==) Cálculo de la Edad con el Método Euler==

%AÒos de antiguedad de los huesos (h=0.1)=2.0369e+04= 20369 aÒos
%AÒos de antiguedad de los huesos (h=0.01)=2.0369e+04= 20369 aÒos

%Como de ve en los resultados, el mÈtodo es estable, puesto que da el mismo
%resultado para ambos pasos.

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

t0=0;
y0=1;
h1=0.1;
y1(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1;
k=1.24e-04;

% Primer Programa (h=0.1)

while y1(i)>0.08;

y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;

end

% Recalculamos las Condiciones Iniciales

t0=0;
y0=1;
h2=0.01;
y2(1)=y0;
t2(1)=t0;
n=1;
k=1.24e-04;

% Segundo Programa (h=0.01)

while y2(n)>0.08;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
t2(n+1)=t2(n)+h2;
n=n+1;
end

% Resultados y Gráficas con ambos pasos intermedios

disp('años de antiguedad de los huesos (h=0.1)')
disp (t1(i))
figure(1)
plot(t1,y1)
legend('Concentración de C14')

disp('años de antiguedad de los huesos (h=0.01)')
disp(t2(n))
figure(2)
plot(t2,y2)
legend('Concentración de C14')
}}
[[Archivo:Eulerfig1.jpg|center|border|550px]]
[[Archivo:Eulerfig2.jpg|center|border|550px]]

==) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio==

%años de antiguedad de los huesos = 2.0369e+04=20369 años
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

t0=0;
h1=0.1;
y0=1;
y(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;

% Programa

while y(i)>y0*0.08;

y(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*y(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;

end

% Resultados y gráfica

disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)

hold on
plot(t1,y,'m')
title('metodo del trapecio')
legend('Concentracion de C14')
hold off
}}
[[Archivo:Trapeciofigu1.jpg|center]]

==) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta==

%Tiempo medio=5.5899e+03=5589 años
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

t0=0;
h=0.1;
M0=1;
t(1)=t0;
M(1)=M0;
k=1.24e-04;
i=1;

% Programa

while M(i)>0.5;

K1=-k*M(i);
t2=t(i)+(h/2);
K2=-k*(M(i)+(h/2)*K1);
t3=t2;
K3=-k*(M(i)+(h/2)*K2);
K4=-k*(M(i)+h*K3);
M(i+1)=M(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;

end

% Resultados y gráfica

disp('Tiempo medio: ')
disp(t(end))

hold on
plot(t,M)
title('Metodo de runge-kutta de orden 4')
legend('Concentracion de C14')
hold off
}}
[[Archivo:Rungekuttafig1.jpg|center]]

==) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales==

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A.
La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa.
Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:
[[Archivo:Sistema22.png|center]]

==) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la Gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}
[[Archivo:Figure1apt6.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt6.jpg|derecha|border|450px]]

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C.
También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

==) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=1 y k2=5 (al contrario que en el apartado anterior). Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=1; k2=5;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}

[[Archivo:Figure1apt7.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt7.jpg|derecha|border|450px]]
En este caso, las constantes han cambiado, por lo que A se desintegra lentamente a B. Mientras que B apenas crece puesto que su velocidad de desintegración es mucho mayor que la de A (empieza a decrecer cuando la concentración de A es cinco veces la suya). A su vez, C crece rápidamente conforme va apareciendo la sustancia B.
Lo que es igual al apartado anterior es la diferencia de las gráficas siendo más aproximada la de la derecha (correspondiente al método del Trapecio).

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-04T23:19:04Z

Íñigouraga:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas }}

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo <math> C^{14} </math>). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :<math> M'(t)=-kM(t) </math>
A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

==) Interpretación==

M(t) es una función que depende del tiempo y mide la concentración de la sustancia A, su derivada M'(t) mide la velocidad de desintegración de A en favor de B y es proporcional a "k" que es la constante de desintegración del material radiactivo (negativa en este caso puesto que decrece la concentración de A). La concentración de B será 1-M(t) puesto que la concentración de A más la concentración de B es siempre igual a 1.

==) Cálculo de la Edad con el Método Euler==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
M1(1)=M0;
t1(1)=t0;
a=1;

% Este bucle con while nos permite intruducir la condición de que el programe pare
% de aproximar cuando el porcentaje de carbono llegue al 8%

while M1(i)>(M0*0.08)

M1(a+1)M(a)+h1*(-(1.24e-04)*M1(a));
t1(a+1)=t1(a)+h1;
a=a+1;

end

% En esta segunda parte repetimos el proceso aproximando la solución
% por el mismo método pero para un paso menor e igual a 0.01, que nos
% dará una solución más aproximada pues se repite el proceso más veces
% en el mismo intervalo.

t0=0;
M0=1;
h2=0.01;
M2(1)=M0;
t2(1)=t0;
n=1;

while M2(n)>(M0*0.08)

t2(n+1)=t2(n)+h2;
M2(n+1)=M2(n)+h2*(-(1.24e-04)*M2(n));
n=n+1;

end

% Con los próximos comandos obtenemos las gráficas y los resultados en pantalla

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t2(end))
disp(i)

hold on
figure(1)
plot(t1,M1)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1')
xlabel(' t (años) ')
ylabel ('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
figure(2)
plot(t2,M2)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.01')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--r')
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1','MÉTODO DE EULER h=0.01')
hold off
}}
[[Archivo:Eulerfig1.jpg|center|border|550px]]
[[Archivo:Eulerfig2.jpg|center|border|550px]]

==) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
y0=1;
y(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1;
condition=0.08;

% Programa

while y(i)>(y0*0.08)

y(i+1)=((1-h1*(1.24e-04)/2)/(1+h1*(1.24e-04)/2))*y(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;

end

% Resultado

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t1(end))
disp(i)

% Dibujamos la gráfica

hold on
plot(t1,y,'m')
legend('trapecio')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off
}}
[[Archivo:Trapeciofigu1.jpg|center]]

==) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

t0=0;
h=0.1;
M0=1;
t(1)=t0;
M(1)=M0;
i=1;

% Programa

while M(i)>(M0*0.5)
K1=(-1.24e-04)*M(i);

t2=t(i)+(h/2);
M2=M(i)+(h/2)*K1;
K2=(-1.24e-04)*M2;

t3=t2;
M3=M(i)+(h/2)*K2;
K3=(-1.24e-04)*M3;

t4=t(i)+h;
M4=M(i)+h*K3;
K4=(-1.24e-04)*M4;

M(i+1)=M(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;

end

% Resultados

disp('Vida media del carbono (en años) ')
disp(t(end))

% Dibujamos las gráficas

hold on
plot(t,M)
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
legend('MÉTODO DE RUNGE KUTTA h=0.1')
hold off
}}
[[Archivo:Rungekuttafig1.jpg|center]]

==) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales==

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A.
La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa.
Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:
[[Archivo:Sistema22.png|center]]

==) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la Gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}
[[Archivo:Figure1apt6.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt6.jpg|derecha|border|450px]]

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C.
También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

==) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=1 y k2=5 (al contrario que en el apartado anterior). Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=1; k2=5;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}

[[Archivo:Figure1apt7.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt7.jpg|derecha|border|450px]]
En este caso, las constantes han cambiado, por lo que A se desintegra lentamente a B. Mientras que B apenas crece puesto que su velocidad de desintegración es mucho mayor que la de A (empieza a decrecer cuando la concentración de A es cinco veces la suya). A su vez, C crece rápidamente conforme va apareciendo la sustancia B.
Lo que es igual al apartado anterior es la diferencia de las gráficas siendo más aproximada la de la derecha (correspondiente al método del Trapecio).

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-04T23:17:51Z

Íñigouraga:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas }}

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo <math> C^{14} </math>). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :<math> M'(t)=-kM(t) </math>
A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

==) Interpretación==

M(t) es una función que depende del tiempo y mide la concentración de la sustancia A, su derivada M'(t) mide la velocidad de desintegración de A en favor de B y es proporcional a "k" que es la constante de desintegración del material radiactivo (negativa en este caso puesto que decrece la concentración de A). La concentración de B será 1-M(t) puesto que la concentración de A más la concentración de B es siempre igual a 1.

==) Cálculo de la Edad con el Método Euler==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
M1(1)=M0;
t1(1)=t0;
a=1;

% Este bucle con while nos permite intruducir la condición de que el programe pare
% de aproximar cuando el porcentaje de carbono llegue al 8%

while M1(i)>(M0*0.08)

M1(a+1)M(a)+h1*(-(1.24e-04)*M1(a));
t1(a+1)=t1(a)+h1;
a=a+1;

end

% En esta segunda parte repetimos el proceso aproximando la solución
% por el mismo método pero para un paso menor e igual a 0.01, que nos
% dará una solución más aproximada pues se repite el proceso más veces
% en el mismo intervalo.

t0=0;
M0=1;
h2=0.01;
M2(1)=M0;
t2(1)=t0;
n=1;

while M2(n)>(M0*0.08)

t2(n+1)=t2(n)+h2;
M2(n+1)=M2(n)+h2*(-(1.24e-04)*M2(n));
n=n+1;

end

% Con los próximos comandos obtenemos las gráficas y los resultados en pantalla

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t2(end))
disp(i)

hold on
figure(1)
plot(t1,M1)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1')
xlabel(' t (años) ')
ylabel ('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
figure(2)
plot(t2,M2)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.01')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--r')
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1','MÉTODO DE EULER h=0.01')
hold off
}}
[[Archivo:Eulerfig1.jpg|center|border|550px]]
[[Archivo:Eulerfig2.jpg|center|border|550px]]

==) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
y0=1;
y(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1;
condition=0.08;

% Programa

while y(i)>(y0*0.08)

y(i+1)=((1-h1*(1.24e-04)/2)/(1+h1*(1.24e-04)/2))*y(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;

end

% Resultado

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t1(end))
disp(i)

% Dibujamos la gráfica

hold on
plot(t1,y,'m')
legend('trapecio')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off
}}
[[Archivo:Trapeciofigu1.jpg|center]]

==) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

t0=0;
h=0.1;
M0=1;
t(1)=t0;
M(1)=M0;
i=1;

% Programa

while M(i)>(M0*0.5)
K1=(-1.24e-04)*M(i);

t2=t(i)+(h/2);
M2=M(i)+(h/2)*K1;
K2=(-1.24e-04)*M2;

t3=t2;
M3=M(i)+(h/2)*K2;
K3=(-1.24e-04)*M3;

t4=t(i)+h;
M4=M(i)+h*K3;
K4=(-1.24e-04)*M4;

M(i+1)=M(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;

end

% Resultados

disp('Vida media del carbono (en años) ')
disp(t(end))

% Dibujamos las gráficas

hold on
plot(t,M)
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
legend('MÉTODO DE RUNGE KUTTA h=0.1')
hold off
}}
[[Archivo:Rungekuttafig1.jpg|center]]

==) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales==

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A.
La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa.
Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:
[[Archivo:Sistema22.png|center]]

==) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la Gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}
[[Archivo:Figure1apt6.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt6.jpg|derecha|border|450px]]

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C.
También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

==) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=1 y k2=5 (al contrario que en el apartado anterior). Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=1; k2=5;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}

[[Archivo:Figure1apt7.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt7.jpg|derecha|border|450px]]
En este caso, las constantes han cambiado, por lo que A se desintegra lentamente a B. Mientras que B apenas crece puesto que su velocidad de desintegración es mucho mayor que la de A (empieza a decrecer cuando la concentración de A es cinco veces la suya). A su vez, C crece rápidamente conforme va apareciendo la sustancia B.
Lo que es igual al apartado anterior es la diferencia de las gráficas siendo más aproximada la de la derecha (correspondiente al método del Trapecio).

Archivo:Rungekuttafig1.jpg

2015-03-04T23:17:11Z

Íñigouraga:

Archivo:Trapeciofigu1.jpg

2015-03-04T23:16:04Z

Íñigouraga:

Archivo:Eulerfig2.jpg

2015-03-04T23:04:22Z

Íñigouraga:

Archivo:Eulerfig1.jpg

2015-03-04T23:02:34Z

Íñigouraga:

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-04T12:12:30Z

Íñigouraga:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas }}

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo <math> C^{14} </math>). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :<math> M'(t)=-kM(t) </math>
A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

==) Interpretación==

M(t) es una función que depende del tiempo y mide la concentración de la sustancia A, su derivada M'(t) mide la velocidad de desintegración de A en favor de B y es proporcional a "k" que es la constante de desintegración del material radiactivo (negativa en este caso puesto que decrece la concentración de A). La concentración de B será 1-M(t) puesto que la concentración de A más la concentración de B es siempre igual a 1.

==) Cálculo de la Edad con el Método Euler==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
M1(1)=M0;
t1(1)=t0;
a=1;

% Este bucle con while nos permite intruducir la condición de que el programe pare
% de aproximar cuando el porcentaje de carbono llegue al 8%

while M1(i)>(M0*0.08)

M1(a+1)M(a)+h1*(-(1.24e-04)*M1(a));
t1(a+1)=t1(a)+h1;
a=a+1;

end

% En esta segunda parte repetimos el proceso aproximando la solución
% por el mismo método pero para un paso menor e igual a 0.01, que nos
% dará una solución más aproximada pues se repite el proceso más veces
% en el mismo intervalo.

t0=0;
M0=1;
h2=0.01;
M2(1)=M0;
t2(1)=t0;
n=1;

while M2(n)>(M0*0.08)

t2(n+1)=t2(n)+h2;
M2(n+1)=M2(n)+h2*(-(1.24e-04)*M2(n));
n=n+1;

end

% Con los próximos comandos obtenemos las gráficas y los resultados en pantalla

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t2(end))
disp(i)

hold on
figure(1)
plot(t1,M1)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1')
xlabel(' t (años) ')
ylabel ('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
figure(2)
plot(t2,M2)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.01')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--r')
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1','MÉTODO DE EULER h=0.01')
hold off
}}

==) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
y0=1;
y(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1;
condition=0.08;

% Programa

while y(i)>(y0*0.08)

y(i+1)=((1-h1*(1.24e-04)/2)/(1+h1*(1.24e-04)/2))*y(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;

end

% Resultado

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t1(end))
disp(i)

% Dibujamos la gráfica

hold on
plot(t1,y,'m')
legend('trapecio')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off
}}

==) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

t0=0;
h=0.1;
M0=1;
t(1)=t0;
M(1)=M0;
i=1;

% Programa

while M(i)>(M0*0.5)
K1=(-1.24e-04)*M(i);

t2=t(i)+(h/2);
M2=M(i)+(h/2)*K1;
K2=(-1.24e-04)*M2;

t3=t2;
M3=M(i)+(h/2)*K2;
K3=(-1.24e-04)*M3;

t4=t(i)+h;
M4=M(i)+h*K3;
K4=(-1.24e-04)*M4;

M(i+1)=M(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;

end

% Resultados

disp('Vida media del carbono (en años) ')
disp(t(end))

% Dibujamos las gráficas

hold on
plot(t,M)
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
legend('MÉTODO DE RUNGE KUTTA h=0.1')
hold off
}}
[[Archivo:Gráficarungek.png|center]]

==) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales==

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A.
La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa.
Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:
[[Archivo:Sistema22.png|center]]

==) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la Gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}
[[Archivo:Figure1apt6.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt6.jpg|derecha|border|450px]]

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C.
También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

==) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=1 y k2=5 (al contrario que en el apartado anterior). Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=1; k2=5;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}

[[Archivo:Figure1apt7.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt7.jpg|derecha|border|450px]]
En este caso, las constantes han cambiado, por lo que A se desintegra lentamente a B. Mientras que B apenas crece puesto que su velocidad de desintegración es mucho mayor que la de A (empieza a decrecer cuando la concentración de A es cinco veces la suya). A su vez, C crece rápidamente conforme va apareciendo la sustancia B.
Lo que es igual al apartado anterior es la diferencia de las gráficas siendo más aproximada la de la derecha (correspondiente al método del Trapecio).

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-04T12:11:39Z

Íñigouraga:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas }}

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo <math> C^{14} </math>). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :<math> M'(t)=-kM(t) </math>
A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

==) Interpretación==

M(t) es una función que depende del tiempo y mide la concentración de la sustancia A, su derivada M'(t) mide la velocidad de desintegración de A en favor de B y es proporcional a "k" que es la constante de desintegración del material radiactivo (negativa en este caso puesto que decrece la concentración de A). La concentración de B será 1-M(t) puesto que la concentración de A más la concentración de B es siempre igual a 1.

==) Cálculo de la Edad con el Método Euler==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
M1(1)=M0;
t1(1)=t0;
a=1;

% Este bucle con while nos permite intruducir la condición de que el programe pare
% de aproximar cuando el porcentaje de carbono llegue al 8%

while M1(i)>(M0*0.08)

M1(a+1)M(a)+h1*(-(1.24e-04)*M1(a));
t1(a+1)=t1(a)+h1;
a=a+1;

end

% En esta segunda parte repetimos el proceso aproximando la solución
% por el mismo método pero para un paso menor e igual a 0.01, que nos
% dará una solución más aproximada pues se repite el proceso más veces
% en el mismo intervalo.

t0=0;
M0=1;
h2=0.01;
M2(1)=M0;
t2(1)=t0;
n=1;

while M2(n)>(M0*0.08)

t2(n+1)=t2(n)+h2;
M2(n+1)=M2(n)+h2*(-(1.24e-04)*M2(n));
n=n+1;

end

% Con los próximos comandos obtenemos las gráficas y los resultados en pantalla

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t2(end))
disp(i)

hold on
figure(1)
plot(t1,M1)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1')
xlabel(' t (años) ')
ylabel ('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
figure(2)
plot(t2,M2)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.01')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--r')
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1','MÉTODO DE EULER h=0.01')
hold off
}}

==) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
y0=1;
y(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1;
condition=0.08;

% Programa

while y(i)>(y0*0.08)

y(i+1)=((1-h1*(1.24e-04)/2)/(1+h1*(1.24e-04)/2))*y(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;

end

% Resultado

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t1(end))
disp(i)

% Dibujamos la gráfica

hold on
plot(t1,y,'m')
legend('trapecio')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off
}}

==) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

t0=0;
h=0.1;
M0=1;
t(1)=t0;
M(1)=M0;
i=1;

% Programa

while M(i)>(M0*0.5)
K1=(-1.24e-04)*M(i);

t2=t(i)+(h/2);
M2=M(i)+(h/2)*K1;
K2=(-1.24e-04)*M2;

t3=t2;
M3=M(i)+(h/2)*K2;
K3=(-1.24e-04)*M3;

t4=t(i)+h;
M4=M(i)+h*K3;
K4=(-1.24e-04)*M4;

M(i+1)=M(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;

end

% Resultados

disp('Vida media del carbono (en años) ')
disp(t(end))

% Dibujamos las gráficas

hold on
plot(t,M)
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
legend('MÉTODO DE RUNGE KUTTA h=0.1')
hold off
}}
[[Archivo:Gráficarungek.png]]

==) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales==

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A.
La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa.
Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:
[[Archivo:Sistema22.png|center]]

==) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la Gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}
[[Archivo:Figure1apt6.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt6.jpg|derecha|border|450px]]

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C.
También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

==) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=1 y k2=5 (al contrario que en el apartado anterior). Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=1; k2=5;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}

[[Archivo:Figure1apt7.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt7.jpg|derecha|border|450px]]
En este caso, las constantes han cambiado, por lo que A se desintegra lentamente a B. Mientras que B apenas crece puesto que su velocidad de desintegración es mucho mayor que la de A (empieza a decrecer cuando la concentración de A es cinco veces la suya). A su vez, C crece rápidamente conforme va apareciendo la sustancia B.
Lo que es igual al apartado anterior es la diferencia de las gráficas siendo más aproximada la de la derecha (correspondiente al método del Trapecio).

Archivo:Gráficarungek.png

2015-03-04T12:10:24Z

Íñigouraga:

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-04T12:08:48Z

Íñigouraga:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas }}

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo <math> C^{14} </math>). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :<math> M'(t)=-kM(t) </math>
A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

==) Interpretación==

M(t) es una función que depende del tiempo y mide la concentración de la sustancia A, su derivada M'(t) mide la velocidad de desintegración de A en favor de B y es proporcional a "k" que es la constante de desintegración del material radiactivo (negativa en este caso puesto que decrece la concentración de A). La concentración de B será 1-M(t) puesto que la concentración de A más la concentración de B es siempre igual a 1.

==) Cálculo de la Edad con el Método Euler==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
M1(1)=M0;
t1(1)=t0;
a=1;

% Este bucle con while nos permite intruducir la condición de que el programe pare
% de aproximar cuando el porcentaje de carbono llegue al 8%

while M1(i)>(M0*0.08)

M1(a+1)M(a)+h1*(-(1.24e-04)*M1(a));
t1(a+1)=t1(a)+h1;
a=a+1;

end

% En esta segunda parte repetimos el proceso aproximando la solución
% por el mismo método pero para un paso menor e igual a 0.01, que nos
% dará una solución más aproximada pues se repite el proceso más veces
% en el mismo intervalo.

t0=0;
M0=1;
h2=0.01;
M2(1)=M0;
t2(1)=t0;
n=1;

while M2(n)>(M0*0.08)

t2(n+1)=t2(n)+h2;
M2(n+1)=M2(n)+h2*(-(1.24e-04)*M2(n));
n=n+1;

end

% Con los próximos comandos obtenemos las gráficas y los resultados en pantalla

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t2(end))
disp(i)

hold on
figure(1)
plot(t1,M1)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1')
xlabel(' t (años) ')
ylabel ('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
figure(2)
plot(t2,M2)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.01')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--r')
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1','MÉTODO DE EULER h=0.01')
hold off
}}

==) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
y0=1;
y(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1;
condition=0.08;

% Programa

while y(i)>(y0*0.08)

y(i+1)=((1-h1*(1.24e-04)/2)/(1+h1*(1.24e-04)/2))*y(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;

end

% Resultado

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t1(end))
disp(i)

% Dibujamos la gráfica

hold on
plot(t1,y,'m')
legend('trapecio')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off
}}

==) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

t0=0;
h=0.1;
M0=1;
t(1)=t0;
M(1)=M0;
i=1;

% Programa

while M(i)>(M0*0.5)
K1=(-1.24e-04)*M(i);

t2=t(i)+(h/2);
M2=M(i)+(h/2)*K1;
K2=(-1.24e-04)*M2;

t3=t2;
M3=M(i)+(h/2)*K2;
K3=(-1.24e-04)*M3;

t4=t(i)+h;
M4=M(i)+h*K3;
K4=(-1.24e-04)*M4;

M(i+1)=M(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;

end

% Resultados

disp('Vida media del carbono (en años) ')
disp(t(end))

% Dibujamos las gráficas

hold on
plot(t,M)
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
legend('MÉTODO DE RUNGE KUTTA h=0.1')
hold off
}}

==) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales==

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A.
La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa.
Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:
[[Archivo:Sistema22.png|center]]

==) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la Gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}
[[Archivo:Figure1apt6.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt6.jpg|derecha|border|450px]]

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C.
También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

==) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=1 y k2=5 (al contrario que en el apartado anterior). Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=1; k2=5;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}

[[Archivo:Figure1apt7.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt7.jpg|derecha|border|450px]]
En este caso, las constantes han cambiado, por lo que A se desintegra lentamente a B. Mientras que B apenas crece puesto que su velocidad de desintegración es mucho mayor que la de A (empieza a decrecer cuando la concentración de A es cinco veces la suya). A su vez, C crece rápidamente conforme va apareciendo la sustancia B.
Lo que es igual al apartado anterior es la diferencia de las gráficas siendo más aproximada la de la derecha (correspondiente al método del Trapecio).

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-04T12:06:13Z

Íñigouraga:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas }}

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo <math> C^{14} </math>). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :<math> M'(t)=-kM(t) </math>
A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

==) Interpretación==

M(t) es una función que depende del tiempo y mide la concentración de la sustancia A, su derivada M'(t) mide la velocidad de desintegración de A en favor de B y es proporcional a "k" que es la constante de desintegración del material radiactivo (negativa en este caso puesto que decrece la concentración de A). La concentración de B será 1-M(t) puesto que la concentración de A más la concentración de B es siempre igual a 1.

==) Cálculo de la Edad con el Método Euler==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
M1(1)=M0;
t1(1)=t0;
a=1;

% Este bucle con while nos permite intruducir la condición de que el programe pare
% de aproximar cuando el porcentaje de carbono llegue al 8%

while M1(i)>(M0*0.08)

M1(a+1)M(a)+h1*(-(1.24e-04)*M1(a));
t1(a+1)=t1(a)+h1;
a=a+1;

end

% En esta segunda parte repetimos el proceso aproximando la solución
% por el mismo método pero para un paso menor e igual a 0.01, que nos
% dará una solución más aproximada pues se repite el proceso más veces
% en el mismo intervalo.

t0=0;
M0=1;
h2=0.01;
M2(1)=M0;
t2(1)=t0;
n=1;

while M2(n)>(M0*0.08)

t2(n+1)=t2(n)+h2;
M2(n+1)=M2(n)+h2*(-(1.24e-04)*M2(n));
n=n+1;

end

% Con los próximos comandos obtenemos las gráficas y los resultados en pantalla

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t2(end))
disp(i)

hold on
figure(1)
plot(t1,M1)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1')
xlabel(' t (años) ')
ylabel ('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
figure(2)
plot(t2,M2)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.01')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--r')
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1','MÉTODO DE EULER h=0.01')
hold off
}}

==) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
y0=1;
y(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1;
condition=0.08;

while y(i)>(y0*0.08)

y(i+1)=((1-h1*(1.24e-04)/2)/(1+h1*(1.24e-04)/2))*y(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;

end

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t1(end))
disp(i)

hold on
plot(t1,y,'m')
legend('trapecio')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off
}}

==) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

t0=0;
h=0.1;
M0=1;
t(1)=t0;
M(1)=M0;
i=1;

while M(i)>(M0*0.5)
K1=(-1.24e-04)*M(i);

t2=t(i)+(h/2);
M2=M(i)+(h/2)*K1;
K2=(-1.24e-04)*M2;

t3=t2;
M3=M(i)+(h/2)*K2;
K3=(-1.24e-04)*M3;

t4=t(i)+h;
M4=M(i)+h*K3;
K4=(-1.24e-04)*M4;

M(i+1)=M(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;

end

disp('Vida media del carbono (en años) ')
disp(t(end))

hold on
plot(t,M)
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
legend('MÉTODO DE RUNGE KUTTA h=0.1')
hold off
}}

==) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales==

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A.
La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa.
Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:
[[Archivo:Sistema22.png|center]]

==) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la Gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}
[[Archivo:Figure1apt6.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt6.jpg|derecha|border|450px]]

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C.
También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

==) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=1 y k2=5 (al contrario que en el apartado anterior). Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=1; k2=5;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)

hold on
plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales

a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(2)

hold on
plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
hold off
}}

[[Archivo:Figure1apt7.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt7.jpg|derecha|border|450px]]
En este caso, las constantes han cambiado, por lo que A se desintegra lentamente a B. Mientras que B apenas crece puesto que su velocidad de desintegración es mucho mayor que la de A (empieza a decrecer cuando la concentración de A es cinco veces la suya). A su vez, C crece rápidamente conforme va apareciendo la sustancia B.
Lo que es igual al apartado anterior es la diferencia de las gráficas siendo más aproximada la de la derecha (correspondiente al método del Trapecio).

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-04T11:59:58Z

Íñigouraga:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas }}

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo <math> C^{14} </math>). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :<math> M'(t)=-kM(t) </math>
A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

==) Interpretación==

M(t) es una función que depende del tiempo y mide la concentración de la sustancia A, su derivada M'(t) mide la velocidad de desintegración de A en favor de B y es proporcional a "k" que es la constante de desintegración del material radiactivo (negativa en este caso puesto que decrece la concentración de A). La concentración de B será 1-M(t) puesto que la concentración de A más la concentración de B es siempre igual a 1.

==) Cálculo de la Edad con el Método Euler==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
M1(1)=M0;
t1(1)=t0;
a=1;

% Este bucle con while nos permite intruducir la condición de que el programe pare
% de aproximar cuando el porcentaje de carbono llegue al 8%

while M1(i)>(M0*0.08)

M1(a+1)M(a)+h1*(-(1.24e-04)*M1(a));
t1(a+1)=t1(a)+h1;
a=a+1;

end

% En esta segunda parte repetimos el proceso aproximando la solución
% por el mismo método pero para un paso menor e igual a 0.01, que nos
% dará una solución más aproximada pues se repite el proceso más veces
% en el mismo intervalo.

t0=0;
M0=1;
h2=0.01;
M2(1)=M0;
t2(1)=t0;
n=1;

while M2(n)>(M0*0.08)

t2(n+1)=t2(n)+h2;
M2(n+1)=M2(n)+h2*(-(1.24e-04)*M2(n));
n=n+1;

end

% Con los próximos comandos obtenemos las gráficas y los resultados en pantalla

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t2(end))
disp(i)

hold on
figure(1)
plot(t1,M1)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1')
xlabel(' t (años) ')
ylabel ('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
figure(2)
plot(t2,M2)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.01')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--r')
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1','MÉTODO DE EULER h=0.01')
hold off
}}

==) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
y0=1;
y(1)=y0;
t1(1)=t0;
i=1;
condition=0.08;

while y(i)>(y0*0.08)

y(i+1)=((1-h1*(1.24e-04)/2)/(1+h1*(1.24e-04)/2))*y(i);
t1(i+1)=t1(i)+h1;
i=i+1;

end

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t1(end))
disp(i)

hold on
plot(t1,y,'m')
legend('trapecio')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off
}}

==) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta==

==) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales==

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A.
La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa.
Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:
[[Archivo:Sistema22.png|center]]

==) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)
hold on

plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales
a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la Gráfica

figure(2)
hold on

plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off

}}
[[Archivo:Figure1apt6.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt6.jpg|derecha|border|450px]]

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C.
También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

==) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=1 y k2=5 (al contrario que en el apartado anterior). Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=1; k2=5;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)
hold on

plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales
a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(2)
hold on

plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off
}}

[[Archivo:Figure1apt7.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt7.jpg|derecha|border|450px]]
En este caso, las constantes han cambiado, por lo que A se desintegra lentamente a B. Mientras que B apenas crece puesto que su velocidad de desintegración es mucho mayor que la de A (empieza a decrecer cuando la concentración de A es cinco veces la suya). A su vez, C crece rápidamente conforme va apareciendo la sustancia B.
Lo que es igual al apartado anterior es la diferencia de las gráficas siendo más aproximada la de la derecha (correspondiente al método del Trapecio).

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-04T11:57:01Z

Íñigouraga:

{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas }}

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo <math> C^{14} </math>). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :<math> M'(t)=-kM(t) </math>
A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

==) Interpretación==

M(t) es una función que depende del tiempo y mide la concentración de la sustancia A, su derivada M'(t) mide la velocidad de desintegración de A en favor de B y es proporcional a "k" que es la constante de desintegración del material radiactivo (negativa en este caso puesto que decrece la concentración de A). La concentración de B será 1-M(t) puesto que la concentración de A más la concentración de B es siempre igual a 1.

==) Cálculo de la Edad con el Método Euler==

{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales

h1=0.1;
M1(1)=M0;
t1(1)=t0;
a=1;

% Este bucle con while nos permite intruducir la condición de que el programe pare
% de aproximar cuando el porcentaje de carbono llegue al 8%

while M1(i)>(M0*0.08)

M1(a+1)M(a)+h1*(-(1.24e-04)*M1(a));
t1(a+1)=t1(a)+h1;
a=a+1;

end

% En esta segunda parte repetimos el proceso aproximando la solución
% por el mismo método pero para un paso menor e igual a 0.01, que nos
% dará una solución más aproximada pues se repite el proceso más veces
% en el mismo intervalo.

t0=0;
M0=1;
h2=0.01;
M2(1)=M0;
t2(1)=t0;
n=1;

while M2(n)>(M0*0.08)

t2(n+1)=t2(n)+h2;
M2(n+1)=M2(n)+h2*(-(1.24e-04)*M2(n));
n=n+1;

end

% Con los próximos comandos obtenemos las gráficas y los resultados en pantalla

disp('Antigüedad de los restos (en años):')
disp(t2(end))
disp(i)

hold on
figure(1)
plot(t1,M1)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1')
xlabel(' t (años) ')
ylabel ('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
figure(2)
plot(t2,M2)
legend('MÉTODO DE EULER h=0.01')
xlabel(' t (años) ')
ylabel('Cantidad de carbono')
hold off

hold on
plot(t1,y1)
plot(t2,y2,'--r')
legend('MÉTODO DE EULER h=0.1','MÉTODO DE EULER h=0.01')
hold off
}}

==) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio==

==) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta==

==) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales==

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A.
La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa.
Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:
[[Archivo:Sistema22.png|center]]

==) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)
hold on

plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales
a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la Gráfica

figure(2)
hold on

plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off

}}
[[Archivo:Figure1apt6.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt6.jpg|derecha|border|450px]]

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C.
También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

==) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=1 y k2=5 (al contrario que en el apartado anterior). Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=1; k2=5;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)
hold on

plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales
a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(2)
hold on

plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off
}}

[[Archivo:Figure1apt7.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt7.jpg|derecha|border|450px]]
En este caso, las constantes han cambiado, por lo que A se desintegra lentamente a B. Mientras que B apenas crece puesto que su velocidad de desintegración es mucho mayor que la de A (empieza a decrecer cuando la concentración de A es cinco veces la suya). A su vez, C crece rápidamente conforme va apareciendo la sustancia B.
Lo que es igual al apartado anterior es la diferencia de las gráficas siendo más aproximada la de la derecha (correspondiente al método del Trapecio).

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-02T11:43:02Z

Íñigouraga:

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-02T11:42:37Z

Íñigouraga:

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-02T11:37:35Z

Íñigouraga:

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-02T11:33:45Z

Íñigouraga:

Archivo:Figure2apt7.jpg

2015-03-02T11:27:51Z

Íñigouraga:

Archivo:Figure1apt7.jpg

2015-03-02T11:27:30Z

Íñigouraga:

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-02T11:24:22Z

Íñigouraga:

[[Archivo:Figure1apt6.fig|miniaturadeimagen]]
{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas }}

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo <math> C^{14} </math>). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :<math> M'(t)=-kM(t) </math>
A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

==) Interpretación==

==) Cálculo de la Edad con el Método Euler==

==) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio==

==) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta==

==) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales==

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A.
La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa.
Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:
[[Archivo:Sistema22.png|center|miniaturadeimagen]]

==) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)
hold on

plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales
a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la Gráfica

figure(2)
hold on

plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off

}}
[[Archivo:Figure1apt6.jpg|izquierda|border|450px]]
[[Archivo:Figure2apt6.jpg|derecha|border|450px]]

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C.
También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

==) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas==

Archivo:Figure2apt6.jpg

2015-03-02T11:14:04Z

Íñigouraga:

Archivo:Figure1apt6.jpg

2015-03-02T11:08:39Z

Íñigouraga:

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-02T11:05:33Z

Íñigouraga:

[[Archivo:Figure1apt6.fig|miniaturadeimagen]]
{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas }}

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo <math> C^{14} </math>). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :<math> M'(t)=-kM(t) </math>
A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

==) Interpretación==

==) Cálculo de la Edad con el Método Euler==

==) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio==

==) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta==

==) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales==

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A.
La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa.
Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:
[[Archivo:Sistema22.png|center|miniaturadeimagen]]

==) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio==

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.
{{matlab|codigo=
% Condiciones Iniciales del PVI

t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1;

A(1)=A0;
B(1)=B0;
C(1)=C0;

t(1)=t0;

i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

while t<10

A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

t(i+1)=t(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la gráfica

figure(1)
hold on

plot(t,A)
plot(t,B,'g')
plot(t,C,'r')
title('EULER')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off

%MÉTODO DEL TRAPECIO

% Renombramos las condiciones iniciales
a0=1; b0=0; c0=0;
a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
t1(1)=t0;

while t1(i)<10

a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));

t1(i+1)=t1(i)+h;

i=i+1;

end

% Hacemos la Gráfica

figure(2)
hold on

plot(t1,a)
plot(t1,b,'g')
plot(t1,c,'r')
title('TRAPECIO')
legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off
}}
[[Archivo:Figure1apt6.fig|left|miniaturadeimagen]]
[[Archivo:Figure2apt6|miniaturadeimagen]]

==) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas==

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-01T15:11:53Z

Íñigouraga:

Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

2015-03-01T14:48:44Z

Íñigouraga: Página creada con «{{ TrabajoED | DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C | Ecuaciones Diferenciales|Curso 2014-15 | Pablo Goen...»