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Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-03T17:52:47Z

Álvaro Villar:

{{ TrabajoED | Arco1. Grupo 59 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Guillermo Pineros Quero
*Ignacio Sueiras Oviedo
*Francisco Yusep Saiz Cebrián
*Álvaro Villar Rosado
*Javier Ruiz Sáenz de Jubera}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
==Introducción==
"En este artículo se examina el proceso de parametrización y mallado de una placa plana 2D con forma de arco circular (anillo), delimitada por un radio interior de 1 y uno exterior de 2. Definimos dos variables físicas sobre esta geometría: la temperatura <math>T(x,y)</math> en coordenadas cartesianas y un vector de desplazamientos <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en coordenadas cilíndricas. La temperatura se rige por la función <math>T(x,y)=(x-y)^2</math> , mientras que los desplazamientos obedecen a <math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{5} (\rho-1)\rho^2 \cos\theta(\vec{e}_\theta)</math> El objetivo principal es formalizar la descripción del dominio y sus funciones para facilitar el análisis numérico mediante discretización. El texto se complementa con códigos de MATLAB, fotografías y representaciones gráficas en cada apartado."

== Mallado del arco ==
El mallado de un arco consiste en dividir su superficie en puntos organizados, lo que permite describir su geometría y analizar cómo cambian diferentes magnitudes dentro de él.
El arco está comprendido entre los radios de valor 1 y 2, que al pasarlo a coordenadas polares la región estará definida por rho(ρ) y theta(θ), y sus valores [1,2]x[0,π]

=== Representación del mallado ===
[[Archivo:mallado.del.arco.png|500px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Mallado del arco alineado

% Elegimos divisiones que garanticen que:
% θ = 0, pi/2, pi están incluidos
% r incluye exactamente 1 y 2

theta = linspace(0, pi, 20); % mallado moderado, incluye 0, pi/2 y pi
r = linspace(1, 2, 15); % radios exactos 1 y 2

[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

figure;
hold on;

col = [0.3 0.6 1]; % azul clarito

% Mallado tipo red (más grueso)
plot(X, Y, 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en theta
plot(X', Y', 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en r

% Contornos superior interior y exterior
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);

% Bases
plot([-1 -2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base izquierda
plot([ 1 2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base derecha

% Ajustes
axis equal
grid on
title('Mallado del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
hold off;
}}

== Temperatura en el arco ==
La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos
que están a distancia 1 del origen. La función es: '''<big>𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)<sup>2</sup></big>'''

=== Código ===
[[Archivo:funciontemperatura.png|500px|thumb|right|Representación de la temperatura en el arco]]
{{matlab|codigo=
% Mallado del arco
theta = linspace(0, pi, 200); % más denso para curva suave
r = linspace(1, 2, 200); % radio interior 1, exterior 2
[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

% Funcion temperatura
T = (X - Y).^2;

% Representación 2D
figure;
pcolor(X, Y, T); % representación 2D en colores
shading interp % suavizado del color
colormap(jet)
colorbar;

title('Temperatura T(x,y) = (x - y)^2 sobre el arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
axis equal % mantiene proporciones reales
hold on

%% Contorno negro del arco
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

% Borde interior
plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Borde exterior
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Radio izquierdo
plot([1 2]*cos(0), [1 2]*sin(0), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Radio derecho
plot([1 2]*cos(pi), [1 2]*sin(pi), 'k-', 'LineWidth', 1);

hold off
}}

== Gradiente de temperatura ==
===Cálculo del gradiente===
El gradiente de una función escalar (∇f) es un campo vectorial cuyas componentes son las derivadas parciales de la función. Geométricamente, el vector gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función y es ortogonal a sus curvas de nivel.

La fórmula para calcularlo es:

∇f(x,y) = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y )

Como la temperatura viene dada por la siguiente fórmula:

T(x, y) = (x - y)²

El gradiente de temperatura será:

∇T = (2(x - y), -2(x - y))
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Gradiente apartado 3.png|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Representación del gradiente
clc; clear; close all;

% Dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;

[Rho, Theta] = meshgrid(linspace(rho_min, rho_max, 100), ...
linspace(th_min, th_max, 200));

% Convertimos a Cartesianas
X = Rho .* cos(Theta);
Y = Rho .* sin(Theta);

%% 2. Definición de Temperatura y Gradiente
% Temperatura T = (x - y)^2
T_val = (X - Y).^2;

% Cálculo del gradiente
Grad_X = 2 .* (X - Y);
Grad_Y = -2 .* (X - Y);

% Representación gráfica
figure('Name', 'Trabajo M - Pregunta 3 (Estilo Suave)', 'Color', 'w');
hold on;

contourf(X, Y, T_val, 50, 'LineStyle', 'none');

% Creamos la gráfica
N = 256;
r = linspace(0.2, 1, N)';
g = linspace(0.5, 1, N)';
b = linspace(1, 0, N)';
mi_mapa = [r, g, b]; % Matriz de colores

colormap(mi_mapa);
c = colorbar;
c.Label.String = 'Temperatura T = (x-y)^2';

% Cantida de flechas
step_r = 8; % Salta cada 8 puntos en el radio
step_t = 12; % Salta cada 12 puntos en el ángulo

idx_r = 1:step_r:size(X,1);
idx_t = 1:step_t:size(X,2);

% Dibujo flechas
quiver(X(idx_r, idx_t), Y(idx_r, idx_t), ...
Grad_X(idx_r, idx_t), Grad_Y(idx_r, idx_t), ...
'k', ... % Color negro flechas
'LineWidth', 1.0, ... % Grosor flechas
'AutoScaleFactor', 0.8); % Tamaño flechas

axis equal;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]); % Márgenes
title('Gradiente sobre T');
xlabel('x'); ylabel('y');

box on;
hold off;
}}
== Campo de Vectores ==
El campo vectorial viene dado por la siguiente fórmula:
<div style="text-align:center;">
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}</math>
</div>

=== código ===
[[Archivo:apartado.4.png|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

%% --- 1. Definir el mallado polar del sólido ---
h = 0.1;
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Convertir la malla a cartesianas (puntos del sólido)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% --- 2. Definir el campo vectorial u en e_theta ---
U_theta = (1/5) * (R - 1) .* R.^2 .* sin(Th);

% Componentes de los vectores unitarios e_theta en cartesianas
e_th_x = -sin(Th);
e_th_y = cos(Th);

% Convertir el campo a componentes cartesianas
U_x = U_theta .* e_th_x;
U_y = U_theta .* e_th_y;

%% --- 3. Dibujar SOLO el campo vectorial u en los puntos de la malla ---
figure;
hold on;
axis equal;
grid off;
set(gcf,'Color','w');

% Dibujar las flechas del campo vectorial u
quiver(X, Y, U_x, U_y, 'b', 'LineWidth', 1.2, 'MaxHeadSize', 0.6);

%% --- 4. Dibujar el borde del sólido con UNA línea negra ---
% Lado 1: arco exterior
plot(rho_max*cos(theta_vec), rho_max*sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 2: arco interior
plot(rho_min*cos(theta_vec), rho_min*sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 3: cierre izquierdo (theta = pi)
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 4: cierre derecho (theta = 0)
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'k', 'LineWidth', 2);

title('Campo \vec u sobre la malla del sólido (bordeado en negro)');
xlabel('x'); ylabel('y');
hold off;
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

===Código===
[[Archivo:grafica_1.png|500px|thumb|right|Gráfica 1]]
[[Archivo:Grafica_2.png|500px|thumb|right|Gráfica 2]]
[[Archivo:apartado.5.png|500px|thumb|right|Gráfica 3]]
{{matlab|codigo=
%% Visualización de Deformación (Azul vs Rojo)
clear; clc; close all;
% --- 1. DATOS Y CÁLCULOS ---
rho_vec = 1:0.1:2;

% EL CAMBIO ESTÁ AQUÍ:

theta_vec = [0:0.1:pi, pi];

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posición Inicial
X_ini = R .* cos(Th);
Y_ini = R .* sin(Th);

% Desplazamiento u (Trabajo M)
u_rho = zeros(size(R));
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* (R.^2) .* sin(Th);

UX = u_rho .* cos(Th) - u_theta .* sin(Th);
UY = u_rho .* sin(Th) + u_theta .* cos(Th);

% Posición Final
X_fin = X_ini + UX;
Y_fin = Y_ini + UY;

% --- GENERACIÓN DE LAS GRÁFICAS ---

% GRÁFICA 1: Posición Inicial
figure(1); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('1. Posición Inicial (Sin deformar)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 2: Posición Final
figure(2); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('2. Posición Final (Deformada)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 3: Superposición (AZUL vs ROJO)
figure(3); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('3. Comparativa: Inicial vs Final');
xlabel('x'); ylabel('y');

% A) Inicial: AZUL
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);

% B) Final: ROJO
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1.2);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1.2);

% --- Función para bordes ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end
}}

==Divergencia==
[[Archivo:apartado.6.png|500px|thumb|right|Divergencia]]
===Definición de la divergencia===
La divergencia de un campo vectorial <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en un punto dado es una medida de la tasa a la que el flujo del campo se está expandiendo (saliendo) o contrayendo (entrando) en ese punto.

Es un valor escalar que te dice qué tan fuerte es una fuente o un sumidero de flujo en ese lugar. Para calcular la divergencia en coordenadas cilíndricas se utiliza la siguiente fórmula:

<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho U_{\rho}) + \frac{\partial U_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial}{\partial z}(\rho U_{z}) \right]</math>

Reemplazando los valores del campo en las posiciones de U, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla \cdot \vec{U}
= \frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial \rho}(0)
+ \frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\right)
+ \frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]</math>

El resultado final de la divergencia es el siguiente:

<math>\nabla \cdot \vec{U}
= \frac{1}{5}(\rho - 1)\,\rho\,\cos\theta</math>

===Código y representación===
{{matlab|codigo=
%% DIVERGENCIA

clear; clc; close all;

% 1. Geometría
rho_vec = 1:0.05:2;
theta_vec = [0:0.05:pi, pi];
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Paso a cartesianas solo para pintar (X, Y)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% 2. Cálculo de la Divergencia
% Fórmula: (1/5) * (rho^2 - rho) * cos(theta)
Div = (1/5) * (R.^2 - R) .* cos(Th);

% 3. Visualización
figure(7); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Divergencia: Expansión y Compresión');
xlabel('x'); ylabel('y');

% mapa de colores
[C, h] = contourf(X, Y, Div, 30, 'LineStyle', 'none');

% Barra de color
cb = colorbar;
ylabel(cb, 'Cambio de Volumen');

% borde negro
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);

% Definimos un mapa de colores "Divergente" (Rojo-Azul)
%Azul para compresión, Rojo para expansión
colormap(redbluecmap);

axis([-2.5 2.5 0 2.5]);
grid off;

% --- Función Borde ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end

}}

== Rotacional ==
El rotacional de un campo vectorial <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> mide cuánto y en qué dirección tiende a girar el campo, es decir, si el campo hace que una partícula colocada en él empiece a rotar. Si el rotacional es distinto de 0 entonces la partícula rotará, en cambio si el rotacional es igual a 0 entonces la partícula no rotará.
La fórmula del campo gradiente es <center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{vmatrix}</math></center>
=== Código ===
[[Archivo:apartado.7.png|500px|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Parámetros del sólido (anillo semicircular)
h = 0.02;
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% Magnitud del rotacional
curl_z = (1/5) .* R .* (4.*R - 3) .* sin(Th);
curl_abs = abs(curl_z);

% --- Visualización ---
figure;
hold on; axis equal; grid off;
set(gcf,'Color','w');

contourf(X, Y, curl_abs, 30, 'LineStyle','none');
colorbar;
colormap(parula);

title('|∇×u| en el sólido');
xlabel('x'); ylabel('y');

% --- Marcar máximo explícitamente en (0,2) ---
xmax = 0;
ymax = 2;
plot(xmax, ymax, 'r*', 'MarkerSize', 14, 'LineWidth', 2);
text(xmax+0.05, ymax, ' Máximo rotacional (0,2)', 'Color','r','FontSize',10);

hold off;
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math>\vec{e}_{\rho}</math> ==

Se calculará el punto donde el material sufre mayor cizalladura.

La fórmula es la siguiente: <math>\mathbf{\tau} = \mathbf{\sigma} \cdot \vec{e}_{\rho} - (\vec{e}_{\rho} \cdot \mathbf{\sigma} \cdot \vec{e}_{\rho})\vec{e}_{\rho}</math>

La fórmula que debes usar para el vector de tensión tangencial (cizalladura) es: <math>|\mathbf{\tau}| = |\mathbf{\sigma_{\rho\theta}}|</math>

Y al aplicar la Ley de Hooke <math>\mathbf{\sigma_{\rho\theta} = 2 \epsilon_{\rho\theta}}</math> y los componentes de deformación, el resultado es:

<math>|\mathbf{\tau}| = \left| \frac{1}{5} (2\rho^2 - \rho) \sin\theta \right|</math>
[[Archivo:apartado_9.jpg|500px|thumb|right|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
%% TENSIONES TANGENCIALES
clear; clc; close all;

% --- 1. GEOMETRÍA ---
rho_vec = 1:0.01:2;
theta_vec = 0:0.01:pi;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% --- 2. CÁLCULO DE LA TENSIÓN ---
Tau = (1/5) * (2*R.^2 - R) .* sin(Th);
Tau_Mag = abs(Tau);

% --- 3. VISUALIZACIÓN ---
figure(9); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Tensión tangencial');
xlabel('x'); ylabel('y');

contourf(X, Y, Tau_Mag, 50, 'LineStyle', 'none');
c = colorbar;
ylabel(c,'Esfuerzo de Corte (Pa)');

% --- 4. Colormap amplio AZUL → ROJO (256 tonos) ---
n = 256;
azul = [0 0 1]; % azul puro
rojo = [1 0 0]; % rojo puro
cmap = [linspace(azul(1), rojo(1), n)', ...
linspace(azul(2), rojo(2), n)', ...
linspace(azul(3), rojo(3), n)'];
colormap(cmap);

% --- 5. Bordes exteriores en negro ---
t_border = 0:0.001:pi;
plot(2*cos(t_border),2*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot(1*cos(t_border),1*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot([-2,-1],[0,0],'k','LineWidth',2);
plot([1,2],[0,0],'k','LineWidth',2);

% --- 6. Punto de máxima tensión ---
max_val = max(Tau_Mag(:));
[fr, fc] = find(Tau_Mag == max_val, 1);
plot(X(fr,fc),Y(fr,fc),'wx','LineWidth',2,'MarkerSize',10);
text(X(fr,fc),Y(fr,fc)+0.1,'Máx','Color','w','FontWeight','bold');

axis([-2.2 2.2 0 2.2]);
grid off;
hold off;

}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math>\frac{1}{\rho} \vec{e}_{\theta}</math> ==

La fórmula es la siguiente: <math>\mathbf{\tau} = \mathbf{\sigma} \cdot \left(\frac{1}{\theta}\vec{e}_{\theta}\right) - \left[ \left(\frac{1}{\rho}\vec{e}_{\theta}\right) \cdot \mathbf{\sigma} \cdot \left(\frac{1}{\rho}\vec{e}_{\theta}\right) \right] \left(\frac{1}{\rho}\vec{e}_{\theta}\right)</math>

La fórmula utilizada será la siguiente: <math>|\mathbf{\tau}| = \left| \frac{1}{\rho} \mathbf{\sigma_{\rho\theta}} \right|</math>. Al reemplazar y aplicar la Ley de Hooke que se aplico en el apartado anterior obtenemos esta expresión:

<math>|\mathbf{\tau}| = \left| \frac{1}{\rho} \cdot \left[ \frac{1}{5} (2\rho^2 - \rho) \sin\theta \right] \right|</math>

[[Archivo:apartado.10.png|500px|thumb|right|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

%% --- 1. Mallado polar del sólido (corona semicircular) ---
h = 0.02; % paso fino
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Conversión a cartesianas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% --- 2. Campo u = u_theta * e_theta ---
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* R.^2 .* sin(Th);

% Cálculo del rotacional (componente z en 2D, analítico)
curl_z = (1/5) .* R .* (4.*R - 3) .* sin(Th);
curl_abs = abs(curl_z);

%% --- 3. Gráfica del rotacional (sin flechas) ---
figure;
hold on;
axis equal;
grid off;
set(gcf,'Color','w');

% Mapa de calor del rotacional
contourf(X, Y, curl_abs, 40, 'LineStyle','none');
colorbar;
clim([0 2]); % forzamos rango para que el máximo destaque bien
colormap turbo;

title('Tension tangencial apartado 10');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Borde del sólido
plot(rho_max*cos(theta_vec), rho_max*sin(theta_vec), 'k','LineWidth',1.8);
plot(rho_min*cos(theta_vec), rho_min*sin(theta_vec), 'k','LineWidth',1.8);
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k','LineWidth',1.8);
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k','LineWidth',1.8);

% Marcar punto de máximo explícitamente en (0,2) en blanco
xmax = 0;
ymax = 2;
plot(xmax, ymax, 'w*', 'MarkerSize', 15, 'LineWidth', 2);
text(xmax+0.05, ymax-0.1, ' Máximo', 'Color','w','FontSize',11,'FontWeight','bold');

hold off;

%% --- 4. Mostrar valor numérico máximo en consola ---
fprintf('Máximo de |∇×u| = %.5g en (0,2)\n', curl_abs(find(X==0 & abs(Y-2)<1e-6, 1)));

disp('El punto con mayor rotacional es (0,2)');
disp('Porque |∇×u| crece con ρ y es máximo cuando sinθ = 1 (θ = π/2) y ρ = 2');
}}

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==
La masa se calcula con la siguiente integral: M = ∫∫ d(ρ, θ) dA

El dominio es [1,2]x[0,pi] y por tanto los límites de integración serán:

Límete de rho: 1 ≤ ρ ≤ 2

Límite de theta: 0 ≤ θ ≤ π

El diferencial de área (Jacobiano) es: dA = ρ dρ dθ

La densidad viene dada por: d(ρ, θ) = 1 + e^(ρ² cos θ)

Por último la masa se calculará de la siguiente manera:

M = ∫(de 0 a π) ∫(de 1 a 2) [1 + e^(ρ² cos θ)] · ρ dρ dθ = 26.26 u²

== Interpretación del trabajo ==

En el Trabajo K se modela una onda transversal en una placa rectangular mediante el campo de desplazamientos:

<math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}\cos(\vec{b}\cdot\vec{r}_0 - c t)</math> con:

<math>\vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>
<math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>
<math>t=0</math>

Esto se puede interpretar como una onda de corte (onda S) que se propaga en un medio elástico, como la corteza terrestre durante un terremoto.
Las ondas S (secundarias o de corte) son ondas transversales, en las que las partículas del material vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

En este caso, la dirección de propagación es la del vector:

<math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>

(eje 𝑦 y) y la vibración es en la dirección:<math>\vec{i}</math>(eje 𝑥 x), lo cual es típico de ondas S con polarización horizontal (onda SH).
Aplicación al Trabajo M (arco entre radios 1 y 2)
En el Trabajo M, el dominio es un sector de arco en coordenadas polares(𝜌,𝜃)(ρ,θ), con:<math>\rho\in[1,2]</math> y el campo de desplazamientos es:

<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_\theta</math>

Este campo representa un desplazamiento puramente tangencial: <math>\vec{e}_\theta</math>

que también corresponde a una onda de corte pero en geometría curvilínea.
En sismología, las ondas S pueden viajar a lo largo de estructuras curvas en la corteza, como capas geológicas curvadas o interfaces entre materiales.

El factor:<math>(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta</math> indica que el desplazamiento es máximo en la parte exterior del arco: <math>\rho = 2</math> y varía sinusoidalmente con:<math>\theta</math> lo que podría modelar una onda estacionaria o forzada en una placa curvada.

Relación con la temperatura

En ambos trabajos se incluye un campo de temperatura: <math>T(x,y)=(x-y)^2</math> que en el Trabajo M debe expresarse en coordenadas polares:<math>x=\rho\cos\theta</math>
<math>y=\rho\sin\theta</math>

Sustituyendo: <math>T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2</math>

Esta temperatura podría representar gradientes térmicos en la corteza debidos a fuentes geotérmicas, que afectan a las propiedades elásticas del medio y, por tanto, a la propagación de ondas sísmicas.

Conclusión

El Trabajo M puede interpretarse como el estudio de ondas de corte (S) en una región curvilínea de la corteza terrestre, como un arco de falla o una capa geológica curvada, donde los desplazamientos son transversales a la dirección radial.

La inclusión del campo de temperatura:<math>T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2</math> permite analizar cómo los gradientes térmicos influyen en la deformación y propagación de ondas en estructuras geológicas reales, algo relevante en sismología y geofísica.

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-03T17:41:21Z

Álvaro Villar:

{{ TrabajoED | Arco1. Grupo 59 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Guillermo Pineros Quero
*Ignacio Sueiras Oviedo
*Francisco Yusep Saiz Cebrián
*Álvaro Villar Rosado
*Javier Ruiz Sáenz de Jubera}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
==Introducción==
"En este artículo se examina el proceso de parametrización y mallado de una placa plana 2D con forma de arco circular (anillo), delimitada por un radio interior de 1 y uno exterior de 2. Definimos dos variables físicas sobre esta geometría: la temperatura <math>T(x,y)</math> en coordenadas cartesianas y un vector de desplazamientos <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en coordenadas cilíndricas. La temperatura se rige por la función <math>T(x,y)=(x-y)^2</math> , mientras que los desplazamientos obedecen a:<math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{5} (\rho-1)\rho^2 \cos\theta(\vec{e}_\theta)</math> El objetivo principal es formalizar la descripción del dominio y sus funciones para facilitar el análisis numérico mediante discretización. El texto se complementa con códigos de MATLAB, fotografías y representaciones gráficas en cada apartado."
<div style="text-align:center;">
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}</math>
</div>

== Mallado del arco ==
El mallado de un arco consiste en dividir su superficie en puntos organizados, lo que permite describir su geometría y analizar cómo cambian diferentes magnitudes dentro de él.
El arco está comprendido entre los radios de valor 1 y 2, que al pasarlo a coordenadas polares la región estará definida por rho(ρ) y theta(θ), y sus valores [1,2]x[0,π]

=== Representación del mallado ===
[[Archivo:mallado.del.arco.png|500px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Mallado del arco alineado

% Elegimos divisiones que garanticen que:
% θ = 0, pi/2, pi están incluidos
% r incluye exactamente 1 y 2

theta = linspace(0, pi, 20); % mallado moderado, incluye 0, pi/2 y pi
r = linspace(1, 2, 15); % radios exactos 1 y 2

[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

figure;
hold on;

col = [0.3 0.6 1]; % azul clarito

% Mallado tipo red (más grueso)
plot(X, Y, 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en theta
plot(X', Y', 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en r

% Contornos superior interior y exterior
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);

% Bases
plot([-1 -2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base izquierda
plot([ 1 2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base derecha

% Ajustes
axis equal
grid on
title('Mallado del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
hold off;
}}

== Temperatura en el arco ==
La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos
que están a distancia 1 del origen. La función es: '''<big>𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)<sup>2</sup></big>'''

=== Código ===
[[Archivo:funciontemperatura.png|500px|thumb|right|Representación de la temperatura en el arco]]
{{matlab|codigo=
% Mallado del arco
theta = linspace(0, pi, 200); % más denso para curva suave
r = linspace(1, 2, 200); % radio interior 1, exterior 2
[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

% Funcion temperatura
T = (X - Y).^2;

% Representación 2D
figure;
pcolor(X, Y, T); % representación 2D en colores
shading interp % suavizado del color
colormap(jet)
colorbar;

title('Temperatura T(x,y) = (x - y)^2 sobre el arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
axis equal % mantiene proporciones reales
hold on

%% Contorno negro del arco
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

% Borde interior
plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Borde exterior
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Radio izquierdo
plot([1 2]*cos(0), [1 2]*sin(0), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Radio derecho
plot([1 2]*cos(pi), [1 2]*sin(pi), 'k-', 'LineWidth', 1);

hold off
}}

== Gradiente de temperatura ==
===Cálculo del gradiente===
El gradiente de una función escalar (∇f) es un campo vectorial cuyas componentes son las derivadas parciales de la función. Geométricamente, el vector gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función y es ortogonal a sus curvas de nivel.

La fórmula para calcularlo es:

∇f(x,y) = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y )

Como la temperatura viene dada por la siguiente fórmula:

T(x, y) = (x - y)²

El gradiente de temperatura será:

∇T = (2(x - y), -2(x - y))
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Gradiente apartado 3.png|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Representación del gradiente
clc; clear; close all;

% Dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;

[Rho, Theta] = meshgrid(linspace(rho_min, rho_max, 100), ...
linspace(th_min, th_max, 200));

% Convertimos a Cartesianas
X = Rho .* cos(Theta);
Y = Rho .* sin(Theta);

%% 2. Definición de Temperatura y Gradiente
% Temperatura T = (x - y)^2
T_val = (X - Y).^2;

% Cálculo del gradiente
Grad_X = 2 .* (X - Y);
Grad_Y = -2 .* (X - Y);

% Representación gráfica
figure('Name', 'Trabajo M - Pregunta 3 (Estilo Suave)', 'Color', 'w');
hold on;

contourf(X, Y, T_val, 50, 'LineStyle', 'none');

% Creamos la gráfica
N = 256;
r = linspace(0.2, 1, N)';
g = linspace(0.5, 1, N)';
b = linspace(1, 0, N)';
mi_mapa = [r, g, b]; % Matriz de colores

colormap(mi_mapa);
c = colorbar;
c.Label.String = 'Temperatura T = (x-y)^2';

% Cantida de flechas
step_r = 8; % Salta cada 8 puntos en el radio
step_t = 12; % Salta cada 12 puntos en el ángulo

idx_r = 1:step_r:size(X,1);
idx_t = 1:step_t:size(X,2);

% Dibujo flechas
quiver(X(idx_r, idx_t), Y(idx_r, idx_t), ...
Grad_X(idx_r, idx_t), Grad_Y(idx_r, idx_t), ...
'k', ... % Color negro flechas
'LineWidth', 1.0, ... % Grosor flechas
'AutoScaleFactor', 0.8); % Tamaño flechas

axis equal;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]); % Márgenes
title('Gradiente sobre T');
xlabel('x'); ylabel('y');

box on;
hold off;
}}
== Campo de Vectores ==
El campo vectorial viene dado por la siguiente fórmula:
<div style="text-align:center;">
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}</math>
</div>

=== código ===
[[Archivo:apartado.4.png|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

%% --- 1. Definir el mallado polar del sólido ---
h = 0.1;
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Convertir la malla a cartesianas (puntos del sólido)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% --- 2. Definir el campo vectorial u en e_theta ---
U_theta = (1/5) * (R - 1) .* R.^2 .* sin(Th);

% Componentes de los vectores unitarios e_theta en cartesianas
e_th_x = -sin(Th);
e_th_y = cos(Th);

% Convertir el campo a componentes cartesianas
U_x = U_theta .* e_th_x;
U_y = U_theta .* e_th_y;

%% --- 3. Dibujar SOLO el campo vectorial u en los puntos de la malla ---
figure;
hold on;
axis equal;
grid off;
set(gcf,'Color','w');

% Dibujar las flechas del campo vectorial u
quiver(X, Y, U_x, U_y, 'b', 'LineWidth', 1.2, 'MaxHeadSize', 0.6);

%% --- 4. Dibujar el borde del sólido con UNA línea negra ---
% Lado 1: arco exterior
plot(rho_max*cos(theta_vec), rho_max*sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 2: arco interior
plot(rho_min*cos(theta_vec), rho_min*sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 3: cierre izquierdo (theta = pi)
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 4: cierre derecho (theta = 0)
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'k', 'LineWidth', 2);

title('Campo \vec u sobre la malla del sólido (bordeado en negro)');
xlabel('x'); ylabel('y');
hold off;
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

===Código===
[[Archivo:grafica_1.png|500px|thumb|right|Gráfica 1]]
[[Archivo:Grafica_2.png|500px|thumb|right|Gráfica 2]]
[[Archivo:apartado.5.png|500px|thumb|right|Gráfica 3]]
{{matlab|codigo=
%% Visualización de Deformación (Azul vs Rojo)
clear; clc; close all;
% --- 1. DATOS Y CÁLCULOS ---
rho_vec = 1:0.1:2;

% EL CAMBIO ESTÁ AQUÍ:

theta_vec = [0:0.1:pi, pi];

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posición Inicial
X_ini = R .* cos(Th);
Y_ini = R .* sin(Th);

% Desplazamiento u (Trabajo M)
u_rho = zeros(size(R));
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* (R.^2) .* sin(Th);

UX = u_rho .* cos(Th) - u_theta .* sin(Th);
UY = u_rho .* sin(Th) + u_theta .* cos(Th);

% Posición Final
X_fin = X_ini + UX;
Y_fin = Y_ini + UY;

% --- GENERACIÓN DE LAS GRÁFICAS ---

% GRÁFICA 1: Posición Inicial
figure(1); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('1. Posición Inicial (Sin deformar)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 2: Posición Final
figure(2); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('2. Posición Final (Deformada)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 3: Superposición (AZUL vs ROJO)
figure(3); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('3. Comparativa: Inicial vs Final');
xlabel('x'); ylabel('y');

% A) Inicial: AZUL
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);

% B) Final: ROJO
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1.2);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1.2);

% --- Función para bordes ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end
}}

==Divergencia==
[[Archivo:apartado.6.png|500px|thumb|right|Divergencia]]
===Definición de la divergencia===
La divergencia de un campo vectorial <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en un punto dado es una medida de la tasa a la que el flujo del campo se está expandiendo (saliendo) o contrayendo (entrando) en ese punto.

Es un valor escalar que te dice qué tan fuerte es una fuente o un sumidero de flujo en ese lugar. Para calcular la divergencia en coordenadas cilíndricas se utiliza la siguiente fórmula:

<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho U_{\rho}) + \frac{\partial U_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial}{\partial z}(\rho U_{z}) \right]</math>

Reemplazando los valores del campo en las posiciones de U, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla \cdot \vec{U}
= \frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial \rho}(0)
+ \frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\right)
+ \frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]</math>

El resultado final de la divergencia es el siguiente:

<math>\nabla \cdot \vec{U}
= \frac{1}{5}(\rho - 1)\,\rho\,\cos\theta</math>

===Código y representación===
{{matlab|codigo=
%% DIVERGENCIA

clear; clc; close all;

% 1. Geometría
rho_vec = 1:0.05:2;
theta_vec = [0:0.05:pi, pi];
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Paso a cartesianas solo para pintar (X, Y)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% 2. Cálculo de la Divergencia
% Fórmula: (1/5) * (rho^2 - rho) * cos(theta)
Div = (1/5) * (R.^2 - R) .* cos(Th);

% 3. Visualización
figure(7); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Divergencia: Expansión y Compresión');
xlabel('x'); ylabel('y');

% mapa de colores
[C, h] = contourf(X, Y, Div, 30, 'LineStyle', 'none');

% Barra de color
cb = colorbar;
ylabel(cb, 'Cambio de Volumen');

% borde negro
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);

% Definimos un mapa de colores "Divergente" (Rojo-Azul)
%Azul para compresión, Rojo para expansión
colormap(redbluecmap);

axis([-2.5 2.5 0 2.5]);
grid off;

% --- Función Borde ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end

}}

== Rotacional ==
El rotacional de un campo vectorial <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> mide cuánto y en qué dirección tiende a girar el campo, es decir, si el campo hace que una partícula colocada en él empiece a rotar. Si el rotacional es distinto de 0 entonces la partícula rotará, en cambio si el rotacional es igual a 0 entonces la partícula no rotará.
=== Código ===
[[Archivo:apartado.7.png|500px|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Parámetros del sólido (anillo semicircular)
h = 0.02;
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% Magnitud del rotacional
curl_z = (1/5) .* R .* (4.*R - 3) .* sin(Th);
curl_abs = abs(curl_z);

% --- Visualización ---
figure;
hold on; axis equal; grid off;
set(gcf,'Color','w');

contourf(X, Y, curl_abs, 30, 'LineStyle','none');
colorbar;
colormap(parula);

title('|∇×u| en el sólido');
xlabel('x'); ylabel('y');

% --- Marcar máximo explícitamente en (0,2) ---
xmax = 0;
ymax = 2;
plot(xmax, ymax, 'r*', 'MarkerSize', 14, 'LineWidth', 2);
text(xmax+0.05, ymax, ' Máximo rotacional (0,2)', 'Color','r','FontSize',10);

hold off;
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math>\vec{e}_{\rho}</math> ==
[[Archivo:apartado_9.jpg|500px|thumb|right|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
%% TENSIONES TANGENCIALES
clear; clc; close all;

% --- 1. GEOMETRÍA ---
rho_vec = 1:0.01:2;
theta_vec = 0:0.01:pi;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% --- 2. CÁLCULO DE LA TENSIÓN ---
Tau = (1/5) * (2*R.^2 - R) .* sin(Th);
Tau_Mag = abs(Tau);

% --- 3. VISUALIZACIÓN ---
figure(9); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Tensión tangencial');
xlabel('x'); ylabel('y');

contourf(X, Y, Tau_Mag, 50, 'LineStyle', 'none');
c = colorbar;
ylabel(c,'Esfuerzo de Corte (Pa)');

% --- 4. Colormap amplio AZUL → ROJO (256 tonos) ---
n = 256;
azul = [0 0 1]; % azul puro
rojo = [1 0 0]; % rojo puro
cmap = [linspace(azul(1), rojo(1), n)', ...
linspace(azul(2), rojo(2), n)', ...
linspace(azul(3), rojo(3), n)'];
colormap(cmap);

% --- 5. Bordes exteriores en negro ---
t_border = 0:0.001:pi;
plot(2*cos(t_border),2*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot(1*cos(t_border),1*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot([-2,-1],[0,0],'k','LineWidth',2);
plot([1,2],[0,0],'k','LineWidth',2);

% --- 6. Punto de máxima tensión ---
max_val = max(Tau_Mag(:));
[fr, fc] = find(Tau_Mag == max_val, 1);
plot(X(fr,fc),Y(fr,fc),'wx','LineWidth',2,'MarkerSize',10);
text(X(fr,fc),Y(fr,fc)+0.1,'Máx','Color','w','FontWeight','bold');

axis([-2.2 2.2 0 2.2]);
grid off;
hold off;

}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math>\frac{1}{\rho} \vec{e}_{\theta}</math> ==
[[Archivo:apartado.10.png|500px|thumb|right|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

%% --- 1. Mallado polar del sólido (corona semicircular) ---
h = 0.02; % paso fino
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Conversión a cartesianas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% --- 2. Campo u = u_theta * e_theta ---
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* R.^2 .* sin(Th);

% Cálculo del rotacional (componente z en 2D, analítico)
curl_z = (1/5) .* R .* (4.*R - 3) .* sin(Th);
curl_abs = abs(curl_z);

%% --- 3. Gráfica del rotacional (sin flechas) ---
figure;
hold on;
axis equal;
grid off;
set(gcf,'Color','w');

% Mapa de calor del rotacional
contourf(X, Y, curl_abs, 40, 'LineStyle','none');
colorbar;
clim([0 2]); % forzamos rango para que el máximo destaque bien
colormap turbo;

title('Tension tangencial apartado 10');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Borde del sólido
plot(rho_max*cos(theta_vec), rho_max*sin(theta_vec), 'k','LineWidth',1.8);
plot(rho_min*cos(theta_vec), rho_min*sin(theta_vec), 'k','LineWidth',1.8);
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k','LineWidth',1.8);
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k','LineWidth',1.8);

% Marcar punto de máximo explícitamente en (0,2) en blanco
xmax = 0;
ymax = 2;
plot(xmax, ymax, 'w*', 'MarkerSize', 15, 'LineWidth', 2);
text(xmax+0.05, ymax-0.1, ' Máximo', 'Color','w','FontSize',11,'FontWeight','bold');

hold off;

%% --- 4. Mostrar valor numérico máximo en consola ---
fprintf('Máximo de |∇×u| = %.5g en (0,2)\n', curl_abs(find(X==0 & abs(Y-2)<1e-6, 1)));

disp('El punto con mayor rotacional es (0,2)');
disp('Porque |∇×u| crece con ρ y es máximo cuando sinθ = 1 (θ = π/2) y ρ = 2');
}}

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==
La masa se calcula con la siguiente integral: M = ∫∫ d(ρ, θ) dA

El dominio es [1,2]x[0,pi] y por tanto los límites de integración serán:

Límete de rho: 1 ≤ ρ ≤ 2

Límite de theta: 0 ≤ θ ≤ π

El diferencial de área (Jacobiano) es: dA = ρ dρ dθ

La densidad viene dada por: d(ρ, θ) = 1 + e^(ρ² cos θ)

Por último la masa se calculará de la siguiente manera:

M = ∫(de 0 a π) ∫(de 1 a 2) [1 + e^(ρ² cos θ)] · ρ dρ dθ = 26.26 u²

== Interpretación del trabajo ==

En el Trabajo K se modela una onda transversal en una placa rectangular mediante el campo de desplazamientos:

<math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}\cos(\vec{b}\cdot\vec{r}_0 - c t)</math> con:

<math>\vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>
<math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>
<math>t=0</math>

Esto se puede interpretar como una onda de corte (onda S) que se propaga en un medio elástico, como la corteza terrestre durante un terremoto.
Las ondas S (secundarias o de corte) son ondas transversales, en las que las partículas del material vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

En este caso, la dirección de propagación es la del vector:

<math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>

(eje 𝑦 y) y la vibración es en la dirección:<math>\vec{i}</math>(eje 𝑥 x), lo cual es típico de ondas S con polarización horizontal (onda SH).
Aplicación al Trabajo M (arco entre radios 1 y 2)
En el Trabajo M, el dominio es un sector de arco en coordenadas polares(𝜌,𝜃)(ρ,θ), con:<math>\rho\in[1,2]</math> y el campo de desplazamientos es:

<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_\theta</math>

Este campo representa un desplazamiento puramente tangencial: <math>\vec{e}_\theta</math>

que también corresponde a una onda de corte pero en geometría curvilínea.
En sismología, las ondas S pueden viajar a lo largo de estructuras curvas en la corteza, como capas geológicas curvadas o interfaces entre materiales.

El factor:<math>(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta</math> indica que el desplazamiento es máximo en la parte exterior del arco: <math>\rho = 2</math> y varía sinusoidalmente con:<math>\theta</math> lo que podría modelar una onda estacionaria o forzada en una placa curvada.

Relación con la temperatura

En ambos trabajos se incluye un campo de temperatura: <math>T(x,y)=(x-y)^2</math> que en el Trabajo M debe expresarse en coordenadas polares:<math>x=\rho\cos\theta</math>
<math>y=\rho\sin\theta</math>

Sustituyendo: <math>T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2</math>

Esta temperatura podría representar gradientes térmicos en la corteza debidos a fuentes geotérmicas, que afectan a las propiedades elásticas del medio y, por tanto, a la propagación de ondas sísmicas.

Conclusión

El Trabajo M puede interpretarse como el estudio de ondas de corte (S) en una región curvilínea de la corteza terrestre, como un arco de falla o una capa geológica curvada, donde los desplazamientos son transversales a la dirección radial.

La inclusión del campo de temperatura:<math>T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2</math> permite analizar cómo los gradientes térmicos influyen en la deformación y propagación de ondas en estructuras geológicas reales, algo relevante en sismología y geofísica.

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-03T17:38:38Z

Álvaro Villar: /* Mallado del arco */

{{ TrabajoED | Arco1. Grupo 59 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Guillermo Pineros Quero
*Ignacio Sueiras Oviedo
*Francisco Yusep Saiz Cebrián
*Álvaro Villar Rosado
*Javier Ruiz Sáenz de Jubera}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
==Introducción==
"En este artículo se examina el proceso de parametrización y mallado de una placa plana 2D con forma de arco circular (anillo), delimitada por un radio interior de 1 y uno exterior de 2. Definimos dos variables físicas sobre esta geometría: la temperatura $T(x,y)$ en coordenadas cartesianas y un vector de desplazamientos $\vec{u}(\rho,\theta)$ en coordenadas cilíndricas. La temperatura se rige por la función $T(x,y)=(x-y)^2$, mientras que los desplazamientos obedecen a:$$\vec{u} = \frac{1}{5} (\rho-1)\rho^2 \cos\theta(\vec{e}_\theta)$$El objetivo principal es formalizar la descripción del dominio y sus funciones para facilitar el análisis numérico mediante discretización. El texto se complementa con códigos de MATLAB, fotografías y representaciones gráficas en cada apartado."
<div style="text-align:center;">
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}</math>
</div>

== Mallado del arco ==
El mallado de un arco consiste en dividir su superficie en puntos organizados, lo que permite describir su geometría y analizar cómo cambian diferentes magnitudes dentro de él.
El arco está comprendido entre los radios de valor 1 y 2, que al pasarlo a coordenadas polares la región estará definida por rho(ρ) y theta(θ), y sus valores [1,2]x[0,π]

=== Representación del mallado ===
[[Archivo:mallado.del.arco.png|500px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Mallado del arco alineado

% Elegimos divisiones que garanticen que:
% θ = 0, pi/2, pi están incluidos
% r incluye exactamente 1 y 2

theta = linspace(0, pi, 20); % mallado moderado, incluye 0, pi/2 y pi
r = linspace(1, 2, 15); % radios exactos 1 y 2

[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

figure;
hold on;

col = [0.3 0.6 1]; % azul clarito

% Mallado tipo red (más grueso)
plot(X, Y, 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en theta
plot(X', Y', 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en r

% Contornos superior interior y exterior
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);

% Bases
plot([-1 -2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base izquierda
plot([ 1 2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base derecha

% Ajustes
axis equal
grid on
title('Mallado del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
hold off;
}}

== Temperatura en el arco ==
La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos
que están a distancia 1 del origen. La función es: '''<big>𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)<sup>2</sup></big>'''

=== Código ===
[[Archivo:funciontemperatura.png|500px|thumb|right|Representación de la temperatura en el arco]]
{{matlab|codigo=
% Mallado del arco
theta = linspace(0, pi, 200); % más denso para curva suave
r = linspace(1, 2, 200); % radio interior 1, exterior 2
[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

% Funcion temperatura
T = (X - Y).^2;

% Representación 2D
figure;
pcolor(X, Y, T); % representación 2D en colores
shading interp % suavizado del color
colormap(jet)
colorbar;

title('Temperatura T(x,y) = (x - y)^2 sobre el arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
axis equal % mantiene proporciones reales
hold on

%% Contorno negro del arco
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

% Borde interior
plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Borde exterior
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Radio izquierdo
plot([1 2]*cos(0), [1 2]*sin(0), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Radio derecho
plot([1 2]*cos(pi), [1 2]*sin(pi), 'k-', 'LineWidth', 1);

hold off
}}

== Gradiente de temperatura ==
===Cálculo del gradiente===
El gradiente de una función escalar (∇f) es un campo vectorial cuyas componentes son las derivadas parciales de la función. Geométricamente, el vector gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función y es ortogonal a sus curvas de nivel.

La fórmula para calcularlo es:

∇f(x,y) = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y )

Como la temperatura viene dada por la siguiente fórmula:

T(x, y) = (x - y)²

El gradiente de temperatura será:

∇T = (2(x - y), -2(x - y))
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Gradiente apartado 3.png|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Representación del gradiente
clc; clear; close all;

% Dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;

[Rho, Theta] = meshgrid(linspace(rho_min, rho_max, 100), ...
linspace(th_min, th_max, 200));

% Convertimos a Cartesianas
X = Rho .* cos(Theta);
Y = Rho .* sin(Theta);

%% 2. Definición de Temperatura y Gradiente
% Temperatura T = (x - y)^2
T_val = (X - Y).^2;

% Cálculo del gradiente
Grad_X = 2 .* (X - Y);
Grad_Y = -2 .* (X - Y);

% Representación gráfica
figure('Name', 'Trabajo M - Pregunta 3 (Estilo Suave)', 'Color', 'w');
hold on;

contourf(X, Y, T_val, 50, 'LineStyle', 'none');

% Creamos la gráfica
N = 256;
r = linspace(0.2, 1, N)';
g = linspace(0.5, 1, N)';
b = linspace(1, 0, N)';
mi_mapa = [r, g, b]; % Matriz de colores

colormap(mi_mapa);
c = colorbar;
c.Label.String = 'Temperatura T = (x-y)^2';

% Cantida de flechas
step_r = 8; % Salta cada 8 puntos en el radio
step_t = 12; % Salta cada 12 puntos en el ángulo

idx_r = 1:step_r:size(X,1);
idx_t = 1:step_t:size(X,2);

% Dibujo flechas
quiver(X(idx_r, idx_t), Y(idx_r, idx_t), ...
Grad_X(idx_r, idx_t), Grad_Y(idx_r, idx_t), ...
'k', ... % Color negro flechas
'LineWidth', 1.0, ... % Grosor flechas
'AutoScaleFactor', 0.8); % Tamaño flechas

axis equal;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]); % Márgenes
title('Gradiente sobre T');
xlabel('x'); ylabel('y');

box on;
hold off;
}}
== Campo de Vectores ==
El campo vectorial viene dado por la siguiente fórmula:
<div style="text-align:center;">
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}</math>
</div>

=== código ===
[[Archivo:apartado.4.png|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

%% --- 1. Definir el mallado polar del sólido ---
h = 0.1;
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Convertir la malla a cartesianas (puntos del sólido)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% --- 2. Definir el campo vectorial u en e_theta ---
U_theta = (1/5) * (R - 1) .* R.^2 .* sin(Th);

% Componentes de los vectores unitarios e_theta en cartesianas
e_th_x = -sin(Th);
e_th_y = cos(Th);

% Convertir el campo a componentes cartesianas
U_x = U_theta .* e_th_x;
U_y = U_theta .* e_th_y;

%% --- 3. Dibujar SOLO el campo vectorial u en los puntos de la malla ---
figure;
hold on;
axis equal;
grid off;
set(gcf,'Color','w');

% Dibujar las flechas del campo vectorial u
quiver(X, Y, U_x, U_y, 'b', 'LineWidth', 1.2, 'MaxHeadSize', 0.6);

%% --- 4. Dibujar el borde del sólido con UNA línea negra ---
% Lado 1: arco exterior
plot(rho_max*cos(theta_vec), rho_max*sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 2: arco interior
plot(rho_min*cos(theta_vec), rho_min*sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 3: cierre izquierdo (theta = pi)
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 4: cierre derecho (theta = 0)
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'k', 'LineWidth', 2);

title('Campo \vec u sobre la malla del sólido (bordeado en negro)');
xlabel('x'); ylabel('y');
hold off;
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

===Código===
[[Archivo:grafica_1.png|500px|thumb|right|Gráfica 1]]
[[Archivo:Grafica_2.png|500px|thumb|right|Gráfica 2]]
[[Archivo:apartado.5.png|500px|thumb|right|Gráfica 3]]
{{matlab|codigo=
%% Visualización de Deformación (Azul vs Rojo)
clear; clc; close all;
% --- 1. DATOS Y CÁLCULOS ---
rho_vec = 1:0.1:2;

% EL CAMBIO ESTÁ AQUÍ:

theta_vec = [0:0.1:pi, pi];

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posición Inicial
X_ini = R .* cos(Th);
Y_ini = R .* sin(Th);

% Desplazamiento u (Trabajo M)
u_rho = zeros(size(R));
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* (R.^2) .* sin(Th);

UX = u_rho .* cos(Th) - u_theta .* sin(Th);
UY = u_rho .* sin(Th) + u_theta .* cos(Th);

% Posición Final
X_fin = X_ini + UX;
Y_fin = Y_ini + UY;

% --- GENERACIÓN DE LAS GRÁFICAS ---

% GRÁFICA 1: Posición Inicial
figure(1); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('1. Posición Inicial (Sin deformar)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 2: Posición Final
figure(2); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('2. Posición Final (Deformada)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 3: Superposición (AZUL vs ROJO)
figure(3); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('3. Comparativa: Inicial vs Final');
xlabel('x'); ylabel('y');

% A) Inicial: AZUL
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);

% B) Final: ROJO
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1.2);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1.2);

% --- Función para bordes ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end
}}

==Divergencia==
[[Archivo:apartado.6.png|500px|thumb|right|Divergencia]]
===Definición de la divergencia===
La divergencia de un campo vectorial <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en un punto dado es una medida de la tasa a la que el flujo del campo se está expandiendo (saliendo) o contrayendo (entrando) en ese punto.

Es un valor escalar que te dice qué tan fuerte es una fuente o un sumidero de flujo en ese lugar. Para calcular la divergencia en coordenadas cilíndricas se utiliza la siguiente fórmula:

<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho U_{\rho}) + \frac{\partial U_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial}{\partial z}(\rho U_{z}) \right]</math>

Reemplazando los valores del campo en las posiciones de U, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla \cdot \vec{U}
= \frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial \rho}(0)
+ \frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\right)
+ \frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]</math>

El resultado final de la divergencia es el siguiente:

<math>\nabla \cdot \vec{U}
= \frac{1}{5}(\rho - 1)\,\rho\,\cos\theta</math>

===Código y representación===
{{matlab|codigo=
%% DIVERGENCIA

clear; clc; close all;

% 1. Geometría
rho_vec = 1:0.05:2;
theta_vec = [0:0.05:pi, pi];
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Paso a cartesianas solo para pintar (X, Y)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% 2. Cálculo de la Divergencia
% Fórmula: (1/5) * (rho^2 - rho) * cos(theta)
Div = (1/5) * (R.^2 - R) .* cos(Th);

% 3. Visualización
figure(7); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Divergencia: Expansión y Compresión');
xlabel('x'); ylabel('y');

% mapa de colores
[C, h] = contourf(X, Y, Div, 30, 'LineStyle', 'none');

% Barra de color
cb = colorbar;
ylabel(cb, 'Cambio de Volumen');

% borde negro
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);

% Definimos un mapa de colores "Divergente" (Rojo-Azul)
%Azul para compresión, Rojo para expansión
colormap(redbluecmap);

axis([-2.5 2.5 0 2.5]);
grid off;

% --- Función Borde ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end

}}

== Rotacional ==
El rotacional de un campo vectorial <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> mide cuánto y en qué dirección tiende a girar el campo, es decir, si el campo hace que una partícula colocada en él empiece a rotar. Si el rotacional es distinto de 0 entonces la partícula rotará, en cambio si el rotacional es igual a 0 entonces la partícula no rotará.
=== Código ===
[[Archivo:apartado.7.png|500px|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Parámetros del sólido (anillo semicircular)
h = 0.02;
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% Magnitud del rotacional
curl_z = (1/5) .* R .* (4.*R - 3) .* sin(Th);
curl_abs = abs(curl_z);

% --- Visualización ---
figure;
hold on; axis equal; grid off;
set(gcf,'Color','w');

contourf(X, Y, curl_abs, 30, 'LineStyle','none');
colorbar;
colormap(parula);

title('|∇×u| en el sólido');
xlabel('x'); ylabel('y');

% --- Marcar máximo explícitamente en (0,2) ---
xmax = 0;
ymax = 2;
plot(xmax, ymax, 'r*', 'MarkerSize', 14, 'LineWidth', 2);
text(xmax+0.05, ymax, ' Máximo rotacional (0,2)', 'Color','r','FontSize',10);

hold off;
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math>\vec{e}_{\rho}</math> ==
[[Archivo:apartado_9.jpg|500px|thumb|right|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
%% TENSIONES TANGENCIALES
clear; clc; close all;

% --- 1. GEOMETRÍA ---
rho_vec = 1:0.01:2;
theta_vec = 0:0.01:pi;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% --- 2. CÁLCULO DE LA TENSIÓN ---
Tau = (1/5) * (2*R.^2 - R) .* sin(Th);
Tau_Mag = abs(Tau);

% --- 3. VISUALIZACIÓN ---
figure(9); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Tensión tangencial');
xlabel('x'); ylabel('y');

contourf(X, Y, Tau_Mag, 50, 'LineStyle', 'none');
c = colorbar;
ylabel(c,'Esfuerzo de Corte (Pa)');

% --- 4. Colormap amplio AZUL → ROJO (256 tonos) ---
n = 256;
azul = [0 0 1]; % azul puro
rojo = [1 0 0]; % rojo puro
cmap = [linspace(azul(1), rojo(1), n)', ...
linspace(azul(2), rojo(2), n)', ...
linspace(azul(3), rojo(3), n)'];
colormap(cmap);

% --- 5. Bordes exteriores en negro ---
t_border = 0:0.001:pi;
plot(2*cos(t_border),2*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot(1*cos(t_border),1*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot([-2,-1],[0,0],'k','LineWidth',2);
plot([1,2],[0,0],'k','LineWidth',2);

% --- 6. Punto de máxima tensión ---
max_val = max(Tau_Mag(:));
[fr, fc] = find(Tau_Mag == max_val, 1);
plot(X(fr,fc),Y(fr,fc),'wx','LineWidth',2,'MarkerSize',10);
text(X(fr,fc),Y(fr,fc)+0.1,'Máx','Color','w','FontWeight','bold');

axis([-2.2 2.2 0 2.2]);
grid off;
hold off;

}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math>\frac{1}{\rho} \vec{e}_{\theta}</math> ==
[[Archivo:apartado.10.png|500px|thumb|right|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

%% --- 1. Mallado polar del sólido (corona semicircular) ---
h = 0.02; % paso fino
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Conversión a cartesianas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% --- 2. Campo u = u_theta * e_theta ---
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* R.^2 .* sin(Th);

% Cálculo del rotacional (componente z en 2D, analítico)
curl_z = (1/5) .* R .* (4.*R - 3) .* sin(Th);
curl_abs = abs(curl_z);

%% --- 3. Gráfica del rotacional (sin flechas) ---
figure;
hold on;
axis equal;
grid off;
set(gcf,'Color','w');

% Mapa de calor del rotacional
contourf(X, Y, curl_abs, 40, 'LineStyle','none');
colorbar;
clim([0 2]); % forzamos rango para que el máximo destaque bien
colormap turbo;

title('Tension tangencial apartado 10');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Borde del sólido
plot(rho_max*cos(theta_vec), rho_max*sin(theta_vec), 'k','LineWidth',1.8);
plot(rho_min*cos(theta_vec), rho_min*sin(theta_vec), 'k','LineWidth',1.8);
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k','LineWidth',1.8);
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k','LineWidth',1.8);

% Marcar punto de máximo explícitamente en (0,2) en blanco
xmax = 0;
ymax = 2;
plot(xmax, ymax, 'w*', 'MarkerSize', 15, 'LineWidth', 2);
text(xmax+0.05, ymax-0.1, ' Máximo', 'Color','w','FontSize',11,'FontWeight','bold');

hold off;

%% --- 4. Mostrar valor numérico máximo en consola ---
fprintf('Máximo de |∇×u| = %.5g en (0,2)\n', curl_abs(find(X==0 & abs(Y-2)<1e-6, 1)));

disp('El punto con mayor rotacional es (0,2)');
disp('Porque |∇×u| crece con ρ y es máximo cuando sinθ = 1 (θ = π/2) y ρ = 2');
}}

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==
La masa se calcula con la siguiente integral: M = ∫∫ d(ρ, θ) dA

El dominio es [1,2]x[0,pi] y por tanto los límites de integración serán:

Límete de rho: 1 ≤ ρ ≤ 2

Límite de theta: 0 ≤ θ ≤ π

El diferencial de área (Jacobiano) es: dA = ρ dρ dθ

La densidad viene dada por: d(ρ, θ) = 1 + e^(ρ² cos θ)

Por último la masa se calculará de la siguiente manera:

M = ∫(de 0 a π) ∫(de 1 a 2) [1 + e^(ρ² cos θ)] · ρ dρ dθ = 26.26 u²

== Interpretación del trabajo ==

En el Trabajo K se modela una onda transversal en una placa rectangular mediante el campo de desplazamientos:

<math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}\cos(\vec{b}\cdot\vec{r}_0 - c t)</math> con:

<math>\vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>
<math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>
<math>t=0</math>

Esto se puede interpretar como una onda de corte (onda S) que se propaga en un medio elástico, como la corteza terrestre durante un terremoto.
Las ondas S (secundarias o de corte) son ondas transversales, en las que las partículas del material vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

En este caso, la dirección de propagación es la del vector:

<math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>

(eje 𝑦 y) y la vibración es en la dirección:<math>\vec{i}</math>(eje 𝑥 x), lo cual es típico de ondas S con polarización horizontal (onda SH).
Aplicación al Trabajo M (arco entre radios 1 y 2)
En el Trabajo M, el dominio es un sector de arco en coordenadas polares(𝜌,𝜃)(ρ,θ), con:<math>\rho\in[1,2]</math> y el campo de desplazamientos es:

<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_\theta</math>

Este campo representa un desplazamiento puramente tangencial: <math>\vec{e}_\theta</math>

que también corresponde a una onda de corte pero en geometría curvilínea.
En sismología, las ondas S pueden viajar a lo largo de estructuras curvas en la corteza, como capas geológicas curvadas o interfaces entre materiales.

El factor:<math>(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta</math> indica que el desplazamiento es máximo en la parte exterior del arco: <math>\rho = 2</math> y varía sinusoidalmente con:<math>\theta</math> lo que podría modelar una onda estacionaria o forzada en una placa curvada.

Relación con la temperatura

En ambos trabajos se incluye un campo de temperatura: <math>T(x,y)=(x-y)^2</math> que en el Trabajo M debe expresarse en coordenadas polares:<math>x=\rho\cos\theta</math>
<math>y=\rho\sin\theta</math>

Sustituyendo: <math>T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2</math>

Esta temperatura podría representar gradientes térmicos en la corteza debidos a fuentes geotérmicas, que afectan a las propiedades elásticas del medio y, por tanto, a la propagación de ondas sísmicas.

Conclusión

El Trabajo M puede interpretarse como el estudio de ondas de corte (S) en una región curvilínea de la corteza terrestre, como un arco de falla o una capa geológica curvada, donde los desplazamientos son transversales a la dirección radial.

La inclusión del campo de temperatura:<math>T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2</math> permite analizar cómo los gradientes térmicos influyen en la deformación y propagación de ondas en estructuras geológicas reales, algo relevante en sismología y geofísica.

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-03T17:38:02Z

Álvaro Villar:

{{ TrabajoED | Arco1. Grupo 59 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Guillermo Pineros Quero
*Ignacio Sueiras Oviedo
*Francisco Yusep Saiz Cebrián
*Álvaro Villar Rosado
*Javier Ruiz Sáenz de Jubera}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
==Introducción==
"En este artículo se examina el proceso de parametrización y mallado de una placa plana 2D con forma de arco circular (anillo), delimitada por un radio interior de 1 y uno exterior de 2. Definimos dos variables físicas sobre esta geometría: la temperatura $T(x,y)$ en coordenadas cartesianas y un vector de desplazamientos $\vec{u}(\rho,\theta)$ en coordenadas cilíndricas. La temperatura se rige por la función $T(x,y)=(x-y)^2$, mientras que los desplazamientos obedecen a:$$\vec{u} = \frac{1}{5} (\rho-1)\rho^2 \cos\theta(\vec{e}_\theta)$$El objetivo principal es formalizar la descripción del dominio y sus funciones para facilitar el análisis numérico mediante discretización. El texto se complementa con códigos de MATLAB, fotografías y representaciones gráficas en cada apartado."
<div style="text-align:center;">
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}</math>
</div>

== Mallado del arco ==
El mallado de un arco consiste en dividir su superficie en puntos organizados, lo que permite describir su geometría y analizar cómo cambian diferentes magnitudes dentro de él.
El arco está comprendido entre los radios de valor 1 y 2, que al pasarlo a coordenadas polares la región estará definida por rho(ρ) y theta(θ) y sus valores [1,2]x[0,π]

=== Representación del mallado ===
[[Archivo:mallado.del.arco.png|500px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Mallado del arco alineado

% Elegimos divisiones que garanticen que:
% θ = 0, pi/2, pi están incluidos
% r incluye exactamente 1 y 2

theta = linspace(0, pi, 20); % mallado moderado, incluye 0, pi/2 y pi
r = linspace(1, 2, 15); % radios exactos 1 y 2

[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

figure;
hold on;

col = [0.3 0.6 1]; % azul clarito

% Mallado tipo red (más grueso)
plot(X, Y, 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en theta
plot(X', Y', 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en r

% Contornos superior interior y exterior
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);

% Bases
plot([-1 -2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base izquierda
plot([ 1 2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base derecha

% Ajustes
axis equal
grid on
title('Mallado del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
hold off;
}}

== Temperatura en el arco ==
La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos
que están a distancia 1 del origen. La función es: '''<big>𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)<sup>2</sup></big>'''

=== Código ===
[[Archivo:funciontemperatura.png|500px|thumb|right|Representación de la temperatura en el arco]]
{{matlab|codigo=
% Mallado del arco
theta = linspace(0, pi, 200); % más denso para curva suave
r = linspace(1, 2, 200); % radio interior 1, exterior 2
[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

% Funcion temperatura
T = (X - Y).^2;

% Representación 2D
figure;
pcolor(X, Y, T); % representación 2D en colores
shading interp % suavizado del color
colormap(jet)
colorbar;

title('Temperatura T(x,y) = (x - y)^2 sobre el arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
axis equal % mantiene proporciones reales
hold on

%% Contorno negro del arco
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

% Borde interior
plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Borde exterior
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Radio izquierdo
plot([1 2]*cos(0), [1 2]*sin(0), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Radio derecho
plot([1 2]*cos(pi), [1 2]*sin(pi), 'k-', 'LineWidth', 1);

hold off
}}

== Gradiente de temperatura ==
===Cálculo del gradiente===
El gradiente de una función escalar (∇f) es un campo vectorial cuyas componentes son las derivadas parciales de la función. Geométricamente, el vector gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función y es ortogonal a sus curvas de nivel.

La fórmula para calcularlo es:

∇f(x,y) = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y )

Como la temperatura viene dada por la siguiente fórmula:

T(x, y) = (x - y)²

El gradiente de temperatura será:

∇T = (2(x - y), -2(x - y))
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Gradiente apartado 3.png|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Representación del gradiente
clc; clear; close all;

% Dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;

[Rho, Theta] = meshgrid(linspace(rho_min, rho_max, 100), ...
linspace(th_min, th_max, 200));

% Convertimos a Cartesianas
X = Rho .* cos(Theta);
Y = Rho .* sin(Theta);

%% 2. Definición de Temperatura y Gradiente
% Temperatura T = (x - y)^2
T_val = (X - Y).^2;

% Cálculo del gradiente
Grad_X = 2 .* (X - Y);
Grad_Y = -2 .* (X - Y);

% Representación gráfica
figure('Name', 'Trabajo M - Pregunta 3 (Estilo Suave)', 'Color', 'w');
hold on;

contourf(X, Y, T_val, 50, 'LineStyle', 'none');

% Creamos la gráfica
N = 256;
r = linspace(0.2, 1, N)';
g = linspace(0.5, 1, N)';
b = linspace(1, 0, N)';
mi_mapa = [r, g, b]; % Matriz de colores

colormap(mi_mapa);
c = colorbar;
c.Label.String = 'Temperatura T = (x-y)^2';

% Cantida de flechas
step_r = 8; % Salta cada 8 puntos en el radio
step_t = 12; % Salta cada 12 puntos en el ángulo

idx_r = 1:step_r:size(X,1);
idx_t = 1:step_t:size(X,2);

% Dibujo flechas
quiver(X(idx_r, idx_t), Y(idx_r, idx_t), ...
Grad_X(idx_r, idx_t), Grad_Y(idx_r, idx_t), ...
'k', ... % Color negro flechas
'LineWidth', 1.0, ... % Grosor flechas
'AutoScaleFactor', 0.8); % Tamaño flechas

axis equal;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]); % Márgenes
title('Gradiente sobre T');
xlabel('x'); ylabel('y');

box on;
hold off;
}}
== Campo de Vectores ==
El campo vectorial viene dado por la siguiente fórmula:
<div style="text-align:center;">
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}</math>
</div>

=== código ===
[[Archivo:apartado.4.png|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

%% --- 1. Definir el mallado polar del sólido ---
h = 0.1;
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Convertir la malla a cartesianas (puntos del sólido)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% --- 2. Definir el campo vectorial u en e_theta ---
U_theta = (1/5) * (R - 1) .* R.^2 .* sin(Th);

% Componentes de los vectores unitarios e_theta en cartesianas
e_th_x = -sin(Th);
e_th_y = cos(Th);

% Convertir el campo a componentes cartesianas
U_x = U_theta .* e_th_x;
U_y = U_theta .* e_th_y;

%% --- 3. Dibujar SOLO el campo vectorial u en los puntos de la malla ---
figure;
hold on;
axis equal;
grid off;
set(gcf,'Color','w');

% Dibujar las flechas del campo vectorial u
quiver(X, Y, U_x, U_y, 'b', 'LineWidth', 1.2, 'MaxHeadSize', 0.6);

%% --- 4. Dibujar el borde del sólido con UNA línea negra ---
% Lado 1: arco exterior
plot(rho_max*cos(theta_vec), rho_max*sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 2: arco interior
plot(rho_min*cos(theta_vec), rho_min*sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 3: cierre izquierdo (theta = pi)
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 4: cierre derecho (theta = 0)
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'k', 'LineWidth', 2);

title('Campo \vec u sobre la malla del sólido (bordeado en negro)');
xlabel('x'); ylabel('y');
hold off;
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

===Código===
[[Archivo:grafica_1.png|500px|thumb|right|Gráfica 1]]
[[Archivo:Grafica_2.png|500px|thumb|right|Gráfica 2]]
[[Archivo:apartado.5.png|500px|thumb|right|Gráfica 3]]
{{matlab|codigo=
%% Visualización de Deformación (Azul vs Rojo)
clear; clc; close all;
% --- 1. DATOS Y CÁLCULOS ---
rho_vec = 1:0.1:2;

% EL CAMBIO ESTÁ AQUÍ:

theta_vec = [0:0.1:pi, pi];

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posición Inicial
X_ini = R .* cos(Th);
Y_ini = R .* sin(Th);

% Desplazamiento u (Trabajo M)
u_rho = zeros(size(R));
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* (R.^2) .* sin(Th);

UX = u_rho .* cos(Th) - u_theta .* sin(Th);
UY = u_rho .* sin(Th) + u_theta .* cos(Th);

% Posición Final
X_fin = X_ini + UX;
Y_fin = Y_ini + UY;

% --- GENERACIÓN DE LAS GRÁFICAS ---

% GRÁFICA 1: Posición Inicial
figure(1); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('1. Posición Inicial (Sin deformar)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 2: Posición Final
figure(2); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('2. Posición Final (Deformada)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 3: Superposición (AZUL vs ROJO)
figure(3); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('3. Comparativa: Inicial vs Final');
xlabel('x'); ylabel('y');

% A) Inicial: AZUL
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);

% B) Final: ROJO
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1.2);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1.2);

% --- Función para bordes ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end
}}

==Divergencia==
[[Archivo:apartado.6.png|500px|thumb|right|Divergencia]]
===Definición de la divergencia===
La divergencia de un campo vectorial <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en un punto dado es una medida de la tasa a la que el flujo del campo se está expandiendo (saliendo) o contrayendo (entrando) en ese punto.

Es un valor escalar que te dice qué tan fuerte es una fuente o un sumidero de flujo en ese lugar. Para calcular la divergencia en coordenadas cilíndricas se utiliza la siguiente fórmula:

<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho U_{\rho}) + \frac{\partial U_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial}{\partial z}(\rho U_{z}) \right]</math>

Reemplazando los valores del campo en las posiciones de U, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla \cdot \vec{U}
= \frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial \rho}(0)
+ \frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\right)
+ \frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]</math>

El resultado final de la divergencia es el siguiente:

<math>\nabla \cdot \vec{U}
= \frac{1}{5}(\rho - 1)\,\rho\,\cos\theta</math>

===Código y representación===
{{matlab|codigo=
%% DIVERGENCIA

clear; clc; close all;

% 1. Geometría
rho_vec = 1:0.05:2;
theta_vec = [0:0.05:pi, pi];
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Paso a cartesianas solo para pintar (X, Y)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% 2. Cálculo de la Divergencia
% Fórmula: (1/5) * (rho^2 - rho) * cos(theta)
Div = (1/5) * (R.^2 - R) .* cos(Th);

% 3. Visualización
figure(7); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Divergencia: Expansión y Compresión');
xlabel('x'); ylabel('y');

% mapa de colores
[C, h] = contourf(X, Y, Div, 30, 'LineStyle', 'none');

% Barra de color
cb = colorbar;
ylabel(cb, 'Cambio de Volumen');

% borde negro
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);

% Definimos un mapa de colores "Divergente" (Rojo-Azul)
%Azul para compresión, Rojo para expansión
colormap(redbluecmap);

axis([-2.5 2.5 0 2.5]);
grid off;

% --- Función Borde ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end

}}

== Rotacional ==
El rotacional de un campo vectorial <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> mide cuánto y en qué dirección tiende a girar el campo, es decir, si el campo hace que una partícula colocada en él empiece a rotar. Si el rotacional es distinto de 0 entonces la partícula rotará, en cambio si el rotacional es igual a 0 entonces la partícula no rotará.
=== Código ===
[[Archivo:apartado.7.png|500px|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Parámetros del sólido (anillo semicircular)
h = 0.02;
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% Magnitud del rotacional
curl_z = (1/5) .* R .* (4.*R - 3) .* sin(Th);
curl_abs = abs(curl_z);

% --- Visualización ---
figure;
hold on; axis equal; grid off;
set(gcf,'Color','w');

contourf(X, Y, curl_abs, 30, 'LineStyle','none');
colorbar;
colormap(parula);

title('|∇×u| en el sólido');
xlabel('x'); ylabel('y');

% --- Marcar máximo explícitamente en (0,2) ---
xmax = 0;
ymax = 2;
plot(xmax, ymax, 'r*', 'MarkerSize', 14, 'LineWidth', 2);
text(xmax+0.05, ymax, ' Máximo rotacional (0,2)', 'Color','r','FontSize',10);

hold off;
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math>\vec{e}_{\rho}</math> ==
[[Archivo:apartado_9.jpg|500px|thumb|right|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
%% TENSIONES TANGENCIALES
clear; clc; close all;

% --- 1. GEOMETRÍA ---
rho_vec = 1:0.01:2;
theta_vec = 0:0.01:pi;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% --- 2. CÁLCULO DE LA TENSIÓN ---
Tau = (1/5) * (2*R.^2 - R) .* sin(Th);
Tau_Mag = abs(Tau);

% --- 3. VISUALIZACIÓN ---
figure(9); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Tensión tangencial');
xlabel('x'); ylabel('y');

contourf(X, Y, Tau_Mag, 50, 'LineStyle', 'none');
c = colorbar;
ylabel(c,'Esfuerzo de Corte (Pa)');

% --- 4. Colormap amplio AZUL → ROJO (256 tonos) ---
n = 256;
azul = [0 0 1]; % azul puro
rojo = [1 0 0]; % rojo puro
cmap = [linspace(azul(1), rojo(1), n)', ...
linspace(azul(2), rojo(2), n)', ...
linspace(azul(3), rojo(3), n)'];
colormap(cmap);

% --- 5. Bordes exteriores en negro ---
t_border = 0:0.001:pi;
plot(2*cos(t_border),2*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot(1*cos(t_border),1*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot([-2,-1],[0,0],'k','LineWidth',2);
plot([1,2],[0,0],'k','LineWidth',2);

% --- 6. Punto de máxima tensión ---
max_val = max(Tau_Mag(:));
[fr, fc] = find(Tau_Mag == max_val, 1);
plot(X(fr,fc),Y(fr,fc),'wx','LineWidth',2,'MarkerSize',10);
text(X(fr,fc),Y(fr,fc)+0.1,'Máx','Color','w','FontWeight','bold');

axis([-2.2 2.2 0 2.2]);
grid off;
hold off;

}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math>\frac{1}{\rho} \vec{e}_{\theta}</math> ==
[[Archivo:apartado.10.png|500px|thumb|right|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

%% --- 1. Mallado polar del sólido (corona semicircular) ---
h = 0.02; % paso fino
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Conversión a cartesianas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% --- 2. Campo u = u_theta * e_theta ---
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* R.^2 .* sin(Th);

% Cálculo del rotacional (componente z en 2D, analítico)
curl_z = (1/5) .* R .* (4.*R - 3) .* sin(Th);
curl_abs = abs(curl_z);

%% --- 3. Gráfica del rotacional (sin flechas) ---
figure;
hold on;
axis equal;
grid off;
set(gcf,'Color','w');

% Mapa de calor del rotacional
contourf(X, Y, curl_abs, 40, 'LineStyle','none');
colorbar;
clim([0 2]); % forzamos rango para que el máximo destaque bien
colormap turbo;

title('Tension tangencial apartado 10');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Borde del sólido
plot(rho_max*cos(theta_vec), rho_max*sin(theta_vec), 'k','LineWidth',1.8);
plot(rho_min*cos(theta_vec), rho_min*sin(theta_vec), 'k','LineWidth',1.8);
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k','LineWidth',1.8);
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k','LineWidth',1.8);

% Marcar punto de máximo explícitamente en (0,2) en blanco
xmax = 0;
ymax = 2;
plot(xmax, ymax, 'w*', 'MarkerSize', 15, 'LineWidth', 2);
text(xmax+0.05, ymax-0.1, ' Máximo', 'Color','w','FontSize',11,'FontWeight','bold');

hold off;

%% --- 4. Mostrar valor numérico máximo en consola ---
fprintf('Máximo de |∇×u| = %.5g en (0,2)\n', curl_abs(find(X==0 & abs(Y-2)<1e-6, 1)));

disp('El punto con mayor rotacional es (0,2)');
disp('Porque |∇×u| crece con ρ y es máximo cuando sinθ = 1 (θ = π/2) y ρ = 2');
}}

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==
La masa se calcula con la siguiente integral: M = ∫∫ d(ρ, θ) dA

El dominio es [1,2]x[0,pi] y por tanto los límites de integración serán:

Límete de rho: 1 ≤ ρ ≤ 2

Límite de theta: 0 ≤ θ ≤ π

El diferencial de área (Jacobiano) es: dA = ρ dρ dθ

La densidad viene dada por: d(ρ, θ) = 1 + e^(ρ² cos θ)

Por último la masa se calculará de la siguiente manera:

M = ∫(de 0 a π) ∫(de 1 a 2) [1 + e^(ρ² cos θ)] · ρ dρ dθ = 26.26 u²

== Interpretación del trabajo ==

En el Trabajo K se modela una onda transversal en una placa rectangular mediante el campo de desplazamientos:

<math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}\cos(\vec{b}\cdot\vec{r}_0 - c t)</math> con:

<math>\vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>
<math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>
<math>t=0</math>

Esto se puede interpretar como una onda de corte (onda S) que se propaga en un medio elástico, como la corteza terrestre durante un terremoto.
Las ondas S (secundarias o de corte) son ondas transversales, en las que las partículas del material vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

En este caso, la dirección de propagación es la del vector:

<math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>

(eje 𝑦 y) y la vibración es en la dirección:<math>\vec{i}</math>(eje 𝑥 x), lo cual es típico de ondas S con polarización horizontal (onda SH).
Aplicación al Trabajo M (arco entre radios 1 y 2)
En el Trabajo M, el dominio es un sector de arco en coordenadas polares(𝜌,𝜃)(ρ,θ), con:<math>\rho\in[1,2]</math> y el campo de desplazamientos es:

<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_\theta</math>

Este campo representa un desplazamiento puramente tangencial: <math>\vec{e}_\theta</math>

que también corresponde a una onda de corte pero en geometría curvilínea.
En sismología, las ondas S pueden viajar a lo largo de estructuras curvas en la corteza, como capas geológicas curvadas o interfaces entre materiales.

El factor:<math>(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta</math> indica que el desplazamiento es máximo en la parte exterior del arco: <math>\rho = 2</math> y varía sinusoidalmente con:<math>\theta</math> lo que podría modelar una onda estacionaria o forzada en una placa curvada.

Relación con la temperatura

En ambos trabajos se incluye un campo de temperatura: <math>T(x,y)=(x-y)^2</math> que en el Trabajo M debe expresarse en coordenadas polares:<math>x=\rho\cos\theta</math>
<math>y=\rho\sin\theta</math>

Sustituyendo: <math>T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2</math>

Esta temperatura podría representar gradientes térmicos en la corteza debidos a fuentes geotérmicas, que afectan a las propiedades elásticas del medio y, por tanto, a la propagación de ondas sísmicas.

Conclusión

El Trabajo M puede interpretarse como el estudio de ondas de corte (S) en una región curvilínea de la corteza terrestre, como un arco de falla o una capa geológica curvada, donde los desplazamientos son transversales a la dirección radial.

La inclusión del campo de temperatura:<math>T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2</math> permite analizar cómo los gradientes térmicos influyen en la deformación y propagación de ondas en estructuras geológicas reales, algo relevante en sismología y geofísica.

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-03T17:20:49Z

Álvaro Villar:

{{ TrabajoED | Arco1. Grupo 59 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Guillermo Pineros Quero
*Ignacio Suegras Oviedo
*Francisco Yusep Saiz Cebrián
*Álvaro Villar Rosado
*Javier Ruiz Sáenz de Jubera}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
==Introducción==
u⃗ (ρ,θ)=15(ρ−1)ρ2sinθe⃗ θ
== Mallado del arco ==
El mallado de un arco consiste en dividir su superficie en puntos organizados, lo que permite describir su geometría y analizar cómo cambian diferentes magnitudes dentro de él.
=== Representación del mallado ===
[[Archivo:mallado.del.arco.png|500px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Mallado del arco alineado

% Elegimos divisiones que garanticen que:
% θ = 0, pi/2, pi están incluidos
% r incluye exactamente 1 y 2

theta = linspace(0, pi, 20); % mallado moderado, incluye 0, pi/2 y pi
r = linspace(1, 2, 15); % radios exactos 1 y 2

[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

figure;
hold on;

col = [0.3 0.6 1]; % azul clarito

% Mallado tipo red (más grueso)
plot(X, Y, 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en theta
plot(X', Y', 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en r

% Contornos superior interior y exterior
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);

% Bases
plot([-1 -2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base izquierda
plot([ 1 2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base derecha

% Ajustes
axis equal
grid on
title('Mallado del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
hold off;
}}

== Temperatura en el arco ==
La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos
que están a distancia 1 del origen. La función es: '''<big>𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)<sup>2</sup></big>'''

=== Código ===
[[Archivo:funciontemperatura.png|500px|thumb|right|Representación de la temperatura en el arco]]
{{matlab|codigo=
% Mallado del arco
theta = linspace(0, pi, 200); % más denso para curva suave
r = linspace(1, 2, 200); % radio interior 1, exterior 2
[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

% Funcion temperatura
T = (X - Y).^2;

% Representación 2D
figure;
pcolor(X, Y, T); % representación 2D en colores
shading interp % suavizado del color
colormap(jet)
colorbar;

title('Temperatura T(x,y) = (x - y)^2 sobre el arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
axis equal % mantiene proporciones reales
hold on

%% Contorno negro del arco
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

% Borde interior
plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Borde exterior
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Radio izquierdo
plot([1 2]*cos(0), [1 2]*sin(0), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Radio derecho
plot([1 2]*cos(pi), [1 2]*sin(pi), 'k-', 'LineWidth', 1);

hold off
}}

== Gradiente de temperatura ==
===Cálculo del gradiente===
El gradiente de una función escalar (∇f) es un campo vectorial cuyas componentes son las derivadas parciales de la función. Geométricamente, el vector gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función y es ortogonal a sus curvas de nivel.

La fórmula para calcularlo es:

∇f(x,y) = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y )

Como la temperatura viene dada por la siguiente fórmula:

T(x, y) = (x - y)²

El gradiente de temperatura será:

∇T = (2(x - y), -2(x - y))
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Gradiente apartado 3.png|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Representación del gradiente
clc; clear; close all;

% Dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;

[Rho, Theta] = meshgrid(linspace(rho_min, rho_max, 100), ...
linspace(th_min, th_max, 200));

% Convertimos a Cartesianas
X = Rho .* cos(Theta);
Y = Rho .* sin(Theta);

%% 2. Definición de Temperatura y Gradiente
% Temperatura T = (x - y)^2
T_val = (X - Y).^2;

% Cálculo del gradiente
Grad_X = 2 .* (X - Y);
Grad_Y = -2 .* (X - Y);

% Representación gráfica
figure('Name', 'Trabajo M - Pregunta 3 (Estilo Suave)', 'Color', 'w');
hold on;

contourf(X, Y, T_val, 50, 'LineStyle', 'none');

% Creamos la gráfica
N = 256;
r = linspace(0.2, 1, N)';
g = linspace(0.5, 1, N)';
b = linspace(1, 0, N)';
mi_mapa = [r, g, b]; % Matriz de colores

colormap(mi_mapa);
c = colorbar;
c.Label.String = 'Temperatura T = (x-y)^2';

% Cantida de flechas
step_r = 8; % Salta cada 8 puntos en el radio
step_t = 12; % Salta cada 12 puntos en el ángulo

idx_r = 1:step_r:size(X,1);
idx_t = 1:step_t:size(X,2);

% Dibujo flechas
quiver(X(idx_r, idx_t), Y(idx_r, idx_t), ...
Grad_X(idx_r, idx_t), Grad_Y(idx_r, idx_t), ...
'k', ... % Color negro flechas
'LineWidth', 1.0, ... % Grosor flechas
'AutoScaleFactor', 0.8); % Tamaño flechas

axis equal;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]); % Márgenes
title('Gradiente sobre T');
xlabel('x'); ylabel('y');

box on;
hold off;
}}
== Campo de Vectores ==
El campo vectorial viene dado por la siguiente fórmula:
<div style="text-align:center;">
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}</math>
</div>

=== código ===
[[Archivo:apartado.4.png|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

%% --- 1. Definir el mallado polar del sólido ---
h = 0.1;
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Convertir la malla a cartesianas (puntos del sólido)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% --- 2. Definir el campo vectorial u en e_theta ---
U_theta = (1/5) * (R - 1) .* R.^2 .* sin(Th);

% Componentes de los vectores unitarios e_theta en cartesianas
e_th_x = -sin(Th);
e_th_y = cos(Th);

% Convertir el campo a componentes cartesianas
U_x = U_theta .* e_th_x;
U_y = U_theta .* e_th_y;

%% --- 3. Dibujar SOLO el campo vectorial u en los puntos de la malla ---
figure;
hold on;
axis equal;
grid off;
set(gcf,'Color','w');

% Dibujar las flechas del campo vectorial u
quiver(X, Y, U_x, U_y, 'b', 'LineWidth', 1.2, 'MaxHeadSize', 0.6);

%% --- 4. Dibujar el borde del sólido con UNA línea negra ---
% Lado 1: arco exterior
plot(rho_max*cos(theta_vec), rho_max*sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 2: arco interior
plot(rho_min*cos(theta_vec), rho_min*sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 3: cierre izquierdo (theta = pi)
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 4: cierre derecho (theta = 0)
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'k', 'LineWidth', 2);

title('Campo \vec u sobre la malla del sólido (bordeado en negro)');
xlabel('x'); ylabel('y');
hold off;
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

===Código===
[[Archivo:grafica_1.png|500px|thumb|right|Gráfica 1]]
[[Archivo:Grafica_2.png|500px|thumb|right|Gráfica 2]]
[[Archivo:apartado.5.png|500px|thumb|right|Gráfica 3]]
{{matlab|codigo=
%% Visualización de Deformación (Azul vs Rojo)
clear; clc; close all;
% --- 1. DATOS Y CÁLCULOS ---
rho_vec = 1:0.1:2;

% EL CAMBIO ESTÁ AQUÍ:

theta_vec = [0:0.1:pi, pi];

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posición Inicial
X_ini = R .* cos(Th);
Y_ini = R .* sin(Th);

% Desplazamiento u (Trabajo M)
u_rho = zeros(size(R));
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* (R.^2) .* sin(Th);

UX = u_rho .* cos(Th) - u_theta .* sin(Th);
UY = u_rho .* sin(Th) + u_theta .* cos(Th);

% Posición Final
X_fin = X_ini + UX;
Y_fin = Y_ini + UY;

% --- GENERACIÓN DE LAS GRÁFICAS ---

% GRÁFICA 1: Posición Inicial
figure(1); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('1. Posición Inicial (Sin deformar)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 2: Posición Final
figure(2); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('2. Posición Final (Deformada)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 3: Superposición (AZUL vs ROJO)
figure(3); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('3. Comparativa: Inicial vs Final');
xlabel('x'); ylabel('y');

% A) Inicial: AZUL
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);

% B) Final: ROJO
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1.2);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1.2);

% --- Función para bordes ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end
}}

==Divergencia==
[[Archivo:apartado.6.png|500px|thumb|right|Divergencia]]
===Definición de la divergencia===
La divergencia de un campo vectorial <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en un punto dado es una medida de la tasa a la que el flujo del campo se está expandiendo (saliendo) o contrayendo (entrando) en ese punto.

Es un valor escalar que te dice qué tan fuerte es una fuente o un sumidero de flujo en ese lugar. Para calcular la divergencia en coordenadas cilíndricas se utiliza la siguiente fórmula:

<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho U_{\rho}) + \frac{\partial U_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial}{\partial z}(\rho U_{z}) \right]</math>

Reemplazando los valores del campo en las posiciones de U, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla \cdot \vec{U}
= \frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial \rho}(0)
+ \frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\right)
+ \frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]</math>

El resultado final de la divergencia es el siguiente:

<math>\nabla \cdot \vec{U}
= \frac{1}{5}(\rho - 1)\,\rho\,\cos\theta</math>

===Código y representación===
{{matlab|codigo=
%% DIVERGENCIA

clear; clc; close all;

% 1. Geometría
rho_vec = 1:0.05:2;
theta_vec = [0:0.05:pi, pi];
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Paso a cartesianas solo para pintar (X, Y)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% 2. Cálculo de la Divergencia
% Fórmula: (1/5) * (rho^2 - rho) * cos(theta)
Div = (1/5) * (R.^2 - R) .* cos(Th);

% 3. Visualización
figure(7); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Divergencia: Expansión y Compresión');
xlabel('x'); ylabel('y');

% mapa de colores
[C, h] = contourf(X, Y, Div, 30, 'LineStyle', 'none');

% Barra de color
cb = colorbar;
ylabel(cb, 'Cambio de Volumen');

% borde negro
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);

% Definimos un mapa de colores "Divergente" (Rojo-Azul)
%Azul para compresión, Rojo para expansión
colormap(redbluecmap);

axis([-2.5 2.5 0 2.5]);
grid off;

% --- Función Borde ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end

}}

== Rotacional ==
El rotacional de un campo vectorial mide cuánto y en qué dirección tiende a girar el campo, es decir, si el campo hace que una partícula colocada en él empiece a rotar
=== Código ===
[[Archivo:apartado.7.png|500px|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Parámetros del sólido (anillo semicircular)
h = 0.02;
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% Magnitud del rotacional
curl_z = (1/5) .* R .* (4.*R - 3) .* sin(Th);
curl_abs = abs(curl_z);

% --- Visualización ---
figure;
hold on; axis equal; grid off;
set(gcf,'Color','w');

contourf(X, Y, curl_abs, 30, 'LineStyle','none');
colorbar;
colormap(parula);

title('|∇×u| en el sólido');
xlabel('x'); ylabel('y');

% --- Marcar máximo explícitamente en (0,2) ---
xmax = 0;
ymax = 2;
plot(xmax, ymax, 'r*', 'MarkerSize', 14, 'LineWidth', 2);
text(xmax+0.05, ymax, ' Máximo rotacional (0,2)', 'Color','r','FontSize',10);

hold off;
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math>\vec{e}_{\rho}</math> ==
[[Archivo:apartado_9.jpg|500px|thumb|right|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
%% TENSIONES TANGENCIALES
clear; clc; close all;

% --- 1. GEOMETRÍA ---
rho_vec = 1:0.01:2;
theta_vec = 0:0.01:pi;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% --- 2. CÁLCULO DE LA TENSIÓN ---
Tau = (1/5) * (2*R.^2 - R) .* sin(Th);
Tau_Mag = abs(Tau);

% --- 3. VISUALIZACIÓN ---
figure(9); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Tensión tangencial');
xlabel('x'); ylabel('y');

contourf(X, Y, Tau_Mag, 50, 'LineStyle', 'none');
c = colorbar;
ylabel(c,'Esfuerzo de Corte (Pa)');

% --- 4. Colormap amplio AZUL → ROJO (256 tonos) ---
n = 256;
azul = [0 0 1]; % azul puro
rojo = [1 0 0]; % rojo puro
cmap = [linspace(azul(1), rojo(1), n)', ...
linspace(azul(2), rojo(2), n)', ...
linspace(azul(3), rojo(3), n)'];
colormap(cmap);

% --- 5. Bordes exteriores en negro ---
t_border = 0:0.001:pi;
plot(2*cos(t_border),2*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot(1*cos(t_border),1*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot([-2,-1],[0,0],'k','LineWidth',2);
plot([1,2],[0,0],'k','LineWidth',2);

% --- 6. Punto de máxima tensión ---
max_val = max(Tau_Mag(:));
[fr, fc] = find(Tau_Mag == max_val, 1);
plot(X(fr,fc),Y(fr,fc),'wx','LineWidth',2,'MarkerSize',10);
text(X(fr,fc),Y(fr,fc)+0.1,'Máx','Color','w','FontWeight','bold');

axis([-2.2 2.2 0 2.2]);
grid off;
hold off;

}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math>\frac{1}{\rho} \vec{e}_{\theta}</math> ==
[[Archivo:apartado.10.png|500px|thumb|right|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

%% --- 1. Mallado polar del sólido (corona semicircular) ---
h = 0.02; % paso fino
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Conversión a cartesianas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% --- 2. Campo u = u_theta * e_theta ---
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* R.^2 .* sin(Th);

% Cálculo del rotacional (componente z en 2D, analítico)
curl_z = (1/5) .* R .* (4.*R - 3) .* sin(Th);
curl_abs = abs(curl_z);

%% --- 3. Gráfica del rotacional (sin flechas) ---
figure;
hold on;
axis equal;
grid off;
set(gcf,'Color','w');

% Mapa de calor del rotacional
contourf(X, Y, curl_abs, 40, 'LineStyle','none');
colorbar;
clim([0 2]); % forzamos rango para que el máximo destaque bien
colormap turbo;

title('Tension tangencial apartado 10');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Borde del sólido
plot(rho_max*cos(theta_vec), rho_max*sin(theta_vec), 'k','LineWidth',1.8);
plot(rho_min*cos(theta_vec), rho_min*sin(theta_vec), 'k','LineWidth',1.8);
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k','LineWidth',1.8);
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k','LineWidth',1.8);

% Marcar punto de máximo explícitamente en (0,2) en blanco
xmax = 0;
ymax = 2;
plot(xmax, ymax, 'w*', 'MarkerSize', 15, 'LineWidth', 2);
text(xmax+0.05, ymax-0.1, ' Máximo', 'Color','w','FontSize',11,'FontWeight','bold');

hold off;

%% --- 4. Mostrar valor numérico máximo en consola ---
fprintf('Máximo de |∇×u| = %.5g en (0,2)\n', curl_abs(find(X==0 & abs(Y-2)<1e-6, 1)));

disp('El punto con mayor rotacional es (0,2)');
disp('Porque |∇×u| crece con ρ y es máximo cuando sinθ = 1 (θ = π/2) y ρ = 2');
}}

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==
La masa se calcula con la siguiente integral: M = ∫∫ d(ρ, θ) dA

El dominio es [1,2]x[0,pi] y por tanto los límites de integración serán:

Límete de rho: 1 ≤ ρ ≤ 2

Límite de theta: 0 ≤ θ ≤ π

El diferencial de área (Jacobiano) es: dA = ρ dρ dθ

La densidad viene dada por: d(ρ, θ) = 1 + e^(ρ² cos θ)

Por último la masa se calculará de la siguiente manera:

M = ∫(de 0 a π) ∫(de 1 a 2) [1 + e^(ρ² cos θ)] · ρ dρ dθ = 26.26 u²

== Interpretación del trabajo ==

En el Trabajo K se modela una onda transversal en una placa rectangular mediante el campo de desplazamientos:

<math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}\cos(\vec{b}\cdot\vec{r}_0 - c t)</math> con:

<math>\vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>
<math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>
<math>t=0</math>

Esto se puede interpretar como una onda de corte (onda S) que se propaga en un medio elástico, como la corteza terrestre durante un terremoto.
Las ondas S (secundarias o de corte) son ondas transversales, en las que las partículas del material vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

En este caso, la dirección de propagación es la del vector:
<math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>
(eje 𝑦 y) y la vibración es en la dirección:
<math>\vec{i}</math>
(eje 𝑥 x), lo cual es típico de ondas S con polarización horizontal (onda SH).
Aplicación al Trabajo M (arco entre radios 1 y 2)
En el Trabajo M, el dominio es un sector de arco en coordenadas polares(𝜌,𝜃)(ρ,θ), con:

<math>\rho\in[1,2]</math>

y el campo de desplazamientos es:

<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_\theta</math>

Este campo representa un desplazamiento puramente tangencial:

<math>\vec{e}_\theta</math>

que también corresponde a una onda de corte pero en geometría curvilínea.
En sismología, las ondas S pueden viajar a lo largo de estructuras curvas en la corteza, como capas geológicas curvadas o interfaces entre materiales.
El factor:<math>(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta</math> indica que el desplazamiento es máximo en la parte exterior del arco: <math>\rho = 2</math> y varía sinusoidalmente con:<math>\theta</math> lo que podría modelar una onda estacionaria o forzada en una placa curvada.
Relación con la temperatura
En ambos trabajos se incluye un campo de temperatura: <math>T(x,y)=(x-y)^2</math> que en el Trabajo M debe expresarse en coordenadas polares:<math>x=\rho\cos\theta</math>
<math>y=\rho\sin\theta</math>
Sustituyendo: <math>T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2</math>
Esta temperatura podría representar gradientes térmicos en la corteza debidos a fuentes geotérmicas, que afectan a las propiedades elásticas del medio y, por tanto, a la propagación de ondas sísmicas.

Conclusión

El Trabajo M puede interpretarse como el estudio de ondas de corte (S) en una región curvilínea de la corteza terrestre, como un arco de falla o una capa geológica curvada, donde los desplazamientos son transversales a la dirección radial.
La inclusión del campo de temperatura:<math>T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2</math> permite analizar cómo los gradientes térmicos influyen en la deformación y propagación de ondas en estructuras geológicas reales, algo relevante en sismología y geofísica.

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-03T17:01:16Z

Álvaro Villar:

{{ TrabajoED | Arco1. Grupo 59 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Guillermo Pineros Quero
*Ignacio Sopas Oviedo
*Francisco Yusep Saiz Cebrián
*Álvaro Bellota Rosado
*Javier Ruiz Sáenz de Jubera}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Mallado del arco ==
El mallado de un arco consiste en dividir su superficie en puntos organizados, lo que permite describir su geometría y analizar cómo cambian diferentes magnitudes dentro de él.
=== Representación del mallado ===
[[Archivo:mallado.del.arco.png|500px|thumb|right|]]
{{matlab|codigo=
% Mallado del arco alineado

% Elegimos divisiones que garanticen que:
% θ = 0, pi/2, pi están incluidos
% r incluye exactamente 1 y 2

theta = linspace(0, pi, 20); % mallado moderado, incluye 0, pi/2 y pi
r = linspace(1, 2, 15); % radios exactos 1 y 2

[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

figure;
hold on;

col = [0.3 0.6 1]; % azul clarito

% Mallado tipo red (más grueso)
plot(X, Y, 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en theta
plot(X', Y', 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en r

% Contornos superior interior y exterior
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);

% Bases
plot([-1 -2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base izquierda
plot([ 1 2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base derecha

% Ajustes
axis equal
grid on
title('Mallado del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
hold off;
}}

== Temperatura en el arco ==
La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos
que están a distancia 1 del origen. La función es: '''<big>𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)<sup>2</sup></big>'''

=== Código ===
[[Archivo:funciontemperatura.png|500px|thumb|right|Representación de la temperatura en el arco]]
{{matlab|codigo=
% Mallado del arco
theta = linspace(0, pi, 200); % más denso para curva suave
r = linspace(1, 2, 200); % radio interior 1, exterior 2
[R, TH] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

% Funcion temperatura
T = (X - Y).^2;

% Representación 2D
figure;
pcolor(X, Y, T); % representación 2D en colores
shading interp % suavizado del color
colormap(jet)
colorbar;

title('Temperatura T(x,y) = (x - y)^2 sobre el arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
axis equal % mantiene proporciones reales
hold on

%% Contorno negro del arco
theta_cont = linspace(0, pi, 400);

% Borde interior
plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Borde exterior
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Radio izquierdo
plot([1 2]*cos(0), [1 2]*sin(0), 'k-', 'LineWidth', 1);

% Radio derecho
plot([1 2]*cos(pi), [1 2]*sin(pi), 'k-', 'LineWidth', 1);

hold off
}}

== Gradiente de temperatura ==
===Cálculo del gradiente===
El gradiente de una función escalar (∇f) es un campo vectorial cuyas componentes son las derivadas parciales de la función. Geométricamente, el vector gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función y es ortogonal a sus curvas de nivel.

La fórmula para calcularlo es:

∇f(x,y) = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y )

Como la temperatura viene dada por la siguiente fórmula:

T(x, y) = (x - y)²

El gradiente de temperatura será:

∇T = (2(x - y), -2(x - y))
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Gradiente apartado 3.png|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Representación del gradiente
clc; clear; close all;

% Dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;

[Rho, Theta] = meshgrid(linspace(rho_min, rho_max, 100), ...
linspace(th_min, th_max, 200));

% Convertimos a Cartesianas
X = Rho .* cos(Theta);
Y = Rho .* sin(Theta);

%% 2. Definición de Temperatura y Gradiente
% Temperatura T = (x - y)^2
T_val = (X - Y).^2;

% Cálculo del gradiente
Grad_X = 2 .* (X - Y);
Grad_Y = -2 .* (X - Y);

% Representación gráfica
figure('Name', 'Trabajo M - Pregunta 3 (Estilo Suave)', 'Color', 'w');
hold on;

contourf(X, Y, T_val, 50, 'LineStyle', 'none');

% Creamos la gráfica
N = 256;
r = linspace(0.2, 1, N)';
g = linspace(0.5, 1, N)';
b = linspace(1, 0, N)';
mi_mapa = [r, g, b]; % Matriz de colores

colormap(mi_mapa);
c = colorbar;
c.Label.String = 'Temperatura T = (x-y)^2';

% Cantida de flechas
step_r = 8; % Salta cada 8 puntos en el radio
step_t = 12; % Salta cada 12 puntos en el ángulo

idx_r = 1:step_r:size(X,1);
idx_t = 1:step_t:size(X,2);

% Dibujo flechas
quiver(X(idx_r, idx_t), Y(idx_r, idx_t), ...
Grad_X(idx_r, idx_t), Grad_Y(idx_r, idx_t), ...
'k', ... % Color negro flechas
'LineWidth', 1.0, ... % Grosor flechas
'AutoScaleFactor', 0.8); % Tamaño flechas

axis equal;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]); % Márgenes
title('Gradiente sobre T');
xlabel('x'); ylabel('y');

box on;
hold off;
}}
== Campo de Vectores ==
El campo vectorial viene dado por la siguiente fórmula:
<div style="text-align:center;">
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_{\theta}</math>
</div>

=== código ===
[[Archivo:apartado.4.png|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

%% --- 1. Definir el mallado polar del sólido ---
h = 0.1;
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Convertir la malla a cartesianas (puntos del sólido)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% --- 2. Definir el campo vectorial u en e_theta ---
U_theta = (1/5) * (R - 1) .* R.^2 .* sin(Th);

% Componentes de los vectores unitarios e_theta en cartesianas
e_th_x = -sin(Th);
e_th_y = cos(Th);

% Convertir el campo a componentes cartesianas
U_x = U_theta .* e_th_x;
U_y = U_theta .* e_th_y;

%% --- 3. Dibujar SOLO el campo vectorial u en los puntos de la malla ---
figure;
hold on;
axis equal;
grid off;
set(gcf,'Color','w');

% Dibujar las flechas del campo vectorial u
quiver(X, Y, U_x, U_y, 'b', 'LineWidth', 1.2, 'MaxHeadSize', 0.6);

%% --- 4. Dibujar el borde del sólido con UNA línea negra ---
% Lado 1: arco exterior
plot(rho_max*cos(theta_vec), rho_max*sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 2: arco interior
plot(rho_min*cos(theta_vec), rho_min*sin(theta_vec), 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 3: cierre izquierdo (theta = pi)
plot([rho_min*cos(pi), rho_max*cos(pi)], [rho_min*sin(pi), rho_max*sin(pi)], 'k', 'LineWidth', 2);

% Lado 4: cierre derecho (theta = 0)
plot([rho_min*cos(0), rho_max*cos(0)], [rho_min*sin(0), rho_max*sin(0)], 'k', 'LineWidth', 2);

title('Campo \vec u sobre la malla del sólido (bordeado en negro)');
xlabel('x'); ylabel('y');
hold off;
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

===Código===
[[Archivo:grafica_1.png|500px|thumb|right|Gráfica 1]]
[[Archivo:Grafica_2.png|500px|thumb|right|Gráfica 2]]
[[Archivo:apartado.5.png|500px|thumb|right|Gráfica 3]]
{{matlab|codigo=
%% Visualización de Deformación (Azul vs Rojo)
clear; clc; close all;
% --- 1. DATOS Y CÁLCULOS ---
rho_vec = 1:0.1:2;

% EL CAMBIO ESTÁ AQUÍ:

theta_vec = [0:0.1:pi, pi];

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posición Inicial
X_ini = R .* cos(Th);
Y_ini = R .* sin(Th);

% Desplazamiento u (Trabajo M)
u_rho = zeros(size(R));
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* (R.^2) .* sin(Th);

UX = u_rho .* cos(Th) - u_theta .* sin(Th);
UY = u_rho .* sin(Th) + u_theta .* cos(Th);

% Posición Final
X_fin = X_ini + UX;
Y_fin = Y_ini + UY;

% --- GENERACIÓN DE LAS GRÁFICAS ---

% GRÁFICA 1: Posición Inicial
figure(1); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('1. Posición Inicial (Sin deformar)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 2: Posición Final
figure(2); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('2. Posición Final (Deformada)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;

% GRÁFICA 3: Superposición (AZUL vs ROJO)
figure(3); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('3. Comparativa: Inicial vs Final');
xlabel('x'); ylabel('y');

% A) Inicial: AZUL
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);

% B) Final: ROJO
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1.2);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1.2);

% --- Función para bordes ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end
}}

==Divergencia==
[[Archivo:apartado.6.png|500px|thumb|right|Divergencia]]
===Definición de la divergencia===
La divergencia de un campo vectorial <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en un punto dado es una medida de la tasa a la que el flujo del campo se está expandiendo (saliendo) o contrayendo (entrando) en ese punto.

Es un valor escalar que te dice qué tan fuerte es una fuente o un sumidero de flujo en ese lugar. Para calcular la divergencia en coordenadas cilíndricas se utiliza la siguiente fórmula:

<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho U_{\rho}) + \frac{\partial U_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial}{\partial z}(\rho U_{z}) \right]</math>

Reemplazando los valores del campo en las posiciones de U, obtenemos la siguiente expresión:

<math>\nabla \cdot \vec{U}
= \frac{1}{\rho}\left[
\frac{\partial}{\partial \rho}(0)
+ \frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\right)
+ \frac{\partial}{\partial z}(0)
\right]</math>

El resultado final de la divergencia es el siguiente:

<math>\nabla \cdot \vec{U}
= \frac{1}{5}(\rho - 1)\,\rho\,\cos\theta</math>

===Código y representación===
{{matlab|codigo=
%% DIVERGENCIA

clear; clc; close all;

% 1. Geometría
rho_vec = 1:0.05:2;
theta_vec = [0:0.05:pi, pi];
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Paso a cartesianas solo para pintar (X, Y)
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% 2. Cálculo de la Divergencia
% Fórmula: (1/5) * (rho^2 - rho) * cos(theta)
Div = (1/5) * (R.^2 - R) .* cos(Th);

% 3. Visualización
figure(7); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Divergencia: Expansión y Compresión');
xlabel('x'); ylabel('y');

% mapa de colores
[C, h] = contourf(X, Y, Div, 30, 'LineStyle', 'none');

% Barra de color
cb = colorbar;
ylabel(cb, 'Cambio de Volumen');

% borde negro
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);

% Definimos un mapa de colores "Divergente" (Rojo-Azul)
%Azul para compresión, Rojo para expansión
colormap(redbluecmap);

axis([-2.5 2.5 0 2.5]);
grid off;

% --- Función Borde ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end

}}

== Rotacional ==
[[Archivo:apartado.7.png|500px|thumb|right|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

% Parámetros del sólido (anillo semicircular)
h = 0.02;
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% Magnitud del rotacional
curl_z = (1/5) .* R .* (4.*R - 3) .* sin(Th);
curl_abs = abs(curl_z);

% --- Visualización ---
figure;
hold on; axis equal; grid off;
set(gcf,'Color','w');

contourf(X, Y, curl_abs, 30, 'LineStyle','none');
colorbar;
colormap(parula);

title('|∇×u| en el sólido');
xlabel('x'); ylabel('y');

% --- Marcar máximo explícitamente en (0,2) ---
xmax = 0;
ymax = 2;
plot(xmax, ymax, 'r*', 'MarkerSize', 14, 'LineWidth', 2);
text(xmax+0.05, ymax, ' Máximo rotacional (0,2)', 'Color','r','FontSize',10);

hold off;
}}
== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math>\vec{e}_{\rho}</math> ==
[[Archivo:apartado_9.jpg|500px|thumb|right|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
%% TENSIONES TANGENCIALES
clear; clc; close all;

% --- 1. GEOMETRÍA ---
rho_vec = 1:0.01:2;
theta_vec = 0:0.01:pi;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

% --- 2. CÁLCULO DE LA TENSIÓN ---
Tau = (1/5) * (2*R.^2 - R) .* sin(Th);
Tau_Mag = abs(Tau);

% --- 3. VISUALIZACIÓN ---
figure(9); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Tensión tangencial');
xlabel('x'); ylabel('y');

contourf(X, Y, Tau_Mag, 50, 'LineStyle', 'none');
c = colorbar;
ylabel(c,'Esfuerzo de Corte (Pa)');

% --- 4. Colormap amplio AZUL → ROJO (256 tonos) ---
n = 256;
azul = [0 0 1]; % azul puro
rojo = [1 0 0]; % rojo puro
cmap = [linspace(azul(1), rojo(1), n)', ...
linspace(azul(2), rojo(2), n)', ...
linspace(azul(3), rojo(3), n)'];
colormap(cmap);

% --- 5. Bordes exteriores en negro ---
t_border = 0:0.001:pi;
plot(2*cos(t_border),2*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot(1*cos(t_border),1*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot([-2,-1],[0,0],'k','LineWidth',2);
plot([1,2],[0,0],'k','LineWidth',2);

% --- 6. Punto de máxima tensión ---
max_val = max(Tau_Mag(:));
[fr, fc] = find(Tau_Mag == max_val, 1);
plot(X(fr,fc),Y(fr,fc),'wx','LineWidth',2,'MarkerSize',10);
text(X(fr,fc),Y(fr,fc)+0.1,'Máx','Color','w','FontWeight','bold');

axis([-2.2 2.2 0 2.2]);
grid off;
hold off;

}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math>\frac{1}{\rho} \vec{e}_{\theta}</math> ==
[[Archivo:apartado.10.png|500px|thumb|right|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;

%% --- 1. Mallado polar del sólido (corona semicircular) ---
h = 0.02; % paso fino
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;

rho_vec = rho_min:h:rho_max;
theta_vec = theta_min:h:theta_max;

[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Conversión a cartesianas
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);

%% --- 2. Campo u = u_theta * e_theta ---
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* R.^2 .* sin(Th);

% Cálculo del rotacional (componente z en 2D, analítico)
curl_z = (1/5) .* R .* (4.*R - 3) .* sin(Th);
curl_abs = abs(curl_z);

%% --- 3. Gráfica del rotacional (sin flechas) ---
figure;
hold on;
axis equal;
grid off;
set(gcf,'Color','w');

% Mapa de calor del rotacional
contourf(X, Y, curl_abs, 40, 'LineStyle','none');
colorbar;
clim([0 2]); % forzamos rango para que el máximo destaque bien
colormap turbo;

title('Tension tangencial apartado 10');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Borde del sólido
plot(rho_max*cos(theta_vec), rho_max*sin(theta_vec), 'k','LineWidth',1.8);
plot(rho_min*cos(theta_vec), rho_min*sin(theta_vec), 'k','LineWidth',1.8);
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k','LineWidth',1.8);
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k','LineWidth',1.8);

% Marcar punto de máximo explícitamente en (0,2) en blanco
xmax = 0;
ymax = 2;
plot(xmax, ymax, 'w*', 'MarkerSize', 15, 'LineWidth', 2);
text(xmax+0.05, ymax-0.1, ' Máximo', 'Color','w','FontSize',11,'FontWeight','bold');

hold off;

%% --- 4. Mostrar valor numérico máximo en consola ---
fprintf('Máximo de |∇×u| = %.5g en (0,2)\n', curl_abs(find(X==0 & abs(Y-2)<1e-6, 1)));

disp('El punto con mayor rotacional es (0,2)');
disp('Porque |∇×u| crece con ρ y es máximo cuando sinθ = 1 (θ = π/2) y ρ = 2');
}}

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==
La masa se calcula con la siguiente integral: M = ∫∫ d(ρ, θ) dA

El dominio es [1,2]x[0,pi] y por tanto los límites de integración serán:

Límete de rho: 1 ≤ ρ ≤ 2

Límite de theta: 0 ≤ θ ≤ π

El diferencial de área (Jacobiano) es: dA = ρ dρ dθ

La densidad viene dada por: d(ρ, θ) = 1 + e^(ρ² cos θ)

Por último la masa se calculará de la siguiente manera:

M = ∫(de 0 a π) ∫(de 1 a 2) [1 + e^(ρ² cos θ)] · ρ dρ dθ = 26.26 u²

== Interpretación del trabajo ==

En el Trabajo K se modela una onda transversal en una placa rectangular mediante el campo de desplazamientos:

<math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}\cos(\vec{b}\cdot\vec{r}_0 - c t)</math> con:

<math>\vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>
<math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>
<math>t=0</math>

Esto se puede interpretar como una onda de corte (onda S) que se propaga en un medio elástico, como la corteza terrestre durante un terremoto.
Las ondas S (secundarias o de corte) son ondas transversales, en las que las partículas del material vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.
En este caso, la dirección de propagación es la del vector:
<math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>(eje 𝑦 y) y la vibración es en la dirección:
<math>\vec{i}</math>(eje 𝑥 x), lo cual es típico de ondas S con polarización horizontal (onda SH).
Aplicación al Trabajo M (arco entre radios 1 y 2)
En el Trabajo M, el dominio es un sector de arco en coordenadas polares(𝜌,𝜃)(ρ,θ), con:<math>\rho\in[1,2]</math> y el campo de desplazamientos es:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_\theta</math>

Este campo representa un desplazamiento puramente tangencial:<math>\vec{e}_\theta</math> que también corresponde a una onda de corte pero en geometría curvilínea.
En sismología, las ondas S pueden viajar a lo largo de estructuras curvas en la corteza, como capas geológicas curvadas o interfaces entre materiales.
El factor:<math>(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta</math> indica que el desplazamiento es máximo en la parte exterior del arco: <math>\rho = 2</math> y varía sinusoidalmente con:<math>\theta</math> lo que podría modelar una onda estacionaria o forzada en una placa curvada.
Relación con la temperatura
En ambos trabajos se incluye un campo de temperatura: <math>T(x,y)=(x-y)^2</math> que en el Trabajo M debe expresarse en coordenadas polares:<math>x=\rho\cos\theta</math>
<math>y=\rho\sin\theta</math>
Sustituyendo: <math>T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2</math>
Esta temperatura podría representar gradientes térmicos en la corteza debidos a fuentes geotérmicas, que afectan a las propiedades elásticas del medio y, por tanto, a la propagación de ondas sísmicas.

Conclusión

El Trabajo M puede interpretarse como el estudio de ondas de corte (S) en una región curvilínea de la corteza terrestre, como un arco de falla o una capa geológica curvada, donde los desplazamientos son transversales a la dirección radial.
La inclusión del campo de temperatura:<math>T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2</math> permite analizar cómo los gradientes térmicos influyen en la deformación y propagación de ondas en estructuras geológicas reales, algo relevante en sismología y geofísica.

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T12:24:20Z

Álvaro Villar:

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T12:22:18Z

Álvaro Villar:

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T12:20:56Z

Álvaro Villar: /* Gradiente de temperatura */

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T12:06:30Z

Álvaro Villar: /* apartado 11 */

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T12:05:03Z

Álvaro Villar:

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T11:46:20Z

Álvaro Villar:

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T11:42:27Z

Álvaro Villar:

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T11:40:17Z

Álvaro Villar:

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T10:56:12Z

Álvaro Villar: /* Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento */

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T10:19:55Z

Álvaro Villar:

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T10:17:56Z

Álvaro Villar:

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T10:09:34Z

Álvaro Villar:

Mallado Arco 1 (grupo 59)

2025-12-01T10:05:05Z

Álvaro Villar: /* apartado 3 */