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Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 61)

2025-12-04T09:54:02Z

Álvaro Rodríguez Aparicio.: /* . Rotacional de u */

{{ TrabajoED | Ondas y Campos Vectoriales en un Arco. Grupo 61 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marco Antonio Vives Rocamora Pelayo Álvarez Fernández Álvaro Rodríguez Javier Portabella Javier Sánchez Torres }}

==. Definición del Arco. ==
===. Arco===
La región geométrica que se analiza en este trabajo corresponde a un arco circular, es decir, a una corona comprendida entre dos radios concéntricos. El dominio está limitado por un radio interior igual a 1 y un radio exterior igual a 2, de modo que todos los puntos del arco verifican

<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>

Esta descripción en coordenadas cartesianas puede expresarse de forma más natural mediante coordenadas polares. En dichas coordenadas, la geometría del arco queda caracterizada por los siguientes rangos:

* $\rho \in [1,2]$
* $\theta \in [0,2\pi]$

lo que representa una corona circular completa alrededor del origen.

Sobre este dominio se estudiará el efecto de un campo de desplazamientos aplicado a la superficie del arco. Dicho campo es puramente radial y viene dado por

<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>

Este desplazamiento puede interpretarse como una deformación que separa las circunferencias de radio 1 y 2 sin introducir componente angular. El análisis de este campo permitirá calcular e interpretar magnitudes como el gradiente, la divergencia, el rotacional y las tensiones asociadas al material del arco.

===. Mallado del arco ===
Para poder trabajar numéricamente sobre el arco es necesario discretizarlo, es decir,
construir una malla de puntos en su interior. Partimos de la descripción del dominio en
coordenadas polares:

<math>1 \le \rho \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi</math>

que corresponde a una corona circular completa alrededor del origen.

El mallado se obtiene tomando un número finito de valores igualmente espaciados de
<math>\rho</math> y <math>\theta</math>. A partir de ellos se construye una rejilla en el plano
<math>(\rho,\theta)</math> y, usando el cambio a coordenadas cartesianas:

<math>
x = \rho \cos\theta,\qquad
y = \rho \sin\theta
</math>

se obtienen las coordenadas <math>(x,y)</math> de todos los puntos de la malla. Las líneas de
<math>\rho</math> constante dan lugar a circunferencias, mientras que las líneas de
<math>\theta</math> constante se representan como radios. El resultado es una malla estructurada
formada por curvas radiales y circunferenciales que recubre todo el dominio del arco y que
servirá de base para representar los distintos campos escalares y vectoriales en los apartados
siguientes.

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:malladogreen.png|500px|miniatura|derecha|Representación del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. Temperatura ==
En este apartado se estudia el comportamiento del campo de temperatura definido sobre
el dominio del arco. La temperatura viene dada por la función escalar

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

la cual asigna a cada punto del arco un valor real no negativo. Se trata de un campo escalar
sencillo pero representativo, ya que su variación depende de la distancia a la diagonal
<math>x = y</math>, lo que permite observar cómo cambian las isótemas dentro de un dominio curvilíneo.

El análisis de la temperatura se divide en dos partes. En primer lugar, se representa el campo
mediante un mapa de colores sobre el dominio discretizado, lo que permite visualizar de forma
inmediata las zonas de mayor y menor temperatura. En segundo lugar, se estudian sus valores
extremos dentro del arco, determinando dónde se alcanzan los máximos y mínimos en función de
la geometría del dominio.

Este estudio será esencial para comprender el gradiente de la temperatura en el apartado
siguiente, ya que las zonas donde <math>T</math> crece o decrece más rápidamente estarán directamente
relacionadas con la orientación del vector <math>\nabla T</math>.

===. Representación ===
En este apartado se representa gráficamente el campo de temperatura definido por

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

evaluado sobre la malla construida en el arco. Para cada punto de la rejilla
<math>(x,y)</math>, la función asigna un valor proporcional al cuadrado de la diferencia
entre sus coordenadas. Esto implica que la temperatura es mínima sobre la diagonal
<math>x = y</math> y aumenta conforme los puntos se alejan de dicha línea.

La representación se realiza mediante un mapa de colores sobre el dominio, utilizando la
misma malla generada en el apartado anterior. Este tipo de visualización permite identificar
rápidamente las regiones de temperatura elevada (colores cálidos) y las zonas donde
<math>T</math> es más baja (colores fríos). La variación del campo resulta suave y simétrica
respecto a la recta <math>x = y</math>, lo que facilita su análisis en apartados posteriores.

[[Archivo:Malladotemp.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

<pre>
% Cálculo de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo escalar de temperatura

figure

contourf(xx, yy, T, 40, 'LineColor', 'none') % Mapa suave con 40 niveles

hold on

contour(xx, yy, T, 12, 'k', 'LineWidth', 0.5) % Líneas de contorno finas en negro

colormap(turbo) % Paleta moderna y más limpia

colorbar % Barra lateral

title('Temperatura del arco') % Título de la gráfica

xlabel('x'); ylabel('y') % Etiquetas de los ejes

axis equal % Proporción real

xlim([-3 3]); ylim([-3 3]) % Ventana visual

set(gcf, 'Color', 'w') % Fondo blanco para mejor calidad

</pre>

En la figura anterior se representa el campo de temperatura definido por
T(x,y) = (x - y)^2 sobre el dominio del arco. La distribución térmica depende
directamente de la diferencia entre las coordenadas cartesianas x e y, de modo que
la temperatura se anula en los puntos situados sobre la recta x = y y aumenta
progresivamente conforme los puntos se alejan de dicha diagonal.

En el gráfico puede observarse cómo las zonas próximas a la línea x = y presentan
valores más bajos (colores fríos), mientras que las regiones donde x e y difieren
más muestran temperaturas elevadas (colores cálidos). Las bandas inclinadas que
aparecen en la imagen reflejan esta estructura nivelada de la función, generando
curvas de igual temperatura que atraviesan el arco con una orientación similar.

Esta representación permite identificar con facilidad las regiones en las que la
temperatura varía más rápidamente, información que será fundamental en el apartado
siguiente para estudiar el gradiente de T y su relación con la geometría del dominio.

===. Máximos y mínimos ===
Una vez representado el campo de temperatura, analizamos ahora los puntos del arco
en los que la función

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>

alcanza sus valores extremos. Dado que se trata de una función cuadrática, la temperatura
siempre es no negativa y solamente se anula cuando <math>x = y</math>. Esto permite
identificar de forma inmediata los puntos del dominio donde se alcanza el mínimo absoluto.

Por otra parte, los valores máximos no se encuentran en un punto aislado, sino en las
zonas del arco donde la diferencia entre <math>x</math> e <math>y</math> es mayor dentro del
dominio geométrico estudiado. Para localizarlos con precisión se calcula el valor de la
temperatura en toda la malla y se identifican los puntos que alcanzan el máximo.

[[Archivo:Maxymin.png|500px|miniatura|derecha|Representación del máximo y mínimo de la función temperatura]]

<pre>
% Cálculo de los valores extremos de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

valor_min = min(T(:)); % Mínimo absoluto del campo
valor_max = max(T(:)); % Máximo absoluto del campo

% Localización aproximada de los puntos donde se alcanzan
[idx_min] = find(T == valor_min);
[idx_max] = find(T == valor_max);

puntos_min = [xx(idx_min), yy(idx_min)]; % Coordenadas donde T es mínima
puntos_max = [xx(idx_max), yy(idx_max)]; % Coordenadas donde T es máxima

% Representación gráfica
figure
contourf(xx, yy, T, 30) % Mapa de temperatura
hold on
plot(puntos_min(:,1), puntos_min(:,2), 'wo', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % mínimos
plot(puntos_max(:,1), puntos_max(:,2), 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % máximos
colorbar
title('Máximos y mínimos de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>

En el gráfico se observa que la temperatura mínima se alcanza en los puntos del arco
situados sobre la línea x = y, donde la función T(x,y) se anula. Estos puntos aparecen
marcados en blanco en la figura.

Los valores máximos, representados mediante cruces rojas, se encuentran en las zonas
del arco donde la diferencia |x - y| es mayor. En este caso, los máximos aparecen en la
parte superior izquierda y superior derecha del dominio, coincidiendo con los puntos en
los que la geometría del arco permite un mayor alejamiento entre x e y.

Este estudio proporciona una visión clara de cómo se distribuyen los valores extremos en
el dominio, lo cual será útil en el apartado siguiente para comprender la dirección y
magnitud del gradiente de T.

==. Gradiente de T y curvas de nivel ==
En este apartado se calcula y representa el gradiente de la temperatura asociada al campo

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>.

El gradiente proporciona la dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente
en cada punto del arco y su módulo indica la variación máxima de T en esa dirección.
Dado que se trata de una función diferenciable, el gradiente se obtiene mediante las
derivadas parciales respecto a x e y, evaluadas en todos los nodos de la malla.

La representación vectorial del gradiente permite visualizar la orientación de las zonas
donde la temperatura crece de forma más acusada, lo cual resulta fundamental para
interpretar la distribución térmica del dominio.

[[Archivo:Gradientetempfinas.png|500px|miniaturadeimagen|Representación del gradiente de la temperatura]]

<pre>
% Cálculo del gradiente del campo T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

% Derivadas parciales de T
Tx = 2*(xx - yy); % dT/dx
Ty = -2*(xx - yy); % dT/dy

% Representación del gradiente
figure
quiver(xx, yy, Tx, Ty, 'k') % Flechas negras del gradiente
hold on
contourf(xx, yy, T, 20, 'LineColor', 'none') % Fondo suave con la temperatura
colormap(turbo)
colorbar
title('Gradiente de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>
 

En la figura se observa el campo vectorial del gradiente de T superpuesto al mapa de
temperatura. Las flechas apuntan en la dirección donde la función T aumenta con mayor
rapidez y su orientación coincide con la perpendicular a las curvas de nivel.

Dado que T(x,y) depende únicamente de la diferencia (x - y), los vectores del gradiente
son paralelos entre sí en amplias zonas del dominio y presentan una dirección inclinada,
siempre perpendicular a las bandas de colores observadas en el mapa de temperatura.

La simetría de la función se refleja en la estructura del gradiente, que cambia de sentido
a ambos lados de la recta x = y, donde la temperatura es mínima.

==. Campo de Vectores en el Sólido (u). ==
Tenemos el campo vectorial en coordenadas cilíndricas: <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>.

Vamos a representarlo en los puntos del mallado del sólido.
[[Archivo:Pelayo4.png|500px|miniatura|derecha|Representación del Campo Vectorial en el Mallado del Sólido]]
{{matlab|codigo=
% Defino el paso de muestreo para la rejilla.
% Defino el dominio.
h = 1/10;
r = 1:h:2;

% Calculo el número aproximado de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Vector en el que asigno un ángulo de 0 a pi a cada punto.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho, theta] = meshgrid(r,ang);

% Paso a coordenadas cartesianas para el trazado de las líneas de malla.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Inicio la figura.
% Uso color verde para las radiales y los arcos.
figure;

plot(x,y,'g'); % Rayos.
hold on
plot(x',y','g'); % Arcos.
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Campo Vectorial: u(ρ,θ)=15(ρ−1)ρ eρ');
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y');
grid on

% Cálculo y visualización del campo vectorial.
ri = 1;
re = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20);
rho_vec = linspace(ri, re, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posiciones donde nacerán las mallas.
X = R.*cos(THETA);
Y = R.*sin(THETA);

% Definición del campo en base polar.
U_rho = (1/5)*(R-1).*R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Paso a Cartesianas
U = U_rho.*cos(THETA)-U_theta.*sin(THETA);
V = U_rho.*sin(THETA)+U_theta.*cos(THETA);

% Dibujo de vectores.
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2);

hold off
}}
El campo vectorial, al carecer de componente angular (<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>), es estrictamente radial (los vectores apuntan desde el origen hacia afuera). La ecuación muestra una dependencia respecto a la distancia al origen, a medida que aumenta el radio se produce un crecimiento de la norma de los vectores, siendo nula en el radio interior y máxima en el exterior.

==. Sólido antes y después del desplazamiento ==
Consideramos que el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido.

Dibujo el sólido antes y después del desplazamiento:
[[Archivo:pelayo5.png|600px|miniatura|derecha|Sólido Antes y Después de Aplicarle el Desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
% Paso del mallado.
h = 0.1;

% Defino el dominio radial.
r = 1:h:2;

% Calculo el nº de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Dominio angular.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho,theta] = meshgrid(r,ang);

% Defino la Configuración de Referencia.
% Transformo la geometría original a cartesianas para visualizar.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Cálculo del Campo de Desplazamiento.
% Aplicamos la fórmula sobre la malla radial.
desprad = (1/5).*(rho-1).*rho;

% Proyección del desplazamiento en cartesianas.
despx = desprad.*cos(theta);
despy = desprad.*sin(theta);

% Definición de la Configuración Deformada.
% La posición final es la inicial más el vector desplazamiento.
X = x+despx;
Y = y+despy;

% Visualización de los resultados.
figure('Color','w');

% Límites comunes.
limitesejes=[-3 3 -1 3];

% Panel Superior: Geometría Original.
subplot(1,2,1)
mesh(x,y,0*x); % z=0 para vista 2D.
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Antes de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','g');

% Panel Inferior: Geometría Resultante.
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Después de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
El campo de desplazamiento impuesto provoca que los puntos en el radio interior permanezcan fijos, mientras que los puntos exteriores sufren un desplazamiento progresivo hacia afuera, resultando en una expansión radial del sólido.

==. Divergencia de u ==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene con la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.
(Gráfica + explicación + código)

==. Rotacional de u ==
==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.
(Gráfica + explicación + código)

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente corresponde al tensor de deformaciones, que se describe mediante la siguiente expresión:
 
<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, el campo de desplazamientos permite obtener el tensor de tensiones
σ a través de la relación
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> on los coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas del material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se procede a calcular y representar las tensiones normales asociadas a los ejes <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales es necesario realizar previamente una serie de operaciones. En primer lugar, se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, con lo que se podrá determinar el tensor de identidad:
<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Dado el Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular su gradiente de forma matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
En consecuencia:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
A continuación, se procederá a calcular el tensor de deformaciones de forma matricial.
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

# Elemento de lista numerada
==. Tensiones tangenciales respecto al plano perpendicular a <math>\vec{e}_{\rho}</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Tomando como referencia los datos obtenidos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se llevan a cabo las operaciones necesarias para obtener dichas tensiones tangenciales
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas, ello no implica que no puedan representarse. Lo que no será posible es observar un aumento si nos centramos únicamente en las tangenciales. Por otro lado, las deformaciones generadas en el campo provienen íntegramente de las tensiones normales, y, por tanto, se producen modificaciones en el plano inicial del arco.
[[Archivo:TensTange.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Deform.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Parametros de la malla
h = 0.1;
r = 1:h:2;
v = linspace(0, pi, round(pi/h) + 1);

[rho, theta] = meshgrid(r, v);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);

% Vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

% Tensor de tensiones
SIGMA_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
SIGMA_xy = (3/5) * rho;
SIGMA_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

SIGMA_yx = zeros(size(rho));
SIGMA_yy = zeros(size(rho));
SIGMA_yz = zeros(size(rho));

SIGMA_zx = zeros(size(rho));
SIGMA_zy = zeros(size(rho));
SIGMA_zz = zeros(size(rho));

% Vector de tracción
Tx = SIGMA_xx .* erx + SIGMA_xy .* ery + SIGMA_xz .* erz;
Ty = SIGMA_yx .* erx + SIGMA_yy .* ery + SIGMA_yz .* erz;
Tz = SIGMA_zx .* erx + SIGMA_zy .* ery + SIGMA_zz .* erz;

% Componente normal y tangencial
Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%% ====================== GRÁFICA TANGENCIAL ======================

figure;

% Fondo con mapa de colores
magnitudTt = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2);
contourf(X, Y, magnitudTt, 40, 'LineStyle', 'none');

colormap('spring');
hold on;

% Vector tangencial
quiver(X, Y, Ttx, Tty, 'k', 'LineWidth', 1.1);

axis equal
colorbar
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%% ====================== GRÁFICA DE LA PARTE NORMAL ======================

figure;

surf(X, Y, Tn_scalar, 'EdgeColor', 'none');

colormap('winter');
colorbar
shading interp
title('Mayor deformacion del campo ')
xlabel('x')
ylabel('y')
view(35, 30);
}}

==. Tensiones tangenciales asociadas al plano ortogonal al vector <math> \dfrac{1}{\rho},\vec e_\theta </math>==
En este apartado se determinan las tensiones tangenciales asociadas al plano perpendicular al vector <math> \dfrac{1}{\rho},\vec e_\theta </math>.

La magnitud a evaluar es:

<math> \left\lVert \sigma \cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \;-\; \bigl( \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \;\cdot\; \sigma \;\cdot\; \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \bigr) \;\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right\rVert </math>

El tensor de tensiones considerado es:

<math> \sigma \;=\; \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 2\rho - 1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

El producto doble con la dirección 1𝜌𝑒⃗𝜃ρ1eθ es:

<math> \left( \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right) \;=\; \frac{3}{5}(\rho - 1) </math>

Sustituyendo en la expresión general:

<math> \left\lVert \sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta - \left(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\right) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right\rVert = \left\lVert \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 2\rho - 1 \\ \rho \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\rho} \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{3}{5}(\rho - 1) \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\rho} \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert </math>

Tras simplificar:

<math> \left\lVert \; 0\; \right\rVert = 0 </math>

De forma análoga a lo mostrado en el apartado anterior, la componente tangencial es nula en todos los puntos, por lo que no existen direcciones donde esta sea mayor. La representación gráfica es posible, aunque la magnitud sea cero, y la deformación del campo queda determinada exclusivamente por las tensiones normales.

Representación gráfica de las tensiones tangenciales
[[Archivo:TensionesTangenciales.jpg|500px|miniatura|derecha|Representación de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:DeformacionCampo.jpg|500px|miniatura|derecha|Representación de la deformación del campo]]
{{matlab|codigo=
h = 0.1;
u = 1:h:2;
p = round(pi/h) + 1;
v = linspace(0, pi, p);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

Tx = sigma_xx .* erx;
Ty = sigma_yy .* ery;
Tz = zeros(size(rho));

Tn = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn .* erx;
Tny = Tn .* ery;
Tnz = Tn .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

figure;
surf(xx, yy, Tn);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==. Masa total con densidad: <math>d(\rho,\theta)=1+e^{\rho^{2}\cos\theta}</math> ==
La densidad del material está descrita por la función: <math>d(\rho,\theta)=1+e^{\rho^{2}\cos\theta}</math> donde el dominio que ocupa el arco viene dado por:
<math>(\rho,\theta)\in[1,2]\times[0,\pi]</math>

La expresión integral que define la masa total es:
<math>M=\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}\left(1+e^{\rho^{2}\cos\theta}\right)\rho\; d\rho\, d\theta</math>

En vez de resolver esta integral analíticamente, se procederá a resolver mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
% Cálculo numérico de la masa del arco mediante la regla del trapecio

% Intervalos de integración
a_rho = 1;
b_rho = 2;
a_theta = 0;
b_theta = pi;

% Número de divisiones
nR = 60;
nT = 120;

% Tamaños de paso
dr = (b_rho - a_rho) / nR;
dt = (b_theta - a_theta) / nT;

% Vectores para rho y theta
rho_vals = a_rho + dr*(0:nR);
theta_vals = a_theta + dt*(0:nT);

% Generación del mallado
[RR, TT] = meshgrid(rho_vals, theta_vals);

% Densidad multiplicada por rho (Jacobiano del cambio a polares)
dens = RR .* (1 + exp(RR.^2 .* cos(TT)));

% Pesos trapecio en rho
wR = ones(1, nR+1);
wR([1 end]) = 0.5;

% Pesos trapecio en theta
wT = ones(nT+1, 1);
wT([1 end]) = 0.5;

% Integral doble mediante producto matricial
M_arc = dt * dr * (wT' * dens * wR');

% Resultado
fprintf('Masa aproximada del arco: %.6f\n', M_arc);
}}

==. Ejemplo ingenieril ==
(Breve explicación)

== Código MATLAB completo ==
<pre>
% aquí va todo el código
</pre>

== Bibliografía ==
* Apuntes Teoría de Campos (Moodle)
* Notas sobre curvas planas y superficies regladas

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 61)

2025-12-04T09:53:15Z

Álvaro Rodríguez Aparicio.: /* . Divergencia de u */

{{ TrabajoED | Ondas y Campos Vectoriales en un Arco. Grupo 61 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marco Antonio Vives Rocamora Pelayo Álvarez Fernández Álvaro Rodríguez Javier Portabella Javier Sánchez Torres }}

==. Definición del Arco. ==
===. Arco===
La región geométrica que se analiza en este trabajo corresponde a un arco circular, es decir, a una corona comprendida entre dos radios concéntricos. El dominio está limitado por un radio interior igual a 1 y un radio exterior igual a 2, de modo que todos los puntos del arco verifican

<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>

Esta descripción en coordenadas cartesianas puede expresarse de forma más natural mediante coordenadas polares. En dichas coordenadas, la geometría del arco queda caracterizada por los siguientes rangos:

* $\rho \in [1,2]$
* $\theta \in [0,2\pi]$

lo que representa una corona circular completa alrededor del origen.

Sobre este dominio se estudiará el efecto de un campo de desplazamientos aplicado a la superficie del arco. Dicho campo es puramente radial y viene dado por

<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>

Este desplazamiento puede interpretarse como una deformación que separa las circunferencias de radio 1 y 2 sin introducir componente angular. El análisis de este campo permitirá calcular e interpretar magnitudes como el gradiente, la divergencia, el rotacional y las tensiones asociadas al material del arco.

===. Mallado del arco ===
Para poder trabajar numéricamente sobre el arco es necesario discretizarlo, es decir,
construir una malla de puntos en su interior. Partimos de la descripción del dominio en
coordenadas polares:

<math>1 \le \rho \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi</math>

que corresponde a una corona circular completa alrededor del origen.

El mallado se obtiene tomando un número finito de valores igualmente espaciados de
<math>\rho</math> y <math>\theta</math>. A partir de ellos se construye una rejilla en el plano
<math>(\rho,\theta)</math> y, usando el cambio a coordenadas cartesianas:

<math>
x = \rho \cos\theta,\qquad
y = \rho \sin\theta
</math>

se obtienen las coordenadas <math>(x,y)</math> de todos los puntos de la malla. Las líneas de
<math>\rho</math> constante dan lugar a circunferencias, mientras que las líneas de
<math>\theta</math> constante se representan como radios. El resultado es una malla estructurada
formada por curvas radiales y circunferenciales que recubre todo el dominio del arco y que
servirá de base para representar los distintos campos escalares y vectoriales en los apartados
siguientes.

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:malladogreen.png|500px|miniatura|derecha|Representación del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. Temperatura ==
En este apartado se estudia el comportamiento del campo de temperatura definido sobre
el dominio del arco. La temperatura viene dada por la función escalar

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

la cual asigna a cada punto del arco un valor real no negativo. Se trata de un campo escalar
sencillo pero representativo, ya que su variación depende de la distancia a la diagonal
<math>x = y</math>, lo que permite observar cómo cambian las isótemas dentro de un dominio curvilíneo.

El análisis de la temperatura se divide en dos partes. En primer lugar, se representa el campo
mediante un mapa de colores sobre el dominio discretizado, lo que permite visualizar de forma
inmediata las zonas de mayor y menor temperatura. En segundo lugar, se estudian sus valores
extremos dentro del arco, determinando dónde se alcanzan los máximos y mínimos en función de
la geometría del dominio.

Este estudio será esencial para comprender el gradiente de la temperatura en el apartado
siguiente, ya que las zonas donde <math>T</math> crece o decrece más rápidamente estarán directamente
relacionadas con la orientación del vector <math>\nabla T</math>.

===. Representación ===
En este apartado se representa gráficamente el campo de temperatura definido por

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

evaluado sobre la malla construida en el arco. Para cada punto de la rejilla
<math>(x,y)</math>, la función asigna un valor proporcional al cuadrado de la diferencia
entre sus coordenadas. Esto implica que la temperatura es mínima sobre la diagonal
<math>x = y</math> y aumenta conforme los puntos se alejan de dicha línea.

La representación se realiza mediante un mapa de colores sobre el dominio, utilizando la
misma malla generada en el apartado anterior. Este tipo de visualización permite identificar
rápidamente las regiones de temperatura elevada (colores cálidos) y las zonas donde
<math>T</math> es más baja (colores fríos). La variación del campo resulta suave y simétrica
respecto a la recta <math>x = y</math>, lo que facilita su análisis en apartados posteriores.

[[Archivo:Malladotemp.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

<pre>
% Cálculo de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo escalar de temperatura

figure

contourf(xx, yy, T, 40, 'LineColor', 'none') % Mapa suave con 40 niveles

hold on

contour(xx, yy, T, 12, 'k', 'LineWidth', 0.5) % Líneas de contorno finas en negro

colormap(turbo) % Paleta moderna y más limpia

colorbar % Barra lateral

title('Temperatura del arco') % Título de la gráfica

xlabel('x'); ylabel('y') % Etiquetas de los ejes

axis equal % Proporción real

xlim([-3 3]); ylim([-3 3]) % Ventana visual

set(gcf, 'Color', 'w') % Fondo blanco para mejor calidad

</pre>

En la figura anterior se representa el campo de temperatura definido por
T(x,y) = (x - y)^2 sobre el dominio del arco. La distribución térmica depende
directamente de la diferencia entre las coordenadas cartesianas x e y, de modo que
la temperatura se anula en los puntos situados sobre la recta x = y y aumenta
progresivamente conforme los puntos se alejan de dicha diagonal.

En el gráfico puede observarse cómo las zonas próximas a la línea x = y presentan
valores más bajos (colores fríos), mientras que las regiones donde x e y difieren
más muestran temperaturas elevadas (colores cálidos). Las bandas inclinadas que
aparecen en la imagen reflejan esta estructura nivelada de la función, generando
curvas de igual temperatura que atraviesan el arco con una orientación similar.

Esta representación permite identificar con facilidad las regiones en las que la
temperatura varía más rápidamente, información que será fundamental en el apartado
siguiente para estudiar el gradiente de T y su relación con la geometría del dominio.

===. Máximos y mínimos ===
Una vez representado el campo de temperatura, analizamos ahora los puntos del arco
en los que la función

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>

alcanza sus valores extremos. Dado que se trata de una función cuadrática, la temperatura
siempre es no negativa y solamente se anula cuando <math>x = y</math>. Esto permite
identificar de forma inmediata los puntos del dominio donde se alcanza el mínimo absoluto.

Por otra parte, los valores máximos no se encuentran en un punto aislado, sino en las
zonas del arco donde la diferencia entre <math>x</math> e <math>y</math> es mayor dentro del
dominio geométrico estudiado. Para localizarlos con precisión se calcula el valor de la
temperatura en toda la malla y se identifican los puntos que alcanzan el máximo.

[[Archivo:Maxymin.png|500px|miniatura|derecha|Representación del máximo y mínimo de la función temperatura]]

<pre>
% Cálculo de los valores extremos de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

valor_min = min(T(:)); % Mínimo absoluto del campo
valor_max = max(T(:)); % Máximo absoluto del campo

% Localización aproximada de los puntos donde se alcanzan
[idx_min] = find(T == valor_min);
[idx_max] = find(T == valor_max);

puntos_min = [xx(idx_min), yy(idx_min)]; % Coordenadas donde T es mínima
puntos_max = [xx(idx_max), yy(idx_max)]; % Coordenadas donde T es máxima

% Representación gráfica
figure
contourf(xx, yy, T, 30) % Mapa de temperatura
hold on
plot(puntos_min(:,1), puntos_min(:,2), 'wo', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % mínimos
plot(puntos_max(:,1), puntos_max(:,2), 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % máximos
colorbar
title('Máximos y mínimos de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>

En el gráfico se observa que la temperatura mínima se alcanza en los puntos del arco
situados sobre la línea x = y, donde la función T(x,y) se anula. Estos puntos aparecen
marcados en blanco en la figura.

Los valores máximos, representados mediante cruces rojas, se encuentran en las zonas
del arco donde la diferencia |x - y| es mayor. En este caso, los máximos aparecen en la
parte superior izquierda y superior derecha del dominio, coincidiendo con los puntos en
los que la geometría del arco permite un mayor alejamiento entre x e y.

Este estudio proporciona una visión clara de cómo se distribuyen los valores extremos en
el dominio, lo cual será útil en el apartado siguiente para comprender la dirección y
magnitud del gradiente de T.

==. Gradiente de T y curvas de nivel ==
En este apartado se calcula y representa el gradiente de la temperatura asociada al campo

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>.

El gradiente proporciona la dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente
en cada punto del arco y su módulo indica la variación máxima de T en esa dirección.
Dado que se trata de una función diferenciable, el gradiente se obtiene mediante las
derivadas parciales respecto a x e y, evaluadas en todos los nodos de la malla.

La representación vectorial del gradiente permite visualizar la orientación de las zonas
donde la temperatura crece de forma más acusada, lo cual resulta fundamental para
interpretar la distribución térmica del dominio.

[[Archivo:Gradientetempfinas.png|500px|miniaturadeimagen|Representación del gradiente de la temperatura]]

<pre>
% Cálculo del gradiente del campo T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

% Derivadas parciales de T
Tx = 2*(xx - yy); % dT/dx
Ty = -2*(xx - yy); % dT/dy

% Representación del gradiente
figure
quiver(xx, yy, Tx, Ty, 'k') % Flechas negras del gradiente
hold on
contourf(xx, yy, T, 20, 'LineColor', 'none') % Fondo suave con la temperatura
colormap(turbo)
colorbar
title('Gradiente de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>
 

En la figura se observa el campo vectorial del gradiente de T superpuesto al mapa de
temperatura. Las flechas apuntan en la dirección donde la función T aumenta con mayor
rapidez y su orientación coincide con la perpendicular a las curvas de nivel.

Dado que T(x,y) depende únicamente de la diferencia (x - y), los vectores del gradiente
son paralelos entre sí en amplias zonas del dominio y presentan una dirección inclinada,
siempre perpendicular a las bandas de colores observadas en el mapa de temperatura.

La simetría de la función se refleja en la estructura del gradiente, que cambia de sentido
a ambos lados de la recta x = y, donde la temperatura es mínima.

==. Campo de Vectores en el Sólido (u). ==
Tenemos el campo vectorial en coordenadas cilíndricas: <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>.

Vamos a representarlo en los puntos del mallado del sólido.
[[Archivo:Pelayo4.png|500px|miniatura|derecha|Representación del Campo Vectorial en el Mallado del Sólido]]
{{matlab|codigo=
% Defino el paso de muestreo para la rejilla.
% Defino el dominio.
h = 1/10;
r = 1:h:2;

% Calculo el número aproximado de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Vector en el que asigno un ángulo de 0 a pi a cada punto.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho, theta] = meshgrid(r,ang);

% Paso a coordenadas cartesianas para el trazado de las líneas de malla.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Inicio la figura.
% Uso color verde para las radiales y los arcos.
figure;

plot(x,y,'g'); % Rayos.
hold on
plot(x',y','g'); % Arcos.
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Campo Vectorial: u(ρ,θ)=15(ρ−1)ρ eρ');
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y');
grid on

% Cálculo y visualización del campo vectorial.
ri = 1;
re = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20);
rho_vec = linspace(ri, re, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posiciones donde nacerán las mallas.
X = R.*cos(THETA);
Y = R.*sin(THETA);

% Definición del campo en base polar.
U_rho = (1/5)*(R-1).*R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Paso a Cartesianas
U = U_rho.*cos(THETA)-U_theta.*sin(THETA);
V = U_rho.*sin(THETA)+U_theta.*cos(THETA);

% Dibujo de vectores.
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2);

hold off
}}
El campo vectorial, al carecer de componente angular (<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>), es estrictamente radial (los vectores apuntan desde el origen hacia afuera). La ecuación muestra una dependencia respecto a la distancia al origen, a medida que aumenta el radio se produce un crecimiento de la norma de los vectores, siendo nula en el radio interior y máxima en el exterior.

==. Sólido antes y después del desplazamiento ==
Consideramos que el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido.

Dibujo el sólido antes y después del desplazamiento:
[[Archivo:pelayo5.png|600px|miniatura|derecha|Sólido Antes y Después de Aplicarle el Desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
% Paso del mallado.
h = 0.1;

% Defino el dominio radial.
r = 1:h:2;

% Calculo el nº de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Dominio angular.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho,theta] = meshgrid(r,ang);

% Defino la Configuración de Referencia.
% Transformo la geometría original a cartesianas para visualizar.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Cálculo del Campo de Desplazamiento.
% Aplicamos la fórmula sobre la malla radial.
desprad = (1/5).*(rho-1).*rho;

% Proyección del desplazamiento en cartesianas.
despx = desprad.*cos(theta);
despy = desprad.*sin(theta);

% Definición de la Configuración Deformada.
% La posición final es la inicial más el vector desplazamiento.
X = x+despx;
Y = y+despy;

% Visualización de los resultados.
figure('Color','w');

% Límites comunes.
limitesejes=[-3 3 -1 3];

% Panel Superior: Geometría Original.
subplot(1,2,1)
mesh(x,y,0*x); % z=0 para vista 2D.
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Antes de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','g');

% Panel Inferior: Geometría Resultante.
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Después de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
El campo de desplazamiento impuesto provoca que los puntos en el radio interior permanezcan fijos, mientras que los puntos exteriores sufren un desplazamiento progresivo hacia afuera, resultando en una expansión radial del sólido.

==. Divergencia de u ==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene con la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.
(Gráfica + explicación + código)

==. Rotacional de u ==
(Gráfica + explicación + código)

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente corresponde al tensor de deformaciones, que se describe mediante la siguiente expresión:
 
<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, el campo de desplazamientos permite obtener el tensor de tensiones
σ a través de la relación
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> on los coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas del material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se procede a calcular y representar las tensiones normales asociadas a los ejes <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales es necesario realizar previamente una serie de operaciones. En primer lugar, se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, con lo que se podrá determinar el tensor de identidad:
<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Dado el Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular su gradiente de forma matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
En consecuencia:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
A continuación, se procederá a calcular el tensor de deformaciones de forma matricial.
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

# Elemento de lista numerada
==. Tensiones tangenciales respecto al plano perpendicular a <math>\vec{e}_{\rho}</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Tomando como referencia los datos obtenidos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se llevan a cabo las operaciones necesarias para obtener dichas tensiones tangenciales
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas, ello no implica que no puedan representarse. Lo que no será posible es observar un aumento si nos centramos únicamente en las tangenciales. Por otro lado, las deformaciones generadas en el campo provienen íntegramente de las tensiones normales, y, por tanto, se producen modificaciones en el plano inicial del arco.
[[Archivo:TensTange.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Deform.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Parametros de la malla
h = 0.1;
r = 1:h:2;
v = linspace(0, pi, round(pi/h) + 1);

[rho, theta] = meshgrid(r, v);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);

% Vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

% Tensor de tensiones
SIGMA_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
SIGMA_xy = (3/5) * rho;
SIGMA_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

SIGMA_yx = zeros(size(rho));
SIGMA_yy = zeros(size(rho));
SIGMA_yz = zeros(size(rho));

SIGMA_zx = zeros(size(rho));
SIGMA_zy = zeros(size(rho));
SIGMA_zz = zeros(size(rho));

% Vector de tracción
Tx = SIGMA_xx .* erx + SIGMA_xy .* ery + SIGMA_xz .* erz;
Ty = SIGMA_yx .* erx + SIGMA_yy .* ery + SIGMA_yz .* erz;
Tz = SIGMA_zx .* erx + SIGMA_zy .* ery + SIGMA_zz .* erz;

% Componente normal y tangencial
Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%% ====================== GRÁFICA TANGENCIAL ======================

figure;

% Fondo con mapa de colores
magnitudTt = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2);
contourf(X, Y, magnitudTt, 40, 'LineStyle', 'none');

colormap('spring');
hold on;

% Vector tangencial
quiver(X, Y, Ttx, Tty, 'k', 'LineWidth', 1.1);

axis equal
colorbar
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%% ====================== GRÁFICA DE LA PARTE NORMAL ======================

figure;

surf(X, Y, Tn_scalar, 'EdgeColor', 'none');

colormap('winter');
colorbar
shading interp
title('Mayor deformacion del campo ')
xlabel('x')
ylabel('y')
view(35, 30);
}}

==. Tensiones tangenciales asociadas al plano ortogonal al vector <math> \dfrac{1}{\rho},\vec e_\theta </math>==
En este apartado se determinan las tensiones tangenciales asociadas al plano perpendicular al vector <math> \dfrac{1}{\rho},\vec e_\theta </math>.

La magnitud a evaluar es:

<math> \left\lVert \sigma \cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \;-\; \bigl( \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \;\cdot\; \sigma \;\cdot\; \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \bigr) \;\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right\rVert </math>

El tensor de tensiones considerado es:

<math> \sigma \;=\; \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 2\rho - 1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

El producto doble con la dirección 1𝜌𝑒⃗𝜃ρ1eθ es:

<math> \left( \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right) \;=\; \frac{3}{5}(\rho - 1) </math>

Sustituyendo en la expresión general:

<math> \left\lVert \sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta - \left(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\right) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right\rVert = \left\lVert \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 2\rho - 1 \\ \rho \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\rho} \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{3}{5}(\rho - 1) \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\rho} \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert </math>

Tras simplificar:

<math> \left\lVert \; 0\; \right\rVert = 0 </math>

De forma análoga a lo mostrado en el apartado anterior, la componente tangencial es nula en todos los puntos, por lo que no existen direcciones donde esta sea mayor. La representación gráfica es posible, aunque la magnitud sea cero, y la deformación del campo queda determinada exclusivamente por las tensiones normales.

Representación gráfica de las tensiones tangenciales
[[Archivo:TensionesTangenciales.jpg|500px|miniatura|derecha|Representación de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:DeformacionCampo.jpg|500px|miniatura|derecha|Representación de la deformación del campo]]
{{matlab|codigo=
h = 0.1;
u = 1:h:2;
p = round(pi/h) + 1;
v = linspace(0, pi, p);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

Tx = sigma_xx .* erx;
Ty = sigma_yy .* ery;
Tz = zeros(size(rho));

Tn = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn .* erx;
Tny = Tn .* ery;
Tnz = Tn .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

figure;
surf(xx, yy, Tn);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==. Masa total con densidad dada ==
La densidad del material está descrita por la función: <math>d(\rho,\theta)=1+e^{\rho^{2}\cos\theta}</math> donde el dominio que ocupa el arco viene dado por:
<math>(\rho,\theta)\in[1,2]\times[0,\pi]</math>

La expresión integral que define la masa total es:
<math>M=\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}\left(1+e^{\rho^{2}\cos\theta}\right)\rho\; d\rho\, d\theta</math>

En vez de resolver esta integral analíticamente, se procederá a resolver mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
% Cálculo numérico de la masa del arco mediante la regla del trapecio

% Intervalos de integración
a_rho = 1;
b_rho = 2;
a_theta = 0;
b_theta = pi;

% Número de divisiones
nR = 60;
nT = 120;

% Tamaños de paso
dr = (b_rho - a_rho) / nR;
dt = (b_theta - a_theta) / nT;

% Vectores para rho y theta
rho_vals = a_rho + dr*(0:nR);
theta_vals = a_theta + dt*(0:nT);

% Generación del mallado
[RR, TT] = meshgrid(rho_vals, theta_vals);

% Densidad multiplicada por rho (Jacobiano del cambio a polares)
dens = RR .* (1 + exp(RR.^2 .* cos(TT)));

% Pesos trapecio en rho
wR = ones(1, nR+1);
wR([1 end]) = 0.5;

% Pesos trapecio en theta
wT = ones(nT+1, 1);
wT([1 end]) = 0.5;

% Integral doble mediante producto matricial
M_arc = dt * dr * (wT' * dens * wR');

% Resultado
fprintf('Masa aproximada del arco: %.6f\n', M_arc);
}}

==. Ejemplo ingenieril ==
(Breve explicación)

== Código MATLAB completo ==
<pre>
% aquí va todo el código
</pre>

== Bibliografía ==
* Apuntes Teoría de Campos (Moodle)
* Notas sobre curvas planas y superficies regladas

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 61)

2025-12-04T09:50:09Z

Álvaro Rodríguez Aparicio.: /* . Divergencia de u */

{{ TrabajoED | Ondas y Campos Vectoriales en un Arco. Grupo 61 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marco Antonio Vives Rocamora Pelayo Álvarez Fernández Álvaro Rodríguez Javier Portabella Javier Sánchez Torres }}

==. Definición del Arco. ==
===. Arco===
La región geométrica que se analiza en este trabajo corresponde a un arco circular, es decir, a una corona comprendida entre dos radios concéntricos. El dominio está limitado por un radio interior igual a 1 y un radio exterior igual a 2, de modo que todos los puntos del arco verifican

<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>

Esta descripción en coordenadas cartesianas puede expresarse de forma más natural mediante coordenadas polares. En dichas coordenadas, la geometría del arco queda caracterizada por los siguientes rangos:

* $\rho \in [1,2]$
* $\theta \in [0,2\pi]$

lo que representa una corona circular completa alrededor del origen.

Sobre este dominio se estudiará el efecto de un campo de desplazamientos aplicado a la superficie del arco. Dicho campo es puramente radial y viene dado por

<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>

Este desplazamiento puede interpretarse como una deformación que separa las circunferencias de radio 1 y 2 sin introducir componente angular. El análisis de este campo permitirá calcular e interpretar magnitudes como el gradiente, la divergencia, el rotacional y las tensiones asociadas al material del arco.

===. Mallado del arco ===
Para poder trabajar numéricamente sobre el arco es necesario discretizarlo, es decir,
construir una malla de puntos en su interior. Partimos de la descripción del dominio en
coordenadas polares:

<math>1 \le \rho \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi</math>

que corresponde a una corona circular completa alrededor del origen.

El mallado se obtiene tomando un número finito de valores igualmente espaciados de
<math>\rho</math> y <math>\theta</math>. A partir de ellos se construye una rejilla en el plano
<math>(\rho,\theta)</math> y, usando el cambio a coordenadas cartesianas:

<math>
x = \rho \cos\theta,\qquad
y = \rho \sin\theta
</math>

se obtienen las coordenadas <math>(x,y)</math> de todos los puntos de la malla. Las líneas de
<math>\rho</math> constante dan lugar a circunferencias, mientras que las líneas de
<math>\theta</math> constante se representan como radios. El resultado es una malla estructurada
formada por curvas radiales y circunferenciales que recubre todo el dominio del arco y que
servirá de base para representar los distintos campos escalares y vectoriales en los apartados
siguientes.

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:malladogreen.png|500px|miniatura|derecha|Representación del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. Temperatura ==
En este apartado se estudia el comportamiento del campo de temperatura definido sobre
el dominio del arco. La temperatura viene dada por la función escalar

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

la cual asigna a cada punto del arco un valor real no negativo. Se trata de un campo escalar
sencillo pero representativo, ya que su variación depende de la distancia a la diagonal
<math>x = y</math>, lo que permite observar cómo cambian las isótemas dentro de un dominio curvilíneo.

El análisis de la temperatura se divide en dos partes. En primer lugar, se representa el campo
mediante un mapa de colores sobre el dominio discretizado, lo que permite visualizar de forma
inmediata las zonas de mayor y menor temperatura. En segundo lugar, se estudian sus valores
extremos dentro del arco, determinando dónde se alcanzan los máximos y mínimos en función de
la geometría del dominio.

Este estudio será esencial para comprender el gradiente de la temperatura en el apartado
siguiente, ya que las zonas donde <math>T</math> crece o decrece más rápidamente estarán directamente
relacionadas con la orientación del vector <math>\nabla T</math>.

===. Representación ===
En este apartado se representa gráficamente el campo de temperatura definido por

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

evaluado sobre la malla construida en el arco. Para cada punto de la rejilla
<math>(x,y)</math>, la función asigna un valor proporcional al cuadrado de la diferencia
entre sus coordenadas. Esto implica que la temperatura es mínima sobre la diagonal
<math>x = y</math> y aumenta conforme los puntos se alejan de dicha línea.

La representación se realiza mediante un mapa de colores sobre el dominio, utilizando la
misma malla generada en el apartado anterior. Este tipo de visualización permite identificar
rápidamente las regiones de temperatura elevada (colores cálidos) y las zonas donde
<math>T</math> es más baja (colores fríos). La variación del campo resulta suave y simétrica
respecto a la recta <math>x = y</math>, lo que facilita su análisis en apartados posteriores.

[[Archivo:Malladotemp.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

<pre>
% Cálculo de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo escalar de temperatura

figure

contourf(xx, yy, T, 40, 'LineColor', 'none') % Mapa suave con 40 niveles

hold on

contour(xx, yy, T, 12, 'k', 'LineWidth', 0.5) % Líneas de contorno finas en negro

colormap(turbo) % Paleta moderna y más limpia

colorbar % Barra lateral

title('Temperatura del arco') % Título de la gráfica

xlabel('x'); ylabel('y') % Etiquetas de los ejes

axis equal % Proporción real

xlim([-3 3]); ylim([-3 3]) % Ventana visual

set(gcf, 'Color', 'w') % Fondo blanco para mejor calidad

</pre>

En la figura anterior se representa el campo de temperatura definido por
T(x,y) = (x - y)^2 sobre el dominio del arco. La distribución térmica depende
directamente de la diferencia entre las coordenadas cartesianas x e y, de modo que
la temperatura se anula en los puntos situados sobre la recta x = y y aumenta
progresivamente conforme los puntos se alejan de dicha diagonal.

En el gráfico puede observarse cómo las zonas próximas a la línea x = y presentan
valores más bajos (colores fríos), mientras que las regiones donde x e y difieren
más muestran temperaturas elevadas (colores cálidos). Las bandas inclinadas que
aparecen en la imagen reflejan esta estructura nivelada de la función, generando
curvas de igual temperatura que atraviesan el arco con una orientación similar.

Esta representación permite identificar con facilidad las regiones en las que la
temperatura varía más rápidamente, información que será fundamental en el apartado
siguiente para estudiar el gradiente de T y su relación con la geometría del dominio.

===. Máximos y mínimos ===
Una vez representado el campo de temperatura, analizamos ahora los puntos del arco
en los que la función

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>

alcanza sus valores extremos. Dado que se trata de una función cuadrática, la temperatura
siempre es no negativa y solamente se anula cuando <math>x = y</math>. Esto permite
identificar de forma inmediata los puntos del dominio donde se alcanza el mínimo absoluto.

Por otra parte, los valores máximos no se encuentran en un punto aislado, sino en las
zonas del arco donde la diferencia entre <math>x</math> e <math>y</math> es mayor dentro del
dominio geométrico estudiado. Para localizarlos con precisión se calcula el valor de la
temperatura en toda la malla y se identifican los puntos que alcanzan el máximo.

[[Archivo:Maxymin.png|500px|miniatura|derecha|Representación del máximo y mínimo de la función temperatura]]

<pre>
% Cálculo de los valores extremos de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

valor_min = min(T(:)); % Mínimo absoluto del campo
valor_max = max(T(:)); % Máximo absoluto del campo

% Localización aproximada de los puntos donde se alcanzan
[idx_min] = find(T == valor_min);
[idx_max] = find(T == valor_max);

puntos_min = [xx(idx_min), yy(idx_min)]; % Coordenadas donde T es mínima
puntos_max = [xx(idx_max), yy(idx_max)]; % Coordenadas donde T es máxima

% Representación gráfica
figure
contourf(xx, yy, T, 30) % Mapa de temperatura
hold on
plot(puntos_min(:,1), puntos_min(:,2), 'wo', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % mínimos
plot(puntos_max(:,1), puntos_max(:,2), 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % máximos
colorbar
title('Máximos y mínimos de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>

En el gráfico se observa que la temperatura mínima se alcanza en los puntos del arco
situados sobre la línea x = y, donde la función T(x,y) se anula. Estos puntos aparecen
marcados en blanco en la figura.

Los valores máximos, representados mediante cruces rojas, se encuentran en las zonas
del arco donde la diferencia |x - y| es mayor. En este caso, los máximos aparecen en la
parte superior izquierda y superior derecha del dominio, coincidiendo con los puntos en
los que la geometría del arco permite un mayor alejamiento entre x e y.

Este estudio proporciona una visión clara de cómo se distribuyen los valores extremos en
el dominio, lo cual será útil en el apartado siguiente para comprender la dirección y
magnitud del gradiente de T.

==. Gradiente de T y curvas de nivel ==
En este apartado se calcula y representa el gradiente de la temperatura asociada al campo

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>.

El gradiente proporciona la dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente
en cada punto del arco y su módulo indica la variación máxima de T en esa dirección.
Dado que se trata de una función diferenciable, el gradiente se obtiene mediante las
derivadas parciales respecto a x e y, evaluadas en todos los nodos de la malla.

La representación vectorial del gradiente permite visualizar la orientación de las zonas
donde la temperatura crece de forma más acusada, lo cual resulta fundamental para
interpretar la distribución térmica del dominio.

[[Archivo:Gradientetempfinas.png|500px|miniaturadeimagen|Representación del gradiente de la temperatura]]

<pre>
% Cálculo del gradiente del campo T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

% Derivadas parciales de T
Tx = 2*(xx - yy); % dT/dx
Ty = -2*(xx - yy); % dT/dy

% Representación del gradiente
figure
quiver(xx, yy, Tx, Ty, 'k') % Flechas negras del gradiente
hold on
contourf(xx, yy, T, 20, 'LineColor', 'none') % Fondo suave con la temperatura
colormap(turbo)
colorbar
title('Gradiente de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>
 

En la figura se observa el campo vectorial del gradiente de T superpuesto al mapa de
temperatura. Las flechas apuntan en la dirección donde la función T aumenta con mayor
rapidez y su orientación coincide con la perpendicular a las curvas de nivel.

Dado que T(x,y) depende únicamente de la diferencia (x - y), los vectores del gradiente
son paralelos entre sí en amplias zonas del dominio y presentan una dirección inclinada,
siempre perpendicular a las bandas de colores observadas en el mapa de temperatura.

La simetría de la función se refleja en la estructura del gradiente, que cambia de sentido
a ambos lados de la recta x = y, donde la temperatura es mínima.

==. Campo de Vectores en el Sólido (u). ==
Tenemos el campo vectorial en coordenadas cilíndricas: <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>.

Vamos a representarlo en los puntos del mallado del sólido.
[[Archivo:Pelayo4.png|500px|miniatura|derecha|Representación del Campo Vectorial en el Mallado del Sólido]]
{{matlab|codigo=
% Defino el paso de muestreo para la rejilla.
% Defino el dominio.
h = 1/10;
r = 1:h:2;

% Calculo el número aproximado de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Vector en el que asigno un ángulo de 0 a pi a cada punto.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho, theta] = meshgrid(r,ang);

% Paso a coordenadas cartesianas para el trazado de las líneas de malla.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Inicio la figura.
% Uso color verde para las radiales y los arcos.
figure;

plot(x,y,'g'); % Rayos.
hold on
plot(x',y','g'); % Arcos.
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Campo Vectorial: u(ρ,θ)=15(ρ−1)ρ eρ');
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y');
grid on

% Cálculo y visualización del campo vectorial.
ri = 1;
re = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20);
rho_vec = linspace(ri, re, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posiciones donde nacerán las mallas.
X = R.*cos(THETA);
Y = R.*sin(THETA);

% Definición del campo en base polar.
U_rho = (1/5)*(R-1).*R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Paso a Cartesianas
U = U_rho.*cos(THETA)-U_theta.*sin(THETA);
V = U_rho.*sin(THETA)+U_theta.*cos(THETA);

% Dibujo de vectores.
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2);

hold off
}}
El campo vectorial, al carecer de componente angular (<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>), es estrictamente radial (los vectores apuntan desde el origen hacia afuera). La ecuación muestra una dependencia respecto a la distancia al origen, a medida que aumenta el radio se produce un crecimiento de la norma de los vectores, siendo nula en el radio interior y máxima en el exterior.

==. Sólido antes y después del desplazamiento ==
Consideramos que el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido.

Dibujo el sólido antes y después del desplazamiento:
[[Archivo:pelayo5.png|600px|miniatura|derecha|Sólido Antes y Después de Aplicarle el Desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
% Paso del mallado.
h = 0.1;

% Defino el dominio radial.
r = 1:h:2;

% Calculo el nº de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Dominio angular.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho,theta] = meshgrid(r,ang);

% Defino la Configuración de Referencia.
% Transformo la geometría original a cartesianas para visualizar.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Cálculo del Campo de Desplazamiento.
% Aplicamos la fórmula sobre la malla radial.
desprad = (1/5).*(rho-1).*rho;

% Proyección del desplazamiento en cartesianas.
despx = desprad.*cos(theta);
despy = desprad.*sin(theta);

% Definición de la Configuración Deformada.
% La posición final es la inicial más el vector desplazamiento.
X = x+despx;
Y = y+despy;

% Visualización de los resultados.
figure('Color','w');

% Límites comunes.
limitesejes=[-3 3 -1 3];

% Panel Superior: Geometría Original.
subplot(1,2,1)
mesh(x,y,0*x); % z=0 para vista 2D.
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Antes de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','g');

% Panel Inferior: Geometría Resultante.
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Después de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
El campo de desplazamiento impuesto provoca que los puntos en el radio interior permanezcan fijos, mientras que los puntos exteriores sufren un desplazamiento progresivo hacia afuera, resultando en una expansión radial del sólido.

==. Divergencia de u ==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.
(Gráfica + explicación + código)

==. Rotacional de u ==
(Gráfica + explicación + código)

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente corresponde al tensor de deformaciones, que se describe mediante la siguiente expresión:
 
<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, el campo de desplazamientos permite obtener el tensor de tensiones
σ a través de la relación
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> on los coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas del material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se procede a calcular y representar las tensiones normales asociadas a los ejes <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales es necesario realizar previamente una serie de operaciones. En primer lugar, se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, con lo que se podrá determinar el tensor de identidad:
<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Dado el Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular su gradiente de forma matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
En consecuencia:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
A continuación, se procederá a calcular el tensor de deformaciones de forma matricial.
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

# Elemento de lista numerada
==. Tensiones tangenciales respecto al plano perpendicular a <math>\vec{e}_{\rho}</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Tomando como referencia los datos obtenidos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se llevan a cabo las operaciones necesarias para obtener dichas tensiones tangenciales
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas, ello no implica que no puedan representarse. Lo que no será posible es observar un aumento si nos centramos únicamente en las tangenciales. Por otro lado, las deformaciones generadas en el campo provienen íntegramente de las tensiones normales, y, por tanto, se producen modificaciones en el plano inicial del arco.
[[Archivo:TensTange.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Deform.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Parametros de la malla
h = 0.1;
r = 1:h:2;
v = linspace(0, pi, round(pi/h) + 1);

[rho, theta] = meshgrid(r, v);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);

% Vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

% Tensor de tensiones
SIGMA_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
SIGMA_xy = (3/5) * rho;
SIGMA_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

SIGMA_yx = zeros(size(rho));
SIGMA_yy = zeros(size(rho));
SIGMA_yz = zeros(size(rho));

SIGMA_zx = zeros(size(rho));
SIGMA_zy = zeros(size(rho));
SIGMA_zz = zeros(size(rho));

% Vector de tracción
Tx = SIGMA_xx .* erx + SIGMA_xy .* ery + SIGMA_xz .* erz;
Ty = SIGMA_yx .* erx + SIGMA_yy .* ery + SIGMA_yz .* erz;
Tz = SIGMA_zx .* erx + SIGMA_zy .* ery + SIGMA_zz .* erz;

% Componente normal y tangencial
Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%% ====================== GRÁFICA TANGENCIAL ======================

figure;

% Fondo con mapa de colores
magnitudTt = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2);
contourf(X, Y, magnitudTt, 40, 'LineStyle', 'none');

colormap('spring');
hold on;

% Vector tangencial
quiver(X, Y, Ttx, Tty, 'k', 'LineWidth', 1.1);

axis equal
colorbar
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%% ====================== GRÁFICA DE LA PARTE NORMAL ======================

figure;

surf(X, Y, Tn_scalar, 'EdgeColor', 'none');

colormap('winter');
colorbar
shading interp
title('Mayor deformacion del campo ')
xlabel('x')
ylabel('y')
view(35, 30);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

==. Masa total con densidad dada ==
La densidad del material está descrita por la función: <math>d(\rho,\theta)=1+e^{\rho^{2}\cos\theta}</math> donde el dominio que ocupa el arco viene dado por:
<math>(\rho,\theta)\in[1,2]\times[0,\pi]</math>

La expresión integral que define la masa total es:
<math>M=\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}\left(1+e^{\rho^{2}\cos\theta}\right)\rho\; d\rho\, d\theta</math>

En vez de resolver esta integral analíticamente, se procederá a resolver mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
% Cálculo numérico de la masa del arco mediante la regla del trapecio

% Intervalos de integración
a_rho = 1;
b_rho = 2;
a_theta = 0;
b_theta = pi;

% Número de divisiones
nR = 60;
nT = 120;

% Tamaños de paso
dr = (b_rho - a_rho) / nR;
dt = (b_theta - a_theta) / nT;

% Vectores para rho y theta
rho_vals = a_rho + dr*(0:nR);
theta_vals = a_theta + dt*(0:nT);

% Generación del mallado
[RR, TT] = meshgrid(rho_vals, theta_vals);

% Densidad multiplicada por rho (Jacobiano del cambio a polares)
dens = RR .* (1 + exp(RR.^2 .* cos(TT)));

% Pesos trapecio en rho
wR = ones(1, nR+1);
wR([1 end]) = 0.5;

% Pesos trapecio en theta
wT = ones(nT+1, 1);
wT([1 end]) = 0.5;

% Integral doble mediante producto matricial
M_arc = dt * dr * (wT' * dens * wR');

% Resultado
fprintf('Masa aproximada del arco: %.6f\n', M_arc);
}}

==. Ejemplo ingenieril ==
(Breve explicación)

== Código MATLAB completo ==
<pre>
% aquí va todo el código
</pre>

== Bibliografía ==
* Apuntes Teoría de Campos (Moodle)
* Notas sobre curvas planas y superficies regladas

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 61)

2025-12-04T09:48:33Z

Álvaro Rodríguez Aparicio.: /* . Divergencia de u */

{{ TrabajoED | Ondas y Campos Vectoriales en un Arco. Grupo 61 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marco Antonio Vives Rocamora Pelayo Álvarez Fernández Álvaro Rodríguez Javier Portabella Javier Sánchez Torres }}

==. Definición del Arco. ==
===. Arco===
La región geométrica que se analiza en este trabajo corresponde a un arco circular, es decir, a una corona comprendida entre dos radios concéntricos. El dominio está limitado por un radio interior igual a 1 y un radio exterior igual a 2, de modo que todos los puntos del arco verifican

<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>

Esta descripción en coordenadas cartesianas puede expresarse de forma más natural mediante coordenadas polares. En dichas coordenadas, la geometría del arco queda caracterizada por los siguientes rangos:

* $\rho \in [1,2]$
* $\theta \in [0,2\pi]$

lo que representa una corona circular completa alrededor del origen.

Sobre este dominio se estudiará el efecto de un campo de desplazamientos aplicado a la superficie del arco. Dicho campo es puramente radial y viene dado por

<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>

Este desplazamiento puede interpretarse como una deformación que separa las circunferencias de radio 1 y 2 sin introducir componente angular. El análisis de este campo permitirá calcular e interpretar magnitudes como el gradiente, la divergencia, el rotacional y las tensiones asociadas al material del arco.

===. Mallado del arco ===
Para poder trabajar numéricamente sobre el arco es necesario discretizarlo, es decir,
construir una malla de puntos en su interior. Partimos de la descripción del dominio en
coordenadas polares:

<math>1 \le \rho \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi</math>

que corresponde a una corona circular completa alrededor del origen.

El mallado se obtiene tomando un número finito de valores igualmente espaciados de
<math>\rho</math> y <math>\theta</math>. A partir de ellos se construye una rejilla en el plano
<math>(\rho,\theta)</math> y, usando el cambio a coordenadas cartesianas:

<math>
x = \rho \cos\theta,\qquad
y = \rho \sin\theta
</math>

se obtienen las coordenadas <math>(x,y)</math> de todos los puntos de la malla. Las líneas de
<math>\rho</math> constante dan lugar a circunferencias, mientras que las líneas de
<math>\theta</math> constante se representan como radios. El resultado es una malla estructurada
formada por curvas radiales y circunferenciales que recubre todo el dominio del arco y que
servirá de base para representar los distintos campos escalares y vectoriales en los apartados
siguientes.

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:malladogreen.png|500px|miniatura|derecha|Representación del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. Temperatura ==
En este apartado se estudia el comportamiento del campo de temperatura definido sobre
el dominio del arco. La temperatura viene dada por la función escalar

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

la cual asigna a cada punto del arco un valor real no negativo. Se trata de un campo escalar
sencillo pero representativo, ya que su variación depende de la distancia a la diagonal
<math>x = y</math>, lo que permite observar cómo cambian las isótemas dentro de un dominio curvilíneo.

El análisis de la temperatura se divide en dos partes. En primer lugar, se representa el campo
mediante un mapa de colores sobre el dominio discretizado, lo que permite visualizar de forma
inmediata las zonas de mayor y menor temperatura. En segundo lugar, se estudian sus valores
extremos dentro del arco, determinando dónde se alcanzan los máximos y mínimos en función de
la geometría del dominio.

Este estudio será esencial para comprender el gradiente de la temperatura en el apartado
siguiente, ya que las zonas donde <math>T</math> crece o decrece más rápidamente estarán directamente
relacionadas con la orientación del vector <math>\nabla T</math>.

===. Representación ===
En este apartado se representa gráficamente el campo de temperatura definido por

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

evaluado sobre la malla construida en el arco. Para cada punto de la rejilla
<math>(x,y)</math>, la función asigna un valor proporcional al cuadrado de la diferencia
entre sus coordenadas. Esto implica que la temperatura es mínima sobre la diagonal
<math>x = y</math> y aumenta conforme los puntos se alejan de dicha línea.

La representación se realiza mediante un mapa de colores sobre el dominio, utilizando la
misma malla generada en el apartado anterior. Este tipo de visualización permite identificar
rápidamente las regiones de temperatura elevada (colores cálidos) y las zonas donde
<math>T</math> es más baja (colores fríos). La variación del campo resulta suave y simétrica
respecto a la recta <math>x = y</math>, lo que facilita su análisis en apartados posteriores.

[[Archivo:Malladotemp.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

<pre>
% Cálculo de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo escalar de temperatura

figure

contourf(xx, yy, T, 40, 'LineColor', 'none') % Mapa suave con 40 niveles

hold on

contour(xx, yy, T, 12, 'k', 'LineWidth', 0.5) % Líneas de contorno finas en negro

colormap(turbo) % Paleta moderna y más limpia

colorbar % Barra lateral

title('Temperatura del arco') % Título de la gráfica

xlabel('x'); ylabel('y') % Etiquetas de los ejes

axis equal % Proporción real

xlim([-3 3]); ylim([-3 3]) % Ventana visual

set(gcf, 'Color', 'w') % Fondo blanco para mejor calidad

</pre>

En la figura anterior se representa el campo de temperatura definido por
T(x,y) = (x - y)^2 sobre el dominio del arco. La distribución térmica depende
directamente de la diferencia entre las coordenadas cartesianas x e y, de modo que
la temperatura se anula en los puntos situados sobre la recta x = y y aumenta
progresivamente conforme los puntos se alejan de dicha diagonal.

En el gráfico puede observarse cómo las zonas próximas a la línea x = y presentan
valores más bajos (colores fríos), mientras que las regiones donde x e y difieren
más muestran temperaturas elevadas (colores cálidos). Las bandas inclinadas que
aparecen en la imagen reflejan esta estructura nivelada de la función, generando
curvas de igual temperatura que atraviesan el arco con una orientación similar.

Esta representación permite identificar con facilidad las regiones en las que la
temperatura varía más rápidamente, información que será fundamental en el apartado
siguiente para estudiar el gradiente de T y su relación con la geometría del dominio.

===. Máximos y mínimos ===
Una vez representado el campo de temperatura, analizamos ahora los puntos del arco
en los que la función

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>

alcanza sus valores extremos. Dado que se trata de una función cuadrática, la temperatura
siempre es no negativa y solamente se anula cuando <math>x = y</math>. Esto permite
identificar de forma inmediata los puntos del dominio donde se alcanza el mínimo absoluto.

Por otra parte, los valores máximos no se encuentran en un punto aislado, sino en las
zonas del arco donde la diferencia entre <math>x</math> e <math>y</math> es mayor dentro del
dominio geométrico estudiado. Para localizarlos con precisión se calcula el valor de la
temperatura en toda la malla y se identifican los puntos que alcanzan el máximo.

[[Archivo:Maxymin.png|500px|miniatura|derecha|Representación del máximo y mínimo de la función temperatura]]

<pre>
% Cálculo de los valores extremos de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

valor_min = min(T(:)); % Mínimo absoluto del campo
valor_max = max(T(:)); % Máximo absoluto del campo

% Localización aproximada de los puntos donde se alcanzan
[idx_min] = find(T == valor_min);
[idx_max] = find(T == valor_max);

puntos_min = [xx(idx_min), yy(idx_min)]; % Coordenadas donde T es mínima
puntos_max = [xx(idx_max), yy(idx_max)]; % Coordenadas donde T es máxima

% Representación gráfica
figure
contourf(xx, yy, T, 30) % Mapa de temperatura
hold on
plot(puntos_min(:,1), puntos_min(:,2), 'wo', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % mínimos
plot(puntos_max(:,1), puntos_max(:,2), 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % máximos
colorbar
title('Máximos y mínimos de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>

En el gráfico se observa que la temperatura mínima se alcanza en los puntos del arco
situados sobre la línea x = y, donde la función T(x,y) se anula. Estos puntos aparecen
marcados en blanco en la figura.

Los valores máximos, representados mediante cruces rojas, se encuentran en las zonas
del arco donde la diferencia |x - y| es mayor. En este caso, los máximos aparecen en la
parte superior izquierda y superior derecha del dominio, coincidiendo con los puntos en
los que la geometría del arco permite un mayor alejamiento entre x e y.

Este estudio proporciona una visión clara de cómo se distribuyen los valores extremos en
el dominio, lo cual será útil en el apartado siguiente para comprender la dirección y
magnitud del gradiente de T.

==. Gradiente de T y curvas de nivel ==
En este apartado se calcula y representa el gradiente de la temperatura asociada al campo

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>.

El gradiente proporciona la dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente
en cada punto del arco y su módulo indica la variación máxima de T en esa dirección.
Dado que se trata de una función diferenciable, el gradiente se obtiene mediante las
derivadas parciales respecto a x e y, evaluadas en todos los nodos de la malla.

La representación vectorial del gradiente permite visualizar la orientación de las zonas
donde la temperatura crece de forma más acusada, lo cual resulta fundamental para
interpretar la distribución térmica del dominio.

[[Archivo:Gradientetempfinas.png|500px|miniaturadeimagen|Representación del gradiente de la temperatura]]

<pre>
% Cálculo del gradiente del campo T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

% Derivadas parciales de T
Tx = 2*(xx - yy); % dT/dx
Ty = -2*(xx - yy); % dT/dy

% Representación del gradiente
figure
quiver(xx, yy, Tx, Ty, 'k') % Flechas negras del gradiente
hold on
contourf(xx, yy, T, 20, 'LineColor', 'none') % Fondo suave con la temperatura
colormap(turbo)
colorbar
title('Gradiente de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>
 

En la figura se observa el campo vectorial del gradiente de T superpuesto al mapa de
temperatura. Las flechas apuntan en la dirección donde la función T aumenta con mayor
rapidez y su orientación coincide con la perpendicular a las curvas de nivel.

Dado que T(x,y) depende únicamente de la diferencia (x - y), los vectores del gradiente
son paralelos entre sí en amplias zonas del dominio y presentan una dirección inclinada,
siempre perpendicular a las bandas de colores observadas en el mapa de temperatura.

La simetría de la función se refleja en la estructura del gradiente, que cambia de sentido
a ambos lados de la recta x = y, donde la temperatura es mínima.

==. Campo de Vectores en el Sólido (u). ==
Tenemos el campo vectorial en coordenadas cilíndricas: <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>.

Vamos a representarlo en los puntos del mallado del sólido.
[[Archivo:Pelayo4.png|500px|miniatura|derecha|Representación del Campo Vectorial en el Mallado del Sólido]]
{{matlab|codigo=
% Defino el paso de muestreo para la rejilla.
% Defino el dominio.
h = 1/10;
r = 1:h:2;

% Calculo el número aproximado de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Vector en el que asigno un ángulo de 0 a pi a cada punto.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho, theta] = meshgrid(r,ang);

% Paso a coordenadas cartesianas para el trazado de las líneas de malla.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Inicio la figura.
% Uso color verde para las radiales y los arcos.
figure;

plot(x,y,'g'); % Rayos.
hold on
plot(x',y','g'); % Arcos.
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Campo Vectorial: u(ρ,θ)=15(ρ−1)ρ eρ');
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y');
grid on

% Cálculo y visualización del campo vectorial.
ri = 1;
re = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20);
rho_vec = linspace(ri, re, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posiciones donde nacerán las mallas.
X = R.*cos(THETA);
Y = R.*sin(THETA);

% Definición del campo en base polar.
U_rho = (1/5)*(R-1).*R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Paso a Cartesianas
U = U_rho.*cos(THETA)-U_theta.*sin(THETA);
V = U_rho.*sin(THETA)+U_theta.*cos(THETA);

% Dibujo de vectores.
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2);

hold off
}}
El campo vectorial, al carecer de componente angular (<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>), es estrictamente radial (los vectores apuntan desde el origen hacia afuera). La ecuación muestra una dependencia respecto a la distancia al origen, a medida que aumenta el radio se produce un crecimiento de la norma de los vectores, siendo nula en el radio interior y máxima en el exterior.

==. Sólido antes y después del desplazamiento ==
Consideramos que el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido.

Dibujo el sólido antes y después del desplazamiento:
[[Archivo:pelayo5.png|600px|miniatura|derecha|Sólido Antes y Después de Aplicarle el Desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
% Paso del mallado.
h = 0.1;

% Defino el dominio radial.
r = 1:h:2;

% Calculo el nº de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Dominio angular.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho,theta] = meshgrid(r,ang);

% Defino la Configuración de Referencia.
% Transformo la geometría original a cartesianas para visualizar.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Cálculo del Campo de Desplazamiento.
% Aplicamos la fórmula sobre la malla radial.
desprad = (1/5).*(rho-1).*rho;

% Proyección del desplazamiento en cartesianas.
despx = desprad.*cos(theta);
despy = desprad.*sin(theta);

% Definición de la Configuración Deformada.
% La posición final es la inicial más el vector desplazamiento.
X = x+despx;
Y = y+despy;

% Visualización de los resultados.
figure('Color','w');

% Límites comunes.
limitesejes=[-3 3 -1 3];

% Panel Superior: Geometría Original.
subplot(1,2,1)
mesh(x,y,0*x); % z=0 para vista 2D.
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Antes de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','g');

% Panel Inferior: Geometría Resultante.
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Después de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
El campo de desplazamiento impuesto provoca que los puntos en el radio interior permanezcan fijos, mientras que los puntos exteriores sufren un desplazamiento progresivo hacia afuera, resultando en una expansión radial del sólido.

==. Divergencia de u ==
∇ · ~u =(1/ρ)(∂/∂ρ)(ρuρ) + (1/ρ)(∂uθ/∂θ) +∂uz/∂z
\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec{e}_{\rho} = u_{\rho} \vec{e}_{\rho} + u_{\theta} \vec{e}_{\theta}
(Gráfica + explicación + código)

==. Rotacional de u ==
(Gráfica + explicación + código)

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente corresponde al tensor de deformaciones, que se describe mediante la siguiente expresión:
 
<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, el campo de desplazamientos permite obtener el tensor de tensiones
σ a través de la relación
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> on los coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas del material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se procede a calcular y representar las tensiones normales asociadas a los ejes <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales es necesario realizar previamente una serie de operaciones. En primer lugar, se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, con lo que se podrá determinar el tensor de identidad:
<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Dado el Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular su gradiente de forma matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
En consecuencia:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
A continuación, se procederá a calcular el tensor de deformaciones de forma matricial.
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

# Elemento de lista numerada
==. Tensiones tangenciales respecto al plano perpendicular a <math>\vec{e}_{\rho}</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Tomando como referencia los datos obtenidos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se llevan a cabo las operaciones necesarias para obtener dichas tensiones tangenciales
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas, ello no implica que no puedan representarse. Lo que no será posible es observar un aumento si nos centramos únicamente en las tangenciales. Por otro lado, las deformaciones generadas en el campo provienen íntegramente de las tensiones normales, y, por tanto, se producen modificaciones en el plano inicial del arco.
[[Archivo:TensTange.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Deform.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Parametros de la malla
h = 0.1;
r = 1:h:2;
v = linspace(0, pi, round(pi/h) + 1);

[rho, theta] = meshgrid(r, v);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);

% Vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

% Tensor de tensiones
SIGMA_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
SIGMA_xy = (3/5) * rho;
SIGMA_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

SIGMA_yx = zeros(size(rho));
SIGMA_yy = zeros(size(rho));
SIGMA_yz = zeros(size(rho));

SIGMA_zx = zeros(size(rho));
SIGMA_zy = zeros(size(rho));
SIGMA_zz = zeros(size(rho));

% Vector de tracción
Tx = SIGMA_xx .* erx + SIGMA_xy .* ery + SIGMA_xz .* erz;
Ty = SIGMA_yx .* erx + SIGMA_yy .* ery + SIGMA_yz .* erz;
Tz = SIGMA_zx .* erx + SIGMA_zy .* ery + SIGMA_zz .* erz;

% Componente normal y tangencial
Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%% ====================== GRÁFICA TANGENCIAL ======================

figure;

% Fondo con mapa de colores
magnitudTt = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2);
contourf(X, Y, magnitudTt, 40, 'LineStyle', 'none');

colormap('spring');
hold on;

% Vector tangencial
quiver(X, Y, Ttx, Tty, 'k', 'LineWidth', 1.1);

axis equal
colorbar
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%% ====================== GRÁFICA DE LA PARTE NORMAL ======================

figure;

surf(X, Y, Tn_scalar, 'EdgeColor', 'none');

colormap('winter');
colorbar
shading interp
title('Mayor deformacion del campo ')
xlabel('x')
ylabel('y')
view(35, 30);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:TensTang.png|thumb|500px|Tensiones tangenciales]]
[[Archivo:TensN.png|thumb|500px|Tension normal sobre el campo]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros de la malla
h = 0.1;
r = 1:h:2; % radios
theta = linspace(0, pi, round(pi/h)+1); % ángulos

%% Generar cuadrícula polar
[R, TH] = meshgrid(r, theta);

%% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

%% Vector radial unitario (2D)
ER = [cos(TH(:)), sin(TH(:))]; % Nx2

%% Tensor de tensiones (solo σ_xx y σ_yy)
SIGMA_xx = (3/5)*(2*R - 1);
SIGMA_yy = (3/5)*R;
SIGMA_xy = zeros(size(R));

%% Vector de tensiones sobre la dirección radial
% Reshape para trabajar en forma matricial
Tx = SIGMA_xx .* cos(TH) + SIGMA_xy .* sin(TH);
Ty = SIGMA_xy .* cos(TH) + SIGMA_yy .* sin(TH);

%% Componente normal (proyección sobre el radial)
Tn_scalar = Tx .* cos(TH) + Ty .* sin(TH);

%% Componentes normal y tangencial
Tnx = Tn_scalar .* cos(TH);
Tny = Tn_scalar .* sin(TH);

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;

%% Graficar tensiones tangenciales
figure;
quiver(X, Y, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x'); ylabel('y')

%% Graficar magnitud de la tensión normal
figure;
surf(X, Y, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Tensión normal sobre el campo')
xlabel('x'); ylabel('y')
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.

==. Tensiones tangenciales asociadas al plano ortogonal al vector <math> \dfrac{1}{\rho},\vec e_\theta </math>==
En este apartado se determinan las tensiones tangenciales asociadas al plano perpendicular al vector <math> \dfrac{1}{\rho},\vec e_\theta </math>.

La magnitud a evaluar es:

<math> \left\lVert \sigma \cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \;-\; \bigl( \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \;\cdot\; \sigma \;\cdot\; \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \bigr) \;\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right\rVert </math>

El tensor de tensiones considerado es:

<math> \sigma \;=\; \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 2\rho - 1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

El producto doble con la dirección 1𝜌𝑒⃗𝜃ρ1eθ es:

<math> \left( \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right) \;=\; \frac{3}{5}(\rho - 1) </math>

Sustituyendo en la expresión general:

<math> \left\lVert \sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta - \left(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\right) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right\rVert = \left\lVert \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 2\rho - 1 \\ \rho \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\rho} \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{3}{5}(\rho - 1) \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\rho} \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert </math>

Tras simplificar:

<math> \left\lVert \; 0\; \right\rVert = 0 </math>

De forma análoga a lo mostrado en el apartado anterior, la componente tangencial es nula en todos los puntos, por lo que no existen direcciones donde esta sea mayor. La representación gráfica es posible, aunque la magnitud sea cero, y la deformación del campo queda determinada exclusivamente por las tensiones normales.

Representación gráfica de las tensiones tangenciales
[[Archivo:TensionesTangenciales.jpg|500px|miniatura|derecha|Representación de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:DeformacionCampo.jpg|500px|miniatura|derecha|Representación de la deformación del campo]]
{{matlab|codigo=
h = 0.1;
u = 1:h:2;
p = round(pi/h) + 1;
v = linspace(0, pi, p);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

Tx = sigma_xx .* erx;
Ty = sigma_yy .* ery;
Tz = zeros(size(rho));

Tn = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn .* erx;
Tny = Tn .* ery;
Tnz = Tn .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

figure;
surf(xx, yy, Tn);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==. Masa total con densidad dada ==
La densidad del material está descrita por la función: <math>d(\rho,\theta)=1+e^{\rho^{2}\cos\theta}</math> donde el dominio que ocupa el arco viene dado por:
<math>(\rho,\theta)\in[1,2]\times[0,\pi]</math>

La expresión integral que define la masa total es:
<math>M=\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}\left(1+e^{\rho^{2}\cos\theta}\right)\rho\; d\rho\, d\theta</math>

En vez de resolver esta integral analíticamente, se procederá a resolver mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
% Cálculo numérico de la masa del arco mediante la regla del trapecio

% Intervalos de integración
a_rho = 1;
b_rho = 2;
a_theta = 0;
b_theta = pi;

% Número de divisiones
nR = 60;
nT = 120;

% Tamaños de paso
dr = (b_rho - a_rho) / nR;
dt = (b_theta - a_theta) / nT;

% Vectores para rho y theta
rho_vals = a_rho + dr*(0:nR);
theta_vals = a_theta + dt*(0:nT);

% Generación del mallado
[RR, TT] = meshgrid(rho_vals, theta_vals);

% Densidad multiplicada por rho (Jacobiano del cambio a polares)
dens = RR .* (1 + exp(RR.^2 .* cos(TT)));

% Pesos trapecio en rho
wR = ones(1, nR+1);
wR([1 end]) = 0.5;

% Pesos trapecio en theta
wT = ones(nT+1, 1);
wT([1 end]) = 0.5;

% Integral doble mediante producto matricial
M_arc = dt * dr * (wT' * dens * wR');

% Resultado
fprintf('Masa aproximada del arco: %.6f\n', M_arc);
}}

==. Ejemplo ingenieril ==
(Breve explicación)

== Código MATLAB completo ==
<pre>
% aquí va todo el código
</pre>

== Bibliografía ==
* Apuntes Teoría de Campos (Moodle)
* Notas sobre curvas planas y superficies regladas

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 61)

2025-12-04T09:40:40Z

Álvaro Rodríguez Aparicio.: /* . Divergencia de u */

{{ TrabajoED | Ondas y Campos Vectoriales en un Arco. Grupo 61 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marco Antonio Vives Rocamora Pelayo Álvarez Fernández Álvaro Rodríguez Javier Portabella Javier Sánchez Torres }}

==. Definición del Arco. ==
===. Arco===
La región geométrica que se analiza en este trabajo corresponde a un arco circular, es decir, a una corona comprendida entre dos radios concéntricos. El dominio está limitado por un radio interior igual a 1 y un radio exterior igual a 2, de modo que todos los puntos del arco verifican

<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>

Esta descripción en coordenadas cartesianas puede expresarse de forma más natural mediante coordenadas polares. En dichas coordenadas, la geometría del arco queda caracterizada por los siguientes rangos:

* $\rho \in [1,2]$
* $\theta \in [0,2\pi]$

lo que representa una corona circular completa alrededor del origen.

Sobre este dominio se estudiará el efecto de un campo de desplazamientos aplicado a la superficie del arco. Dicho campo es puramente radial y viene dado por

<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>

Este desplazamiento puede interpretarse como una deformación que separa las circunferencias de radio 1 y 2 sin introducir componente angular. El análisis de este campo permitirá calcular e interpretar magnitudes como el gradiente, la divergencia, el rotacional y las tensiones asociadas al material del arco.

===. Mallado del arco ===
Para poder trabajar numéricamente sobre el arco es necesario discretizarlo, es decir,
construir una malla de puntos en su interior. Partimos de la descripción del dominio en
coordenadas polares:

<math>1 \le \rho \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi</math>

que corresponde a una corona circular completa alrededor del origen.

El mallado se obtiene tomando un número finito de valores igualmente espaciados de
<math>\rho</math> y <math>\theta</math>. A partir de ellos se construye una rejilla en el plano
<math>(\rho,\theta)</math> y, usando el cambio a coordenadas cartesianas:

<math>
x = \rho \cos\theta,\qquad
y = \rho \sin\theta
</math>

se obtienen las coordenadas <math>(x,y)</math> de todos los puntos de la malla. Las líneas de
<math>\rho</math> constante dan lugar a circunferencias, mientras que las líneas de
<math>\theta</math> constante se representan como radios. El resultado es una malla estructurada
formada por curvas radiales y circunferenciales que recubre todo el dominio del arco y que
servirá de base para representar los distintos campos escalares y vectoriales en los apartados
siguientes.

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:malladogreen.png|500px|miniatura|derecha|Representación del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. Temperatura ==
En este apartado se estudia el comportamiento del campo de temperatura definido sobre
el dominio del arco. La temperatura viene dada por la función escalar

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

la cual asigna a cada punto del arco un valor real no negativo. Se trata de un campo escalar
sencillo pero representativo, ya que su variación depende de la distancia a la diagonal
<math>x = y</math>, lo que permite observar cómo cambian las isótemas dentro de un dominio curvilíneo.

El análisis de la temperatura se divide en dos partes. En primer lugar, se representa el campo
mediante un mapa de colores sobre el dominio discretizado, lo que permite visualizar de forma
inmediata las zonas de mayor y menor temperatura. En segundo lugar, se estudian sus valores
extremos dentro del arco, determinando dónde se alcanzan los máximos y mínimos en función de
la geometría del dominio.

Este estudio será esencial para comprender el gradiente de la temperatura en el apartado
siguiente, ya que las zonas donde <math>T</math> crece o decrece más rápidamente estarán directamente
relacionadas con la orientación del vector <math>\nabla T</math>.

===. Representación ===
En este apartado se representa gráficamente el campo de temperatura definido por

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

evaluado sobre la malla construida en el arco. Para cada punto de la rejilla
<math>(x,y)</math>, la función asigna un valor proporcional al cuadrado de la diferencia
entre sus coordenadas. Esto implica que la temperatura es mínima sobre la diagonal
<math>x = y</math> y aumenta conforme los puntos se alejan de dicha línea.

La representación se realiza mediante un mapa de colores sobre el dominio, utilizando la
misma malla generada en el apartado anterior. Este tipo de visualización permite identificar
rápidamente las regiones de temperatura elevada (colores cálidos) y las zonas donde
<math>T</math> es más baja (colores fríos). La variación del campo resulta suave y simétrica
respecto a la recta <math>x = y</math>, lo que facilita su análisis en apartados posteriores.

[[Archivo:Malladotemp.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

<pre>
% Cálculo de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo escalar de temperatura

figure

contourf(xx, yy, T, 40, 'LineColor', 'none') % Mapa suave con 40 niveles

hold on

contour(xx, yy, T, 12, 'k', 'LineWidth', 0.5) % Líneas de contorno finas en negro

colormap(turbo) % Paleta moderna y más limpia

colorbar % Barra lateral

title('Temperatura del arco') % Título de la gráfica

xlabel('x'); ylabel('y') % Etiquetas de los ejes

axis equal % Proporción real

xlim([-3 3]); ylim([-3 3]) % Ventana visual

set(gcf, 'Color', 'w') % Fondo blanco para mejor calidad

</pre>

En la figura anterior se representa el campo de temperatura definido por
T(x,y) = (x - y)^2 sobre el dominio del arco. La distribución térmica depende
directamente de la diferencia entre las coordenadas cartesianas x e y, de modo que
la temperatura se anula en los puntos situados sobre la recta x = y y aumenta
progresivamente conforme los puntos se alejan de dicha diagonal.

En el gráfico puede observarse cómo las zonas próximas a la línea x = y presentan
valores más bajos (colores fríos), mientras que las regiones donde x e y difieren
más muestran temperaturas elevadas (colores cálidos). Las bandas inclinadas que
aparecen en la imagen reflejan esta estructura nivelada de la función, generando
curvas de igual temperatura que atraviesan el arco con una orientación similar.

Esta representación permite identificar con facilidad las regiones en las que la
temperatura varía más rápidamente, información que será fundamental en el apartado
siguiente para estudiar el gradiente de T y su relación con la geometría del dominio.

===. Máximos y mínimos ===
Una vez representado el campo de temperatura, analizamos ahora los puntos del arco
en los que la función

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>

alcanza sus valores extremos. Dado que se trata de una función cuadrática, la temperatura
siempre es no negativa y solamente se anula cuando <math>x = y</math>. Esto permite
identificar de forma inmediata los puntos del dominio donde se alcanza el mínimo absoluto.

Por otra parte, los valores máximos no se encuentran en un punto aislado, sino en las
zonas del arco donde la diferencia entre <math>x</math> e <math>y</math> es mayor dentro del
dominio geométrico estudiado. Para localizarlos con precisión se calcula el valor de la
temperatura en toda la malla y se identifican los puntos que alcanzan el máximo.

[[Archivo:Maxymin.png|500px|miniatura|derecha|Representación del máximo y mínimo de la función temperatura]]

<pre>
% Cálculo de los valores extremos de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

valor_min = min(T(:)); % Mínimo absoluto del campo
valor_max = max(T(:)); % Máximo absoluto del campo

% Localización aproximada de los puntos donde se alcanzan
[idx_min] = find(T == valor_min);
[idx_max] = find(T == valor_max);

puntos_min = [xx(idx_min), yy(idx_min)]; % Coordenadas donde T es mínima
puntos_max = [xx(idx_max), yy(idx_max)]; % Coordenadas donde T es máxima

% Representación gráfica
figure
contourf(xx, yy, T, 30) % Mapa de temperatura
hold on
plot(puntos_min(:,1), puntos_min(:,2), 'wo', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % mínimos
plot(puntos_max(:,1), puntos_max(:,2), 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % máximos
colorbar
title('Máximos y mínimos de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>

En el gráfico se observa que la temperatura mínima se alcanza en los puntos del arco
situados sobre la línea x = y, donde la función T(x,y) se anula. Estos puntos aparecen
marcados en blanco en la figura.

Los valores máximos, representados mediante cruces rojas, se encuentran en las zonas
del arco donde la diferencia |x - y| es mayor. En este caso, los máximos aparecen en la
parte superior izquierda y superior derecha del dominio, coincidiendo con los puntos en
los que la geometría del arco permite un mayor alejamiento entre x e y.

Este estudio proporciona una visión clara de cómo se distribuyen los valores extremos en
el dominio, lo cual será útil en el apartado siguiente para comprender la dirección y
magnitud del gradiente de T.

==. Gradiente de T y curvas de nivel ==
En este apartado se calcula y representa el gradiente de la temperatura asociada al campo

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>.

El gradiente proporciona la dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente
en cada punto del arco y su módulo indica la variación máxima de T en esa dirección.
Dado que se trata de una función diferenciable, el gradiente se obtiene mediante las
derivadas parciales respecto a x e y, evaluadas en todos los nodos de la malla.

La representación vectorial del gradiente permite visualizar la orientación de las zonas
donde la temperatura crece de forma más acusada, lo cual resulta fundamental para
interpretar la distribución térmica del dominio.

[[Archivo:Gradientetempfinas.png|500px|miniaturadeimagen|Representación del gradiente de la temperatura]]

<pre>
% Cálculo del gradiente del campo T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

% Derivadas parciales de T
Tx = 2*(xx - yy); % dT/dx
Ty = -2*(xx - yy); % dT/dy

% Representación del gradiente
figure
quiver(xx, yy, Tx, Ty, 'k') % Flechas negras del gradiente
hold on
contourf(xx, yy, T, 20, 'LineColor', 'none') % Fondo suave con la temperatura
colormap(turbo)
colorbar
title('Gradiente de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>
 

En la figura se observa el campo vectorial del gradiente de T superpuesto al mapa de
temperatura. Las flechas apuntan en la dirección donde la función T aumenta con mayor
rapidez y su orientación coincide con la perpendicular a las curvas de nivel.

Dado que T(x,y) depende únicamente de la diferencia (x - y), los vectores del gradiente
son paralelos entre sí en amplias zonas del dominio y presentan una dirección inclinada,
siempre perpendicular a las bandas de colores observadas en el mapa de temperatura.

La simetría de la función se refleja en la estructura del gradiente, que cambia de sentido
a ambos lados de la recta x = y, donde la temperatura es mínima.

==. Campo de Vectores en el Sólido (u). ==
Tenemos el campo vectorial en coordenadas cilíndricas: <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>.

Vamos a representarlo en los puntos del mallado del sólido.
[[Archivo:Pelayo4.png|500px|miniatura|derecha|Representación del Campo Vectorial en el Mallado del Sólido]]
{{matlab|codigo=
% Defino el paso de muestreo para la rejilla.
% Defino el dominio.
h = 1/10;
r = 1:h:2;

% Calculo el número aproximado de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Vector en el que asigno un ángulo de 0 a pi a cada punto.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho, theta] = meshgrid(r,ang);

% Paso a coordenadas cartesianas para el trazado de las líneas de malla.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Inicio la figura.
% Uso color verde para las radiales y los arcos.
figure;

plot(x,y,'g'); % Rayos.
hold on
plot(x',y','g'); % Arcos.
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Campo Vectorial: u(ρ,θ)=15(ρ−1)ρ eρ');
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y');
grid on

% Cálculo y visualización del campo vectorial.
ri = 1;
re = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20);
rho_vec = linspace(ri, re, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posiciones donde nacerán las mallas.
X = R.*cos(THETA);
Y = R.*sin(THETA);

% Definición del campo en base polar.
U_rho = (1/5)*(R-1).*R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Paso a Cartesianas
U = U_rho.*cos(THETA)-U_theta.*sin(THETA);
V = U_rho.*sin(THETA)+U_theta.*cos(THETA);

% Dibujo de vectores.
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2);

hold off
}}
El campo vectorial, al carecer de componente angular (<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>), es estrictamente radial (los vectores apuntan desde el origen hacia afuera). La ecuación muestra una dependencia respecto a la distancia al origen, a medida que aumenta el radio se produce un crecimiento de la norma de los vectores, siendo nula en el radio interior y máxima en el exterior.

==. Sólido antes y después del desplazamiento ==
Consideramos que el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido.

Dibujo el sólido antes y después del desplazamiento:
[[Archivo:pelayo5.png|600px|miniatura|derecha|Sólido Antes y Después de Aplicarle el Desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
% Paso del mallado.
h = 0.1;

% Defino el dominio radial.
r = 1:h:2;

% Calculo el nº de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Dominio angular.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho,theta] = meshgrid(r,ang);

% Defino la Configuración de Referencia.
% Transformo la geometría original a cartesianas para visualizar.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Cálculo del Campo de Desplazamiento.
% Aplicamos la fórmula sobre la malla radial.
desprad = (1/5).*(rho-1).*rho;

% Proyección del desplazamiento en cartesianas.
despx = desprad.*cos(theta);
despy = desprad.*sin(theta);

% Definición de la Configuración Deformada.
% La posición final es la inicial más el vector desplazamiento.
X = x+despx;
Y = y+despy;

% Visualización de los resultados.
figure('Color','w');

% Límites comunes.
limitesejes=[-3 3 -1 3];

% Panel Superior: Geometría Original.
subplot(1,2,1)
mesh(x,y,0*x); % z=0 para vista 2D.
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Antes de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','g');

% Panel Inferior: Geometría Resultante.
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Después de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
El campo de desplazamiento impuesto provoca que los puntos en el radio interior permanezcan fijos, mientras que los puntos exteriores sufren un desplazamiento progresivo hacia afuera, resultando en una expansión radial del sólido.

==. Divergencia de u ==
∇ · ~u =(1/ρ)(∂/∂ρ)(ρuρ) + (1/ρ)(∂uθ/∂θ) +∂uz/∂z
(Gráfica + explicación + código)

==. Rotacional de u ==
(Gráfica + explicación + código)

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente corresponde al tensor de deformaciones, que se describe mediante la siguiente expresión:
 
<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, el campo de desplazamientos permite obtener el tensor de tensiones
σ a través de la relación
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> on los coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas del material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se procede a calcular y representar las tensiones normales asociadas a los ejes <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales es necesario realizar previamente una serie de operaciones. En primer lugar, se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, con lo que se podrá determinar el tensor de identidad:
<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Dado el Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular su gradiente de forma matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
En consecuencia:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
A continuación, se procederá a calcular el tensor de deformaciones de forma matricial.
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

# Elemento de lista numerada
==. Tensiones tangenciales respecto al plano perpendicular a <math>\vec{e}_{\rho}</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Tomando como referencia los datos obtenidos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se llevan a cabo las operaciones necesarias para obtener dichas tensiones tangenciales
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas, ello no implica que no puedan representarse. Lo que no será posible es observar un aumento si nos centramos únicamente en las tangenciales. Por otro lado, las deformaciones generadas en el campo provienen íntegramente de las tensiones normales, y, por tanto, se producen modificaciones en el plano inicial del arco.
[[Archivo:TensTange.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Deform.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Parametros de la malla
h = 0.1;
r = 1:h:2;
v = linspace(0, pi, round(pi/h) + 1);

[rho, theta] = meshgrid(r, v);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);

% Vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

% Tensor de tensiones
SIGMA_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
SIGMA_xy = (3/5) * rho;
SIGMA_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

SIGMA_yx = zeros(size(rho));
SIGMA_yy = zeros(size(rho));
SIGMA_yz = zeros(size(rho));

SIGMA_zx = zeros(size(rho));
SIGMA_zy = zeros(size(rho));
SIGMA_zz = zeros(size(rho));

% Vector de tracción
Tx = SIGMA_xx .* erx + SIGMA_xy .* ery + SIGMA_xz .* erz;
Ty = SIGMA_yx .* erx + SIGMA_yy .* ery + SIGMA_yz .* erz;
Tz = SIGMA_zx .* erx + SIGMA_zy .* ery + SIGMA_zz .* erz;

% Componente normal y tangencial
Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%% ====================== GRÁFICA TANGENCIAL ======================

figure;

% Fondo con mapa de colores
magnitudTt = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2);
contourf(X, Y, magnitudTt, 40, 'LineStyle', 'none');

colormap('spring');
hold on;

% Vector tangencial
quiver(X, Y, Ttx, Tty, 'k', 'LineWidth', 1.1);

axis equal
colorbar
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%% ====================== GRÁFICA DE LA PARTE NORMAL ======================

figure;

surf(X, Y, Tn_scalar, 'EdgeColor', 'none');

colormap('winter');
colorbar
shading interp
title('Mayor deformacion del campo ')
xlabel('x')
ylabel('y')
view(35, 30);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:TensTang.png|thumb|500px|Tensiones tangenciales]]
[[Archivo:TensN.png|thumb|500px|Tension normal sobre el campo]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros de la malla
h = 0.1;
r = 1:h:2; % radios
theta = linspace(0, pi, round(pi/h)+1); % ángulos

%% Generar cuadrícula polar
[R, TH] = meshgrid(r, theta);

%% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

%% Vector radial unitario (2D)
ER = [cos(TH(:)), sin(TH(:))]; % Nx2

%% Tensor de tensiones (solo σ_xx y σ_yy)
SIGMA_xx = (3/5)*(2*R - 1);
SIGMA_yy = (3/5)*R;
SIGMA_xy = zeros(size(R));

%% Vector de tensiones sobre la dirección radial
% Reshape para trabajar en forma matricial
Tx = SIGMA_xx .* cos(TH) + SIGMA_xy .* sin(TH);
Ty = SIGMA_xy .* cos(TH) + SIGMA_yy .* sin(TH);

%% Componente normal (proyección sobre el radial)
Tn_scalar = Tx .* cos(TH) + Ty .* sin(TH);

%% Componentes normal y tangencial
Tnx = Tn_scalar .* cos(TH);
Tny = Tn_scalar .* sin(TH);

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;

%% Graficar tensiones tangenciales
figure;
quiver(X, Y, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x'); ylabel('y')

%% Graficar magnitud de la tensión normal
figure;
surf(X, Y, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Tensión normal sobre el campo')
xlabel('x'); ylabel('y')
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Tomando como referencia los datos obtenidos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se llevan a cabo las operaciones necesarias para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> ssean nulas, ello no implica que no puedan representarse. Lo que no será posible es observar un aumento si nos centramos únicamente en las tangenciales. Por otro lado, las deformaciones generadas en el campo provienen íntegramente de las tensiones normales, y, por tanto, se producen modificaciones en el plano inicial del arco.

==. Tensiones tangenciales asociadas al plano ortogonal al vector <math> \dfrac{1}{\rho},\vec e_\theta </math>==
En este apartado se determinan las tensiones tangenciales asociadas al plano perpendicular al vector <math> \dfrac{1}{\rho},\vec e_\theta </math>.

La magnitud a evaluar es:

<math> \left\lVert \sigma \cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \;-\; \bigl( \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \;\cdot\; \sigma \;\cdot\; \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \bigr) \;\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right\rVert </math>

El tensor de tensiones considerado es:

<math> \sigma \;=\; \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 2\rho - 1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

El producto doble con la dirección 1𝜌𝑒⃗𝜃ρ1eθ es:

<math> \left( \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right) \;=\; \frac{3}{5}(\rho - 1) </math>

Sustituyendo en la expresión general:

<math> \left\lVert \sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta - \left(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\right) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right\rVert = \left\lVert \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 2\rho - 1 \\ \rho \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\rho} \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{3}{5}(\rho - 1) \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\rho} \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert </math>

Tras simplificar:

<math> \left\lVert \; 0\; \right\rVert = 0 </math>

De forma análoga a lo mostrado en el apartado anterior, la componente tangencial es nula en todos los puntos, por lo que no existen direcciones donde esta sea mayor. La representación gráfica es posible, aunque la magnitud sea cero, y la deformación del campo queda determinada exclusivamente por las tensiones normales.

Representación gráfica de las tensiones tangenciales
[[Archivo:TensionesTangenciales.jpg|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]
{{matlab|codigo=
h = 0.1;
u = 1:h:2;
p = round(pi/h) + 1;
v = linspace(0, pi, p);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

Tx = sigma_xx .* erx;
Ty = sigma_yy .* ery;
Tz = zeros(size(rho));

Tn = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn .* erx;
Tny = Tn .* ery;
Tnz = Tn .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

figure;
surf(xx, yy, Tn);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==. Masa total con densidad dada ==
La densidad del material está descrita por la función: <math>d(\rho,\theta)=1+e^{\rho^{2}\cos\theta}</math> donde el dominio que ocupa el arco viene dado por:
<math>(\rho,\theta)\in[1,2]\times[0,\pi]</math>

La expresión integral que define la masa total es:
<math>M=\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}\left(1+e^{\rho^{2}\cos\theta}\right)\rho\; d\rho\, d\theta</math>

En vez de resolver esta integral analíticamente, se procederá a resolver mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
% Cálculo numérico de la masa del arco mediante la regla del trapecio

% Intervalos de integración
a_rho = 1;
b_rho = 2;
a_theta = 0;
b_theta = pi;

% Número de divisiones
nR = 60;
nT = 120;

% Tamaños de paso
dr = (b_rho - a_rho) / nR;
dt = (b_theta - a_theta) / nT;

% Vectores para rho y theta
rho_vals = a_rho + dr*(0:nR);
theta_vals = a_theta + dt*(0:nT);

% Generación del mallado
[RR, TT] = meshgrid(rho_vals, theta_vals);

% Densidad multiplicada por rho (Jacobiano del cambio a polares)
dens = RR .* (1 + exp(RR.^2 .* cos(TT)));

% Pesos trapecio en rho
wR = ones(1, nR+1);
wR([1 end]) = 0.5;

% Pesos trapecio en theta
wT = ones(nT+1, 1);
wT([1 end]) = 0.5;

% Integral doble mediante producto matricial
M_arc = dt * dr * (wT' * dens * wR');

% Resultado
fprintf('Masa aproximada del arco: %.6f\n', M_arc);
}}

==. Ejemplo ingenieril ==
(Breve explicación)

== Código MATLAB completo ==
<pre>
% aquí va todo el código
</pre>

== Bibliografía ==
* Apuntes Teoría de Campos (Moodle)
* Notas sobre curvas planas y superficies regladas

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 61)

2025-12-04T09:37:38Z

Álvaro Rodríguez Aparicio.: /* . Divergencia de u */

{{ TrabajoED | Ondas y Campos Vectoriales en un Arco. Grupo 61 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marco Antonio Vives Rocamora Pelayo Álvarez Fernández Álvaro Rodríguez Javier Portabella Javier Sánchez Torres }}

==. Definición del Arco. ==
===. Arco===
La región geométrica que se analiza en este trabajo corresponde a un arco circular, es decir, a una corona comprendida entre dos radios concéntricos. El dominio está limitado por un radio interior igual a 1 y un radio exterior igual a 2, de modo que todos los puntos del arco verifican

<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>

Esta descripción en coordenadas cartesianas puede expresarse de forma más natural mediante coordenadas polares. En dichas coordenadas, la geometría del arco queda caracterizada por los siguientes rangos:

* $\rho \in [1,2]$
* $\theta \in [0,2\pi]$

lo que representa una corona circular completa alrededor del origen.

Sobre este dominio se estudiará el efecto de un campo de desplazamientos aplicado a la superficie del arco. Dicho campo es puramente radial y viene dado por

<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>

Este desplazamiento puede interpretarse como una deformación que separa las circunferencias de radio 1 y 2 sin introducir componente angular. El análisis de este campo permitirá calcular e interpretar magnitudes como el gradiente, la divergencia, el rotacional y las tensiones asociadas al material del arco.

===. Mallado del arco ===
Para poder trabajar numéricamente sobre el arco es necesario discretizarlo, es decir,
construir una malla de puntos en su interior. Partimos de la descripción del dominio en
coordenadas polares:

<math>1 \le \rho \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi</math>

que corresponde a una corona circular completa alrededor del origen.

El mallado se obtiene tomando un número finito de valores igualmente espaciados de
<math>\rho</math> y <math>\theta</math>. A partir de ellos se construye una rejilla en el plano
<math>(\rho,\theta)</math> y, usando el cambio a coordenadas cartesianas:

<math>
x = \rho \cos\theta,\qquad
y = \rho \sin\theta
</math>

se obtienen las coordenadas <math>(x,y)</math> de todos los puntos de la malla. Las líneas de
<math>\rho</math> constante dan lugar a circunferencias, mientras que las líneas de
<math>\theta</math> constante se representan como radios. El resultado es una malla estructurada
formada por curvas radiales y circunferenciales que recubre todo el dominio del arco y que
servirá de base para representar los distintos campos escalares y vectoriales en los apartados
siguientes.

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:malladogreen.png|500px|miniatura|derecha|Representación del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. Temperatura ==
En este apartado se estudia el comportamiento del campo de temperatura definido sobre
el dominio del arco. La temperatura viene dada por la función escalar

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

la cual asigna a cada punto del arco un valor real no negativo. Se trata de un campo escalar
sencillo pero representativo, ya que su variación depende de la distancia a la diagonal
<math>x = y</math>, lo que permite observar cómo cambian las isótemas dentro de un dominio curvilíneo.

El análisis de la temperatura se divide en dos partes. En primer lugar, se representa el campo
mediante un mapa de colores sobre el dominio discretizado, lo que permite visualizar de forma
inmediata las zonas de mayor y menor temperatura. En segundo lugar, se estudian sus valores
extremos dentro del arco, determinando dónde se alcanzan los máximos y mínimos en función de
la geometría del dominio.

Este estudio será esencial para comprender el gradiente de la temperatura en el apartado
siguiente, ya que las zonas donde <math>T</math> crece o decrece más rápidamente estarán directamente
relacionadas con la orientación del vector <math>\nabla T</math>.

===. Representación ===
En este apartado se representa gráficamente el campo de temperatura definido por

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

evaluado sobre la malla construida en el arco. Para cada punto de la rejilla
<math>(x,y)</math>, la función asigna un valor proporcional al cuadrado de la diferencia
entre sus coordenadas. Esto implica que la temperatura es mínima sobre la diagonal
<math>x = y</math> y aumenta conforme los puntos se alejan de dicha línea.

La representación se realiza mediante un mapa de colores sobre el dominio, utilizando la
misma malla generada en el apartado anterior. Este tipo de visualización permite identificar
rápidamente las regiones de temperatura elevada (colores cálidos) y las zonas donde
<math>T</math> es más baja (colores fríos). La variación del campo resulta suave y simétrica
respecto a la recta <math>x = y</math>, lo que facilita su análisis en apartados posteriores.

[[Archivo:Malladotemp.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

<pre>
% Cálculo de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo escalar de temperatura

figure

contourf(xx, yy, T, 40, 'LineColor', 'none') % Mapa suave con 40 niveles

hold on

contour(xx, yy, T, 12, 'k', 'LineWidth', 0.5) % Líneas de contorno finas en negro

colormap(turbo) % Paleta moderna y más limpia

colorbar % Barra lateral

title('Temperatura del arco') % Título de la gráfica

xlabel('x'); ylabel('y') % Etiquetas de los ejes

axis equal % Proporción real

xlim([-3 3]); ylim([-3 3]) % Ventana visual

set(gcf, 'Color', 'w') % Fondo blanco para mejor calidad

</pre>

En la figura anterior se representa el campo de temperatura definido por
T(x,y) = (x - y)^2 sobre el dominio del arco. La distribución térmica depende
directamente de la diferencia entre las coordenadas cartesianas x e y, de modo que
la temperatura se anula en los puntos situados sobre la recta x = y y aumenta
progresivamente conforme los puntos se alejan de dicha diagonal.

En el gráfico puede observarse cómo las zonas próximas a la línea x = y presentan
valores más bajos (colores fríos), mientras que las regiones donde x e y difieren
más muestran temperaturas elevadas (colores cálidos). Las bandas inclinadas que
aparecen en la imagen reflejan esta estructura nivelada de la función, generando
curvas de igual temperatura que atraviesan el arco con una orientación similar.

Esta representación permite identificar con facilidad las regiones en las que la
temperatura varía más rápidamente, información que será fundamental en el apartado
siguiente para estudiar el gradiente de T y su relación con la geometría del dominio.

===. Máximos y mínimos ===
Una vez representado el campo de temperatura, analizamos ahora los puntos del arco
en los que la función

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>

alcanza sus valores extremos. Dado que se trata de una función cuadrática, la temperatura
siempre es no negativa y solamente se anula cuando <math>x = y</math>. Esto permite
identificar de forma inmediata los puntos del dominio donde se alcanza el mínimo absoluto.

Por otra parte, los valores máximos no se encuentran en un punto aislado, sino en las
zonas del arco donde la diferencia entre <math>x</math> e <math>y</math> es mayor dentro del
dominio geométrico estudiado. Para localizarlos con precisión se calcula el valor de la
temperatura en toda la malla y se identifican los puntos que alcanzan el máximo.

[[Archivo:Maxymin.png|500px|miniatura|derecha|Representación del máximo y mínimo de la función temperatura]]

<pre>
% Cálculo de los valores extremos de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

valor_min = min(T(:)); % Mínimo absoluto del campo
valor_max = max(T(:)); % Máximo absoluto del campo

% Localización aproximada de los puntos donde se alcanzan
[idx_min] = find(T == valor_min);
[idx_max] = find(T == valor_max);

puntos_min = [xx(idx_min), yy(idx_min)]; % Coordenadas donde T es mínima
puntos_max = [xx(idx_max), yy(idx_max)]; % Coordenadas donde T es máxima

% Representación gráfica
figure
contourf(xx, yy, T, 30) % Mapa de temperatura
hold on
plot(puntos_min(:,1), puntos_min(:,2), 'wo', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % mínimos
plot(puntos_max(:,1), puntos_max(:,2), 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % máximos
colorbar
title('Máximos y mínimos de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>

En el gráfico se observa que la temperatura mínima se alcanza en los puntos del arco
situados sobre la línea x = y, donde la función T(x,y) se anula. Estos puntos aparecen
marcados en blanco en la figura.

Los valores máximos, representados mediante cruces rojas, se encuentran en las zonas
del arco donde la diferencia |x - y| es mayor. En este caso, los máximos aparecen en la
parte superior izquierda y superior derecha del dominio, coincidiendo con los puntos en
los que la geometría del arco permite un mayor alejamiento entre x e y.

Este estudio proporciona una visión clara de cómo se distribuyen los valores extremos en
el dominio, lo cual será útil en el apartado siguiente para comprender la dirección y
magnitud del gradiente de T.

==. Gradiente de T y curvas de nivel ==
En este apartado se calcula y representa el gradiente de la temperatura asociada al campo

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>.

El gradiente proporciona la dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente
en cada punto del arco y su módulo indica la variación máxima de T en esa dirección.
Dado que se trata de una función diferenciable, el gradiente se obtiene mediante las
derivadas parciales respecto a x e y, evaluadas en todos los nodos de la malla.

La representación vectorial del gradiente permite visualizar la orientación de las zonas
donde la temperatura crece de forma más acusada, lo cual resulta fundamental para
interpretar la distribución térmica del dominio.

[[Archivo:Gradientetempfinas.png|500px|miniaturadeimagen|Representación del gradiente de la temperatura]]

<pre>
% Cálculo del gradiente del campo T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

% Derivadas parciales de T
Tx = 2*(xx - yy); % dT/dx
Ty = -2*(xx - yy); % dT/dy

% Representación del gradiente
figure
quiver(xx, yy, Tx, Ty, 'k') % Flechas negras del gradiente
hold on
contourf(xx, yy, T, 20, 'LineColor', 'none') % Fondo suave con la temperatura
colormap(turbo)
colorbar
title('Gradiente de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>
 

En la figura se observa el campo vectorial del gradiente de T superpuesto al mapa de
temperatura. Las flechas apuntan en la dirección donde la función T aumenta con mayor
rapidez y su orientación coincide con la perpendicular a las curvas de nivel.

Dado que T(x,y) depende únicamente de la diferencia (x - y), los vectores del gradiente
son paralelos entre sí en amplias zonas del dominio y presentan una dirección inclinada,
siempre perpendicular a las bandas de colores observadas en el mapa de temperatura.

La simetría de la función se refleja en la estructura del gradiente, que cambia de sentido
a ambos lados de la recta x = y, donde la temperatura es mínima.

==. Campo de Vectores en el Sólido (u). ==
Tenemos el campo vectorial en coordenadas cilíndricas: <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>.

Vamos a representarlo en los puntos del mallado del sólido.
[[Archivo:Pelayo4.png|500px|miniatura|derecha|Representación del Campo Vectorial en el Mallado del Sólido]]
{{matlab|codigo=
% Defino el paso de muestreo para la rejilla.
% Defino el dominio.
h = 1/10;
r = 1:h:2;

% Calculo el número aproximado de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Vector en el que asigno un ángulo de 0 a pi a cada punto.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho, theta] = meshgrid(r,ang);

% Paso a coordenadas cartesianas para el trazado de las líneas de malla.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Inicio la figura.
% Uso color verde para las radiales y los arcos.
figure;

plot(x,y,'g'); % Rayos.
hold on
plot(x',y','g'); % Arcos.
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Campo Vectorial: u(ρ,θ)=15(ρ−1)ρ eρ');
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y');
grid on

% Cálculo y visualización del campo vectorial.
ri = 1;
re = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20);
rho_vec = linspace(ri, re, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posiciones donde nacerán las mallas.
X = R.*cos(THETA);
Y = R.*sin(THETA);

% Definición del campo en base polar.
U_rho = (1/5)*(R-1).*R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Paso a Cartesianas
U = U_rho.*cos(THETA)-U_theta.*sin(THETA);
V = U_rho.*sin(THETA)+U_theta.*cos(THETA);

% Dibujo de vectores.
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2);

hold off
}}
El campo vectorial, al carecer de componente angular (<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>), es estrictamente radial (los vectores apuntan desde el origen hacia afuera). La ecuación muestra una dependencia respecto a la distancia al origen, a medida que aumenta el radio se produce un crecimiento de la norma de los vectores, siendo nula en el radio interior y máxima en el exterior.

==. Sólido antes y después del desplazamiento ==
Consideramos que el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido.

Dibujo el sólido antes y después del desplazamiento:
[[Archivo:pelayo5.png|600px|miniatura|derecha|Sólido Antes y Después de Aplicarle el Desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
% Paso del mallado.
h = 0.1;

% Defino el dominio radial.
r = 1:h:2;

% Calculo el nº de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Dominio angular.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho,theta] = meshgrid(r,ang);

% Defino la Configuración de Referencia.
% Transformo la geometría original a cartesianas para visualizar.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Cálculo del Campo de Desplazamiento.
% Aplicamos la fórmula sobre la malla radial.
desprad = (1/5).*(rho-1).*rho;

% Proyección del desplazamiento en cartesianas.
despx = desprad.*cos(theta);
despy = desprad.*sin(theta);

% Definición de la Configuración Deformada.
% La posición final es la inicial más el vector desplazamiento.
X = x+despx;
Y = y+despy;

% Visualización de los resultados.
figure('Color','w');

% Límites comunes.
limitesejes=[-3 3 -1 3];

% Panel Superior: Geometría Original.
subplot(1,2,1)
mesh(x,y,0*x); % z=0 para vista 2D.
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Antes de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','g');

% Panel Inferior: Geometría Resultante.
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Después de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
El campo de desplazamiento impuesto provoca que los puntos en el radio interior permanezcan fijos, mientras que los puntos exteriores sufren un desplazamiento progresivo hacia afuera, resultando en una expansión radial del sólido.

==. Divergencia de u ==
∇ · ~u =
1
ρ
∂
∂ρ(ρuρ) + 1
ρ
∂uθ
∂θ +
∂uz
∂z
(Gráfica + explicación + código)

==. Rotacional de u ==
(Gráfica + explicación + código)

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente corresponde al tensor de deformaciones, que se describe mediante la siguiente expresión:
 
<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, el campo de desplazamientos permite obtener el tensor de tensiones
σ a través de la relación
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> on los coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas del material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se procede a calcular y representar las tensiones normales asociadas a los ejes <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales es necesario realizar previamente una serie de operaciones. En primer lugar, se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, con lo que se podrá determinar el tensor de identidad:
<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Dado el Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular su gradiente de forma matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
En consecuencia:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
A continuación, se procederá a calcular el tensor de deformaciones de forma matricial.
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

# Elemento de lista numerada
==. Tensiones tangenciales respecto al plano perpendicular a <math>\vec{e}_{\rho}</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Tomando como referencia los datos obtenidos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se llevan a cabo las operaciones necesarias para obtener dichas tensiones tangenciales
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas, ello no implica que no puedan representarse. Lo que no será posible es observar un aumento si nos centramos únicamente en las tangenciales. Por otro lado, las deformaciones generadas en el campo provienen íntegramente de las tensiones normales, y, por tanto, se producen modificaciones en el plano inicial del arco.
[[Archivo:TensTange.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Deform.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Parametros de la malla
h = 0.1;
r = 1:h:2;
v = linspace(0, pi, round(pi/h) + 1);

[rho, theta] = meshgrid(r, v);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);

% Vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

% Tensor de tensiones
SIGMA_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
SIGMA_xy = (3/5) * rho;
SIGMA_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

SIGMA_yx = zeros(size(rho));
SIGMA_yy = zeros(size(rho));
SIGMA_yz = zeros(size(rho));

SIGMA_zx = zeros(size(rho));
SIGMA_zy = zeros(size(rho));
SIGMA_zz = zeros(size(rho));

% Vector de tracción
Tx = SIGMA_xx .* erx + SIGMA_xy .* ery + SIGMA_xz .* erz;
Ty = SIGMA_yx .* erx + SIGMA_yy .* ery + SIGMA_yz .* erz;
Tz = SIGMA_zx .* erx + SIGMA_zy .* ery + SIGMA_zz .* erz;

% Componente normal y tangencial
Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%% ====================== GRÁFICA TANGENCIAL ======================

figure;

% Fondo con mapa de colores
magnitudTt = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2);
contourf(X, Y, magnitudTt, 40, 'LineStyle', 'none');

colormap('spring');
hold on;

% Vector tangencial
quiver(X, Y, Ttx, Tty, 'k', 'LineWidth', 1.1);

axis equal
colorbar
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%% ====================== GRÁFICA DE LA PARTE NORMAL ======================

figure;

surf(X, Y, Tn_scalar, 'EdgeColor', 'none');

colormap('winter');
colorbar
shading interp
title('Mayor deformacion del campo ')
xlabel('x')
ylabel('y')
view(35, 30);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:TensTang.png|thumb|500px|Tensiones tangenciales]]
[[Archivo:TensN.png|thumb|500px|Tension normal sobre el campo]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros de la malla
h = 0.1;
r = 1:h:2; % radios
theta = linspace(0, pi, round(pi/h)+1); % ángulos

%% Generar cuadrícula polar
[R, TH] = meshgrid(r, theta);

%% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

%% Vector radial unitario (2D)
ER = [cos(TH(:)), sin(TH(:))]; % Nx2

%% Tensor de tensiones (solo σ_xx y σ_yy)
SIGMA_xx = (3/5)*(2*R - 1);
SIGMA_yy = (3/5)*R;
SIGMA_xy = zeros(size(R));

%% Vector de tensiones sobre la dirección radial
% Reshape para trabajar en forma matricial
Tx = SIGMA_xx .* cos(TH) + SIGMA_xy .* sin(TH);
Ty = SIGMA_xy .* cos(TH) + SIGMA_yy .* sin(TH);

%% Componente normal (proyección sobre el radial)
Tn_scalar = Tx .* cos(TH) + Ty .* sin(TH);

%% Componentes normal y tangencial
Tnx = Tn_scalar .* cos(TH);
Tny = Tn_scalar .* sin(TH);

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;

%% Graficar tensiones tangenciales
figure;
quiver(X, Y, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x'); ylabel('y')

%% Graficar magnitud de la tensión normal
figure;
surf(X, Y, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Tensión normal sobre el campo')
xlabel('x'); ylabel('y')
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Tomando como referencia los datos obtenidos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se llevan a cabo las operaciones necesarias para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> ssean nulas, ello no implica que no puedan representarse. Lo que no será posible es observar un aumento si nos centramos únicamente en las tangenciales. Por otro lado, las deformaciones generadas en el campo provienen íntegramente de las tensiones normales, y, por tanto, se producen modificaciones en el plano inicial del arco.

==. Tensiones tangenciales asociadas al plano ortogonal al vector <math> \dfrac{1}{\rho},\vec e_\theta </math>==
En este apartado se determinan las tensiones tangenciales asociadas al plano perpendicular al vector <math> \dfrac{1}{\rho},\vec e_\theta </math>.

La magnitud a evaluar es:

<math> \left\lVert \sigma \cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \;-\; \bigl( \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \;\cdot\; \sigma \;\cdot\; \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \bigr) \;\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right\rVert </math>

El tensor de tensiones considerado es:

<math> \sigma \;=\; \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 2\rho - 1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

El producto doble con la dirección 1𝜌𝑒⃗𝜃ρ1eθ es:

<math> \left( \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right) \;=\; \frac{3}{5}(\rho - 1) </math>

Sustituyendo en la expresión general:

<math> \left\lVert \sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta - \left(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\right) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right\rVert = \left\lVert \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 2\rho - 1 \\ \rho \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\rho} \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{3}{5}(\rho - 1) \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\rho} \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert </math>

Tras simplificar:

<math> \left\lVert \; 0\; \right\rVert = 0 </math>

De forma análoga a lo mostrado en el apartado anterior, la componente tangencial es nula en todos los puntos, por lo que no existen direcciones donde esta sea mayor. La representación gráfica es posible, aunque la magnitud sea cero, y la deformación del campo queda determinada exclusivamente por las tensiones normales.

Representación gráfica de las tensiones tangenciales

{{matlab|codigo=
h = 0.1;
u = 1:h:2;
p = round(pi/h) + 1;
v = linspace(0, pi, p);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

Tx = sigma_xx .* erx;
Ty = sigma_yy .* ery;
Tz = zeros(size(rho));

Tn = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn .* erx;
Tny = Tn .* ery;
Tnz = Tn .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

figure;
surf(xx, yy, Tn);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==. Masa total con densidad dada ==
La densidad del material está descrita por la función: <math>d(\rho,\theta)=1+e^{\rho^{2}\cos\theta}</math> donde el dominio que ocupa el arco viene dado por:
<math>(\rho,\theta)\in[1,2]\times[0,\pi]</math>

La expresión integral que define la masa total es:
<math>M=\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}\left(1+e^{\rho^{2}\cos\theta}\right)\rho\; d\rho\, d\theta</math>

En vez de resolver esta integral analíticamente, se procederá a resolver mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
% Cálculo numérico de la masa del arco mediante la regla del trapecio

% Intervalos de integración
a_rho = 1;
b_rho = 2;
a_theta = 0;
b_theta = pi;

% Número de divisiones
nR = 60;
nT = 120;

% Tamaños de paso
dr = (b_rho - a_rho) / nR;
dt = (b_theta - a_theta) / nT;

% Vectores para rho y theta
rho_vals = a_rho + dr*(0:nR);
theta_vals = a_theta + dt*(0:nT);

% Generación del mallado
[RR, TT] = meshgrid(rho_vals, theta_vals);

% Densidad multiplicada por rho (Jacobiano del cambio a polares)
dens = RR .* (1 + exp(RR.^2 .* cos(TT)));

% Pesos trapecio en rho
wR = ones(1, nR+1);
wR([1 end]) = 0.5;

% Pesos trapecio en theta
wT = ones(nT+1, 1);
wT([1 end]) = 0.5;

% Integral doble mediante producto matricial
M_arc = dt * dr * (wT' * dens * wR');

% Resultado
fprintf('Masa aproximada del arco: %.6f\n', M_arc);
}}

==. Ejemplo ingenieril ==
(Breve explicación)

== Código MATLAB completo ==
<pre>
% aquí va todo el código
</pre>

== Bibliografía ==
* Apuntes Teoría de Campos (Moodle)
* Notas sobre curvas planas y superficies regladas

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 61)

2025-12-04T09:34:33Z

Álvaro Rodríguez Aparicio.: /* . Divergencia de u */

{{ TrabajoED | Ondas y Campos Vectoriales en un Arco. Grupo 61 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Marco Antonio Vives Rocamora Pelayo Álvarez Fernández Álvaro Rodríguez Javier Portabella Javier Sánchez Torres }}

==. Definición del Arco. ==
===. Arco===
La región geométrica que se analiza en este trabajo corresponde a un arco circular, es decir, a una corona comprendida entre dos radios concéntricos. El dominio está limitado por un radio interior igual a 1 y un radio exterior igual a 2, de modo que todos los puntos del arco verifican

<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>

Esta descripción en coordenadas cartesianas puede expresarse de forma más natural mediante coordenadas polares. En dichas coordenadas, la geometría del arco queda caracterizada por los siguientes rangos:

* $\rho \in [1,2]$
* $\theta \in [0,2\pi]$

lo que representa una corona circular completa alrededor del origen.

Sobre este dominio se estudiará el efecto de un campo de desplazamientos aplicado a la superficie del arco. Dicho campo es puramente radial y viene dado por

<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>

Este desplazamiento puede interpretarse como una deformación que separa las circunferencias de radio 1 y 2 sin introducir componente angular. El análisis de este campo permitirá calcular e interpretar magnitudes como el gradiente, la divergencia, el rotacional y las tensiones asociadas al material del arco.

===. Mallado del arco ===
Para poder trabajar numéricamente sobre el arco es necesario discretizarlo, es decir,
construir una malla de puntos en su interior. Partimos de la descripción del dominio en
coordenadas polares:

<math>1 \le \rho \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi</math>

que corresponde a una corona circular completa alrededor del origen.

El mallado se obtiene tomando un número finito de valores igualmente espaciados de
<math>\rho</math> y <math>\theta</math>. A partir de ellos se construye una rejilla en el plano
<math>(\rho,\theta)</math> y, usando el cambio a coordenadas cartesianas:

<math>
x = \rho \cos\theta,\qquad
y = \rho \sin\theta
</math>

se obtienen las coordenadas <math>(x,y)</math> de todos los puntos de la malla. Las líneas de
<math>\rho</math> constante dan lugar a circunferencias, mientras que las líneas de
<math>\theta</math> constante se representan como radios. El resultado es una malla estructurada
formada por curvas radiales y circunferenciales que recubre todo el dominio del arco y que
servirá de base para representar los distintos campos escalares y vectoriales en los apartados
siguientes.

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:malladogreen.png|500px|miniatura|derecha|Representación del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. Temperatura ==
En este apartado se estudia el comportamiento del campo de temperatura definido sobre
el dominio del arco. La temperatura viene dada por la función escalar

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

la cual asigna a cada punto del arco un valor real no negativo. Se trata de un campo escalar
sencillo pero representativo, ya que su variación depende de la distancia a la diagonal
<math>x = y</math>, lo que permite observar cómo cambian las isótemas dentro de un dominio curvilíneo.

El análisis de la temperatura se divide en dos partes. En primer lugar, se representa el campo
mediante un mapa de colores sobre el dominio discretizado, lo que permite visualizar de forma
inmediata las zonas de mayor y menor temperatura. En segundo lugar, se estudian sus valores
extremos dentro del arco, determinando dónde se alcanzan los máximos y mínimos en función de
la geometría del dominio.

Este estudio será esencial para comprender el gradiente de la temperatura en el apartado
siguiente, ya que las zonas donde <math>T</math> crece o decrece más rápidamente estarán directamente
relacionadas con la orientación del vector <math>\nabla T</math>.

===. Representación ===
En este apartado se representa gráficamente el campo de temperatura definido por

<math>
T(x,y) = (x - y)^2,
</math>

evaluado sobre la malla construida en el arco. Para cada punto de la rejilla
<math>(x,y)</math>, la función asigna un valor proporcional al cuadrado de la diferencia
entre sus coordenadas. Esto implica que la temperatura es mínima sobre la diagonal
<math>x = y</math> y aumenta conforme los puntos se alejan de dicha línea.

La representación se realiza mediante un mapa de colores sobre el dominio, utilizando la
misma malla generada en el apartado anterior. Este tipo de visualización permite identificar
rápidamente las regiones de temperatura elevada (colores cálidos) y las zonas donde
<math>T</math> es más baja (colores fríos). La variación del campo resulta suave y simétrica
respecto a la recta <math>x = y</math>, lo que facilita su análisis en apartados posteriores.

[[Archivo:Malladotemp.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

<pre>
% Cálculo de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo escalar de temperatura

figure

contourf(xx, yy, T, 40, 'LineColor', 'none') % Mapa suave con 40 niveles

hold on

contour(xx, yy, T, 12, 'k', 'LineWidth', 0.5) % Líneas de contorno finas en negro

colormap(turbo) % Paleta moderna y más limpia

colorbar % Barra lateral

title('Temperatura del arco') % Título de la gráfica

xlabel('x'); ylabel('y') % Etiquetas de los ejes

axis equal % Proporción real

xlim([-3 3]); ylim([-3 3]) % Ventana visual

set(gcf, 'Color', 'w') % Fondo blanco para mejor calidad

</pre>

En la figura anterior se representa el campo de temperatura definido por
T(x,y) = (x - y)^2 sobre el dominio del arco. La distribución térmica depende
directamente de la diferencia entre las coordenadas cartesianas x e y, de modo que
la temperatura se anula en los puntos situados sobre la recta x = y y aumenta
progresivamente conforme los puntos se alejan de dicha diagonal.

En el gráfico puede observarse cómo las zonas próximas a la línea x = y presentan
valores más bajos (colores fríos), mientras que las regiones donde x e y difieren
más muestran temperaturas elevadas (colores cálidos). Las bandas inclinadas que
aparecen en la imagen reflejan esta estructura nivelada de la función, generando
curvas de igual temperatura que atraviesan el arco con una orientación similar.

Esta representación permite identificar con facilidad las regiones en las que la
temperatura varía más rápidamente, información que será fundamental en el apartado
siguiente para estudiar el gradiente de T y su relación con la geometría del dominio.

===. Máximos y mínimos ===
Una vez representado el campo de temperatura, analizamos ahora los puntos del arco
en los que la función

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>

alcanza sus valores extremos. Dado que se trata de una función cuadrática, la temperatura
siempre es no negativa y solamente se anula cuando <math>x = y</math>. Esto permite
identificar de forma inmediata los puntos del dominio donde se alcanza el mínimo absoluto.

Por otra parte, los valores máximos no se encuentran en un punto aislado, sino en las
zonas del arco donde la diferencia entre <math>x</math> e <math>y</math> es mayor dentro del
dominio geométrico estudiado. Para localizarlos con precisión se calcula el valor de la
temperatura en toda la malla y se identifican los puntos que alcanzan el máximo.

[[Archivo:Maxymin.png|500px|miniatura|derecha|Representación del máximo y mínimo de la función temperatura]]

<pre>
% Cálculo de los valores extremos de la temperatura T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

valor_min = min(T(:)); % Mínimo absoluto del campo
valor_max = max(T(:)); % Máximo absoluto del campo

% Localización aproximada de los puntos donde se alcanzan
[idx_min] = find(T == valor_min);
[idx_max] = find(T == valor_max);

puntos_min = [xx(idx_min), yy(idx_min)]; % Coordenadas donde T es mínima
puntos_max = [xx(idx_max), yy(idx_max)]; % Coordenadas donde T es máxima

% Representación gráfica
figure
contourf(xx, yy, T, 30) % Mapa de temperatura
hold on
plot(puntos_min(:,1), puntos_min(:,2), 'wo', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % mínimos
plot(puntos_max(:,1), puntos_max(:,2), 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2) % máximos
colorbar
title('Máximos y mínimos de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>

En el gráfico se observa que la temperatura mínima se alcanza en los puntos del arco
situados sobre la línea x = y, donde la función T(x,y) se anula. Estos puntos aparecen
marcados en blanco en la figura.

Los valores máximos, representados mediante cruces rojas, se encuentran en las zonas
del arco donde la diferencia |x - y| es mayor. En este caso, los máximos aparecen en la
parte superior izquierda y superior derecha del dominio, coincidiendo con los puntos en
los que la geometría del arco permite un mayor alejamiento entre x e y.

Este estudio proporciona una visión clara de cómo se distribuyen los valores extremos en
el dominio, lo cual será útil en el apartado siguiente para comprender la dirección y
magnitud del gradiente de T.

==. Gradiente de T y curvas de nivel ==
En este apartado se calcula y representa el gradiente de la temperatura asociada al campo

<math>T(x,y) = (x - y)^2</math>.

El gradiente proporciona la dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente
en cada punto del arco y su módulo indica la variación máxima de T en esa dirección.
Dado que se trata de una función diferenciable, el gradiente se obtiene mediante las
derivadas parciales respecto a x e y, evaluadas en todos los nodos de la malla.

La representación vectorial del gradiente permite visualizar la orientación de las zonas
donde la temperatura crece de forma más acusada, lo cual resulta fundamental para
interpretar la distribución térmica del dominio.

[[Archivo:Gradientetempfinas.png|500px|miniaturadeimagen|Representación del gradiente de la temperatura]]

<pre>
% Cálculo del gradiente del campo T(x,y) = (x - y)^2

T = (xx - yy).^2; % Campo de temperatura

% Derivadas parciales de T
Tx = 2*(xx - yy); % dT/dx
Ty = -2*(xx - yy); % dT/dy

% Representación del gradiente
figure
quiver(xx, yy, Tx, Ty, 'k') % Flechas negras del gradiente
hold on
contourf(xx, yy, T, 20, 'LineColor', 'none') % Fondo suave con la temperatura
colormap(turbo)
colorbar
title('Gradiente de la temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
</pre>
 

En la figura se observa el campo vectorial del gradiente de T superpuesto al mapa de
temperatura. Las flechas apuntan en la dirección donde la función T aumenta con mayor
rapidez y su orientación coincide con la perpendicular a las curvas de nivel.

Dado que T(x,y) depende únicamente de la diferencia (x - y), los vectores del gradiente
son paralelos entre sí en amplias zonas del dominio y presentan una dirección inclinada,
siempre perpendicular a las bandas de colores observadas en el mapa de temperatura.

La simetría de la función se refleja en la estructura del gradiente, que cambia de sentido
a ambos lados de la recta x = y, donde la temperatura es mínima.

==. Campo de Vectores en el Sólido (u). ==
Tenemos el campo vectorial en coordenadas cilíndricas: <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>.

Vamos a representarlo en los puntos del mallado del sólido.
[[Archivo:Pelayo4.png|500px|miniatura|derecha|Representación del Campo Vectorial en el Mallado del Sólido]]
{{matlab|codigo=
% Defino el paso de muestreo para la rejilla.
% Defino el dominio.
h = 1/10;
r = 1:h:2;

% Calculo el número aproximado de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Vector en el que asigno un ángulo de 0 a pi a cada punto.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho, theta] = meshgrid(r,ang);

% Paso a coordenadas cartesianas para el trazado de las líneas de malla.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Inicio la figura.
% Uso color verde para las radiales y los arcos.
figure;

plot(x,y,'g'); % Rayos.
hold on
plot(x',y','g'); % Arcos.
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Campo Vectorial: u(ρ,θ)=15(ρ−1)ρ eρ');
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y');
grid on

% Cálculo y visualización del campo vectorial.
ri = 1;
re = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20);
rho_vec = linspace(ri, re, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);

% Posiciones donde nacerán las mallas.
X = R.*cos(THETA);
Y = R.*sin(THETA);

% Definición del campo en base polar.
U_rho = (1/5)*(R-1).*R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Paso a Cartesianas
U = U_rho.*cos(THETA)-U_theta.*sin(THETA);
V = U_rho.*sin(THETA)+U_theta.*cos(THETA);

% Dibujo de vectores.
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2);

hold off
}}
El campo vectorial, al carecer de componente angular (<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>), es estrictamente radial (los vectores apuntan desde el origen hacia afuera). La ecuación muestra una dependencia respecto a la distancia al origen, a medida que aumenta el radio se produce un crecimiento de la norma de los vectores, siendo nula en el radio interior y máxima en el exterior.

==. Sólido antes y después del desplazamiento ==
Consideramos que el campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido.

Dibujo el sólido antes y después del desplazamiento:
[[Archivo:pelayo5.png|600px|miniatura|derecha|Sólido Antes y Después de Aplicarle el Desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
% Paso del mallado.
h = 0.1;

% Defino el dominio radial.
r = 1:h:2;

% Calculo el nº de puntos.
npuntos = round(pi/h)+1;

% Dominio angular.
ang = linspace(0,pi,npuntos);

% Generación de la malla de coordenadas polares.
[rho,theta] = meshgrid(r,ang);

% Defino la Configuración de Referencia.
% Transformo la geometría original a cartesianas para visualizar.
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

% Cálculo del Campo de Desplazamiento.
% Aplicamos la fórmula sobre la malla radial.
desprad = (1/5).*(rho-1).*rho;

% Proyección del desplazamiento en cartesianas.
despx = desprad.*cos(theta);
despy = desprad.*sin(theta);

% Definición de la Configuración Deformada.
% La posición final es la inicial más el vector desplazamiento.
X = x+despx;
Y = y+despy;

% Visualización de los resultados.
figure('Color','w');

% Límites comunes.
limitesejes=[-3 3 -1 3];

% Panel Superior: Geometría Original.
subplot(1,2,1)
mesh(x,y,0*x); % z=0 para vista 2D.
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Antes de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','g');

% Panel Inferior: Geometría Resultante.
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis(limitesejes)
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Después de la Deformación');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
El campo de desplazamiento impuesto provoca que los puntos en el radio interior permanezcan fijos, mientras que los puntos exteriores sufren un desplazamiento progresivo hacia afuera, resultando en una expansión radial del sólido.

==. Divergencia de u ==
$$\nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\rho}) + \frac{1}{\rho}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial\theta}$$Dado que $u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho)$ y $u_{\theta} = 0$, sustituimos:$$\nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left( \rho \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) \right)$$$$\nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{5\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left( \rho^3 - \rho^2 \right) = \frac{1}{5\rho}(3\rho^2 - 2\rho)$$$$\nabla\cdot\vec{u} = \frac{3\rho - 2}{5}$$
(Gráfica + explicación + código)

==. Rotacional de u ==
(Gráfica + explicación + código)

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente corresponde al tensor de deformaciones, que se describe mediante la siguiente expresión:
 
<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, el campo de desplazamientos permite obtener el tensor de tensiones
σ a través de la relación
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> on los coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas del material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se procede a calcular y representar las tensiones normales asociadas a los ejes <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales es necesario realizar previamente una serie de operaciones. En primer lugar, se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, con lo que se podrá determinar el tensor de identidad:
<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Dado el Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular su gradiente de forma matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
En consecuencia:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
A continuación, se procederá a calcular el tensor de deformaciones de forma matricial.
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

# Elemento de lista numerada
==. Tensiones tangenciales respecto al plano perpendicular a <math>\vec{e}_{\rho}</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Tomando como referencia los datos obtenidos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se llevan a cabo las operaciones necesarias para obtener dichas tensiones tangenciales
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas, ello no implica que no puedan representarse. Lo que no será posible es observar un aumento si nos centramos únicamente en las tangenciales. Por otro lado, las deformaciones generadas en el campo provienen íntegramente de las tensiones normales, y, por tanto, se producen modificaciones en el plano inicial del arco.
[[Archivo:TensTange.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Deform.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Parametros de la malla
h = 0.1;
r = 1:h:2;
v = linspace(0, pi, round(pi/h) + 1);

[rho, theta] = meshgrid(r, v);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = rho .* cos(theta);
Y = rho .* sin(theta);

% Vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

% Tensor de tensiones
SIGMA_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
SIGMA_xy = (3/5) * rho;
SIGMA_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

SIGMA_yx = zeros(size(rho));
SIGMA_yy = zeros(size(rho));
SIGMA_yz = zeros(size(rho));

SIGMA_zx = zeros(size(rho));
SIGMA_zy = zeros(size(rho));
SIGMA_zz = zeros(size(rho));

% Vector de tracción
Tx = SIGMA_xx .* erx + SIGMA_xy .* ery + SIGMA_xz .* erz;
Ty = SIGMA_yx .* erx + SIGMA_yy .* ery + SIGMA_yz .* erz;
Tz = SIGMA_zx .* erx + SIGMA_zy .* ery + SIGMA_zz .* erz;

% Componente normal y tangencial
Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%% ====================== GRÁFICA TANGENCIAL ======================

figure;

% Fondo con mapa de colores
magnitudTt = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2);
contourf(X, Y, magnitudTt, 40, 'LineStyle', 'none');

colormap('spring');
hold on;

% Vector tangencial
quiver(X, Y, Ttx, Tty, 'k', 'LineWidth', 1.1);

axis equal
colorbar
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%% ====================== GRÁFICA DE LA PARTE NORMAL ======================

figure;

surf(X, Y, Tn_scalar, 'EdgeColor', 'none');

colormap('winter');
colorbar
shading interp
title('Mayor deformacion del campo ')
xlabel('x')
ylabel('y')
view(35, 30);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:TensTang.png|thumb|500px|Tensiones tangenciales]]
[[Archivo:TensN.png|thumb|500px|Tension normal sobre el campo]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros de la malla
h = 0.1;
r = 1:h:2; % radios
theta = linspace(0, pi, round(pi/h)+1); % ángulos

%% Generar cuadrícula polar
[R, TH] = meshgrid(r, theta);

%% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);

%% Vector radial unitario (2D)
ER = [cos(TH(:)), sin(TH(:))]; % Nx2

%% Tensor de tensiones (solo σ_xx y σ_yy)
SIGMA_xx = (3/5)*(2*R - 1);
SIGMA_yy = (3/5)*R;
SIGMA_xy = zeros(size(R));

%% Vector de tensiones sobre la dirección radial
% Reshape para trabajar en forma matricial
Tx = SIGMA_xx .* cos(TH) + SIGMA_xy .* sin(TH);
Ty = SIGMA_xy .* cos(TH) + SIGMA_yy .* sin(TH);

%% Componente normal (proyección sobre el radial)
Tn_scalar = Tx .* cos(TH) + Ty .* sin(TH);

%% Componentes normal y tangencial
Tnx = Tn_scalar .* cos(TH);
Tny = Tn_scalar .* sin(TH);

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;

%% Graficar tensiones tangenciales
figure;
quiver(X, Y, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x'); ylabel('y')

%% Graficar magnitud de la tensión normal
figure;
surf(X, Y, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Tensión normal sobre el campo')
xlabel('x'); ylabel('y')
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Tomando como referencia los datos obtenidos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se llevan a cabo las operaciones necesarias para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> ssean nulas, ello no implica que no puedan representarse. Lo que no será posible es observar un aumento si nos centramos únicamente en las tangenciales. Por otro lado, las deformaciones generadas en el campo provienen íntegramente de las tensiones normales, y, por tanto, se producen modificaciones en el plano inicial del arco.

==. Tensiones tangenciales asociadas al plano ortogonal al vector <math> \dfrac{1}{\rho},\vec e_\theta </math>==
En este apartado se determinan las tensiones tangenciales asociadas al plano perpendicular al vector <math> \dfrac{1}{\rho},\vec e_\theta </math>.

La magnitud a evaluar es:

<math> \left\lVert \sigma \cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \;-\; \bigl( \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \;\cdot\; \sigma \;\cdot\; \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \bigr) \;\frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right\rVert </math>

El tensor de tensiones considerado es:

<math> \sigma \;=\; \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 2\rho - 1 & 0 & 0 \\ 0 & \rho & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math>

El producto doble con la dirección 1𝜌𝑒⃗𝜃ρ1eθ es:

<math> \left( \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \cdot \sigma \cdot \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right) \;=\; \frac{3}{5}(\rho - 1) </math>

Sustituyendo en la expresión general:

<math> \left\lVert \sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta - \left(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\right) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right\rVert = \left\lVert \frac{3}{5} \begin{pmatrix} 2\rho - 1 \\ \rho \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\rho} \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{3}{5}(\rho - 1) \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\rho} \\ 0 \end{pmatrix} \right\rVert </math>

Tras simplificar:

<math> \left\lVert \; 0\; \right\rVert = 0 </math>

De forma análoga a lo mostrado en el apartado anterior, la componente tangencial es nula en todos los puntos, por lo que no existen direcciones donde esta sea mayor. La representación gráfica es posible, aunque la magnitud sea cero, y la deformación del campo queda determinada exclusivamente por las tensiones normales.

Representación gráfica de las tensiones tangenciales

{{matlab|codigo=
h = 0.1;
u = 1:h:2;
p = round(pi/h) + 1;
v = linspace(0, pi, p);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

Tx = sigma_xx .* erx;
Ty = sigma_yy .* ery;
Tz = zeros(size(rho));

Tn = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn .* erx;
Tny = Tn .* ery;
Tnz = Tn .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

figure;
surf(xx, yy, Tn);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==. Masa total con densidad dada ==
La densidad del material está descrita por la función: <math>d(\rho,\theta)=1+e^{\rho^{2}\cos\theta}</math> donde el dominio que ocupa el arco viene dado por:
<math>(\rho,\theta)\in[1,2]\times[0,\pi]</math>

La expresión integral que define la masa total es:
<math>M=\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}\left(1+e^{\rho^{2}\cos\theta}\right)\rho\; d\rho\, d\theta</math>

En vez de resolver esta integral analíticamente, se procederá a resolver mediante Matlab:

{{matlab|codigo=
% Cálculo numérico de la masa del arco mediante la regla del trapecio

% Intervalos de integración
a_rho = 1;
b_rho = 2;
a_theta = 0;
b_theta = pi;

% Número de divisiones
nR = 60;
nT = 120;

% Tamaños de paso
dr = (b_rho - a_rho) / nR;
dt = (b_theta - a_theta) / nT;

% Vectores para rho y theta
rho_vals = a_rho + dr*(0:nR);
theta_vals = a_theta + dt*(0:nT);

% Generación del mallado
[RR, TT] = meshgrid(rho_vals, theta_vals);

% Densidad multiplicada por rho (Jacobiano del cambio a polares)
dens = RR .* (1 + exp(RR.^2 .* cos(TT)));

% Pesos trapecio en rho
wR = ones(1, nR+1);
wR([1 end]) = 0.5;

% Pesos trapecio en theta
wT = ones(nT+1, 1);
wT([1 end]) = 0.5;

% Integral doble mediante producto matricial
M_arc = dt * dr * (wT' * dens * wR');

% Resultado
fprintf('Masa aproximada del arco: %.6f\n', M_arc);
}}

==. Ejemplo ingenieril ==
(Breve explicación)

== Código MATLAB completo ==
<pre>
% aquí va todo el código
</pre>

== Bibliografía ==
* Apuntes Teoría de Campos (Moodle)
* Notas sobre curvas planas y superficies regladas

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]